Cách tính trung vị: Công thức và bài tập có lời giải chi tiết
Cách tính trung vị là kiến thức quan trọng trong thống kê, giúp xác định giá trị nằm ở vị trí giữa của một tập dữ liệu đã được sắp xếp. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn công thức tính trung vị, các bước tìm trung vị chi tiết kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.
Trung vị là gì?
Để hiểu cách tính trung vị, trước tiên chúng ta cần nắm rõ khái niệm này.
Trung vị (Median – ký hiệu: \( M_e \)) là giá trị đứng ở vị trí chính giữa của một dãy số đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (hoặc giảm dần). Số trung vị chia tập dữ liệu thành hai phần bằng nhau: một nửa có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng trung vị, nửa còn lại có giá trị lớn hơn hoặc bằng trung vị.
Ý nghĩa của trung vị trong thống kê:
- Đại diện cho xu hướng trung tâm của dữ liệu
- Không bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan (outliers)
- Phù hợp để mô tả dữ liệu có phân phối lệch
Sau khi hiểu khái niệm, chúng ta sẽ tìm hiểu công thức trung vị cụ thể.
Công thức tính trung vị
Công thức tính trung vị phụ thuộc vào số lượng phần tử (n) trong dãy số là lẻ hay chẵn.
Trường hợp 1: Dãy số có n lẻ
Khi dãy số có n phần tử (n lẻ), trung vị là giá trị tại vị trí:
\[ M_e = x_{\frac{n+1}{2}} \]
Trong đó: \( x_{\frac{n+1}{2}} \) là giá trị tại vị trí \( \frac{n+1}{2} \) trong dãy đã sắp xếp.
Trường hợp 2: Dãy số có n chẵn
Khi dãy số có n phần tử (n chẵn), số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa:
\[ M_e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \]
Bảng tóm tắt công thức trung vị
| Số phần tử n | Công thức trung vị | Giải thích |
|---|---|---|
| n lẻ | \( M_e = x_{\frac{n+1}{2}} \) | Lấy giá trị ở vị trí giữa |
| n chẵn | \( M_e = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2} \) | Lấy trung bình 2 giá trị giữa |
Nắm vững công thức rồi, bây giờ chúng ta sẽ đi vào cách tính trung vị theo từng bước cụ thể.
Cách tính trung vị chi tiết
Để tính trung vị chính xác, bạn cần thực hiện theo 3 bước sau:
Bước 1: Sắp xếp dữ liệu theo thứ tự tăng dần
Đây là bước quan trọng nhất. Dữ liệu bắt buộc phải được sắp xếp trước khi tìm trung vị.
Bước 2: Xác định số phần tử (n)
Đếm tổng số phần tử trong dãy và xác định n là số lẻ hay số chẵn.
Bước 3: Áp dụng công thức tìm trung vị
- Nếu n lẻ: Lấy giá trị ở vị trí \( \frac{n+1}{2} \)
- Nếu n chẵn: Tính trung bình cộng của 2 giá trị ở vị trí \( \frac{n}{2} \) và \( \frac{n}{2}+1 \)
Để hiểu rõ hơn cách tìm trung vị, hãy cùng xem các ví dụ cụ thể dưới đây.
Cách tìm trung vị của dãy số (n lẻ)
Ví dụ 1: Tìm trung vị của dãy số: 7, 3, 9, 5, 1, 8, 4
Lời giải:
Bước 1: Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần:
1, 3, 4, 5, 7, 8, 9
Bước 2: Đếm số phần tử: n = 7 (số lẻ)
Bước 3: Áp dụng công thức:
Vị trí trung vị: \( \frac{n+1}{2} = \frac{7+1}{2} = 4 \)
Giá trị tại vị trí thứ 4 là: 5
Kết luận: \( M_e = 5 \)
Cách tính số trung vị của dãy số (n chẵn)
Ví dụ 2: Tính số trung vị của dãy số: 12, 5, 8, 3, 15, 10
Lời giải:
Bước 1: Sắp xếp dãy số theo thứ tự tăng dần:
3, 5, 8, 10, 12, 15
Bước 2: Đếm số phần tử: n = 6 (số chẵn)
Bước 3: Áp dụng công thức:
- Vị trí thứ nhất: \( \frac{n}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) → Giá trị: 8
- Vị trí thứ hai: \( \frac{n}{2} + 1 = 4 \) → Giá trị: 10
Tính trung vị:
\[ M_e = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
Kết luận: \( M_e = 9 \)
Ngoài dãy số đơn giản, cách tính trung vị còn được áp dụng cho bảng tần số. Hãy cùng tìm hiểu ngay sau đây.
Cách tính trung vị của bảng tần số
Khi dữ liệu được cho dưới dạng bảng tần số, cách tìm trung vị như sau:
- Tính tổng tần số: \( N = \sum f_i \)
- Tính tần số tích lũy
- Xác định vị trí trung vị và tìm giá trị tương ứng
Ví dụ 3: Tính trung vị của bảng tần số sau:
| Giá trị (x) | 2 | 4 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số (f) | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
Lời giải:
Bước 1: Tính tổng tần số:
\( N = 3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25 \) (số lẻ)
Bước 2: Lập bảng tần số tích lũy:
| Giá trị (x) | 2 | 4 | 5 | 7 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số (f) | 3 | 5 | 8 | 6 | 3 |
| Tần số tích lũy | 3 | 8 | 16 | 22 | 25 |
Bước 3: Xác định vị trí trung vị:
Vị trí: \( \frac{N+1}{2} = \frac{25+1}{2} = 13 \)
Nhìn vào bảng tần số tích lũy: Vị trí 13 thuộc nhóm có tần số tích lũy là 16 (ứng với x = 5)
Kết luận: \( M_e = 5 \)
Để củng cố kiến thức về cách tính số trung vị, hãy cùng làm thêm các bài tập dưới đây.
Bài tập tính trung vị có lời giải
Bài tập 1
Đề bài: Tính trung vị của dãy số: 15, 22, 18, 25, 30, 12, 28
Lời giải:
- Sắp xếp: 12, 15, 18, 22, 25, 28, 30
- n = 7 (lẻ)
- Vị trí trung vị: \( \frac{7+1}{2} = 4 \)
- Đáp số: \( M_e = 22 \)
Bài tập 2
Đề bài: Tìm trung vị của điểm thi: 6, 8, 5, 9, 7, 8, 6, 10
Lời giải:
- Sắp xếp: 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10
- n = 8 (chẵn)
- Hai giá trị giữa: vị trí 4 (giá trị 7) và vị trí 5 (giá trị 8)
- \( M_e = \frac{7 + 8}{2} = 7.5 \)
- Đáp số: \( M_e = 7.5 \)
Bài tập 3
Đề bài: Cho bảng tần số về số con trong 20 gia đình:
| Số con | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Số gia đình | 2 | 5 | 8 | 4 | 1 |
Tính số trung vị của dữ liệu trên.
Lời giải:
- Tổng tần số: N = 2 + 5 + 8 + 4 + 1 = 20 (chẵn)
- Tần số tích lũy: 2, 7, 15, 19, 20
- Vị trí trung vị: \( \frac{20}{2} = 10 \) và \( \frac{20}{2} + 1 = 11 \)
- Cả vị trí 10 và 11 đều thuộc nhóm có tần số tích lũy 15 (ứng với x = 2)
- \( M_e = \frac{2 + 2}{2} = 2 \)
- Đáp số: \( M_e = 2 \)
Để tránh nhầm lẫn, chúng ta cần phân biệt trung vị với các đại lượng thống kê khác.
Phân biệt trung vị với số trung bình và mốt
| Tiêu chí | Trung vị (Median) | Số trung bình (Mean) | Mốt (Mode) |
|---|---|---|---|
| Định nghĩa | Giá trị ở vị trí giữa | Tổng các giá trị chia cho số phần tử | Giá trị xuất hiện nhiều nhất |
| Công thức | Phụ thuộc n lẻ/chẵn | \( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} \) | Giá trị có tần số lớn nhất |
| Ảnh hưởng bởi outliers | Không | Có | Không |
| Ưu điểm | Ổn định với dữ liệu lệch | Sử dụng mọi giá trị | Dễ xác định |
Kết luận
Cách tính trung vị là kỹ năng cơ bản trong thống kê mà mọi học sinh cần nắm vững. Hãy nhớ quy tắc: sắp xếp dữ liệu trước, sau đó áp dụng công thức phù hợp với số phần tử lẻ hoặc chẵn. Số trung vị là công cụ hữu ích để mô tả dữ liệu, đặc biệt khi tập dữ liệu có các giá trị cực đoan. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ công thức tính trung vị và có thể tìm trung vị một cách chính xác trong mọi bài toán.
Có thể bạn quan tâm
