Bảng đạo hàm đầy đủ: Công thức cơ bản, ln, e mũ x, logarit
Bảng đạo hàm là công cụ không thể thiếu giúp học sinh, sinh viên tra cứu nhanh các công thức đạo hàm đầy đủ. Bài viết tổng hợp bảng đạo hàm cơ bản, đạo hàm e mũ x, đạo hàm ln, đạo hàm logarit cùng quy tắc tính và ví dụ minh họa chi tiết.
Bảng đạo hàm cơ bản đầy đủ
Dưới đây là bảng đạo hàm tổng hợp các công thức cần nhớ, chia thành hai dạng: đạo hàm cơ bản và đạo hàm hàm hợp.
Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp
| Hàm số \( y = f(x) \) | Đạo hàm \( y’ = f'(x) \) |
|---|---|
| \( y = c \) (hằng số) | \( y’ = 0 \) |
| \( y = x \) | \( y’ = 1 \) |
| \( y = x^n \) | \( y’ = n \cdot x^{n-1} \) |
| \( y = \sqrt{x} \) | \( y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| \( y = \frac{1}{x} \) | \( y’ = -\frac{1}{x^2} \) |
| \( y = \sqrt[n]{x} \) | \( y’ = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}} \) |
| \( y = e^x \) | \( y’ = e^x \) |
| \( y = a^x \) \((a > 0, a \neq 1)\) | \( y’ = a^x \cdot \ln a \) |
| \( y = \ln x \) | \( y’ = \frac{1}{x} \) |
| \( y = \log_a x \) \((a > 0, a \neq 1)\) | \( y’ = \frac{1}{x \cdot \ln a} \) |
| \( y = \sin x \) | \( y’ = \cos x \) |
| \( y = \cos x \) | \( y’ = -\sin x \) |
| \( y = \tan x \) | \( y’ = \frac{1}{\cos^2 x} \) |
| \( y = \cot x \) | \( y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} \) |
Bảng đạo hàm hàm hợp (dạng u)
Khi \( u = u(x) \) là hàm số theo \( x \), ta có bảng đạo hàm đầy đủ dạng hàm hợp:
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| \( y = u^n \) | \( y’ = n \cdot u^{n-1} \cdot u’ \) |
| \( y = \sqrt{u} \) | \( y’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}} \) |
| \( y = \frac{1}{u} \) | \( y’ = -\frac{u’}{u^2} \) |
| \( y = e^u \) | \( y’ = u’ \cdot e^u \) |
| \( y = a^u \) | \( y’ = u’ \cdot a^u \cdot \ln a \) |
| \( y = \ln u \) | \( y’ = \frac{u’}{u} \) |
| \( y = \log_a u \) | \( y’ = \frac{u’}{u \cdot \ln a} \) |
| \( y = \sin u \) | \( y’ = u’ \cdot \cos u \) |
| \( y = \cos u \) | \( y’ = -u’ \cdot \sin u \) |
| \( y = \tan u \) | \( y’ = \frac{u’}{\cos^2 u} \) |
| \( y = \cot u \) | \( y’ = -\frac{u’}{\sin^2 u} \) |
Đạo hàm các hàm số sơ cấp chi tiết
Tổng hợp các công thức đạo hàm sơ cấp mà học sinh cần nắm rõ:
Đạo hàm hàm số mũ (đạo hàm e mũ x)
Đạo hàm e mũ x là một trong những công thức quan trọng nhất:
- Công thức cơ bản: \( (e^x)’ = e^x \)
- Công thức hàm hợp: \( (e^u)’ = u’ \cdot e^u \)
Với hàm mũ cơ số \( a \):
- \( (a^x)’ = a^x \cdot \ln a \) với \( a > 0, a \neq 1 \)
- \( (a^u)’ = u’ \cdot a^u \cdot \ln a \)
Đạo hàm logarit (đạo hàm ln, đạo hàm ln u)
Đạo hàm ln và đạo hàm logarit được sử dụng rất phổ biến:
- Đạo hàm ln x: \( (\ln x)’ = \frac{1}{x} \) với \( x > 0 \)
- Đạo hàm ln u: \( (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \) với \( u > 0 \)
- Đạo hàm logarit cơ số a: \( (\log_a x)’ = \frac{1}{x \cdot \ln a} \)
- Đạo hàm logarit hàm hợp: \( (\log_a u)’ = \frac{u’}{u \cdot \ln a} \)
Đạo hàm hàm lượng giác
| Dạng cơ bản | Dạng hàm hợp |
|---|---|
| \( (\sin x)’ = \cos x \) | \( (\sin u)’ = u’ \cdot \cos u \) |
| \( (\cos x)’ = -\sin x \) | \( (\cos u)’ = -u’ \cdot \sin u \) |
| \( (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} \) | \( (\tan u)’ = \frac{u’}{\cos^2 u} \) |
| \( (\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} \) | \( (\cot u)’ = -\frac{u’}{\sin^2 u} \) |
Đạo hàm hàm lượng giác ngược
- \( (\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \)
- \( (\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \)
- \( (\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2} \)
- \( (\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1 + x^2} \)
Quy tắc tính đạo hàm
Khi đạo hàm, học sinh cần chú ý các điểm sau:
Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
Cho \( u = u(x) \) và \( v = v(x) \) là các hàm số có đạo hàm:
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Nhân hằng số | \( (k \cdot u)’ = k \cdot u’ \) |
| Tổng – Hiệu | \( (u \pm v)’ = u’ \pm v’ \) |
| Tích | \( (u \cdot v)’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ \) |
| Thương | \( \left( \frac{u}{v} \right)’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} \) |
Quy tắc đạo hàm hàm hợp
Nếu \( y = f(u) \) và \( u = g(x) \), thì:
\( y’_x = y’_u \cdot u’_x \)
Hay viết cách khác: \( \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \)
Ví dụ và bài tập minh họa
Các bài tập dễ hiểu, có lời giải giúp bạn hiểu hơn về kiến thức bảng đạo hàm:
Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm mũ
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = e^{3x + 1} \)
Lời giải:
Đặt \( u = 3x + 1 \Rightarrow u’ = 3 \)
Áp dụng công thức đạo hàm e mũ x dạng hàm hợp:
\( y’ = u’ \cdot e^u = 3 \cdot e^{3x + 1} \)
Đáp số: \( y’ = 3e^{3x + 1} \)
Ví dụ 2: Tính đạo hàm logarit
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \ln(x^2 + 1) \)
Lời giải:
Đặt \( u = x^2 + 1 \Rightarrow u’ = 2x \)
Áp dụng công thức đạo hàm ln u:
\( y’ = \frac{u’}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Đáp số: \( y’ = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
Ví dụ 3: Tính đạo hàm tích
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = x^2 \cdot e^x \)
Lời giải:
Đặt \( u = x^2 \Rightarrow u’ = 2x \) và \( v = e^x \Rightarrow v’ = e^x \)
Áp dụng công thức đạo hàm tích:
\( y’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x \)
\( y’ = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(x + 2) \)
Đáp số: \( y’ = xe^x(x + 2) \)
Ví dụ 4: Tính đạo hàm thương
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \frac{\ln x}{x} \)
Lời giải:
Đặt \( u = \ln x \Rightarrow u’ = \frac{1}{x} \) và \( v = x \Rightarrow v’ = 1 \)
Áp dụng công thức đạo hàm thương:
\( y’ = \frac{u’ \cdot v – u \cdot v’}{v^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x – \ln x \cdot 1}{x^2} \)
\( y’ = \frac{1 – \ln x}{x^2} \)
Đáp số: \( y’ = \frac{1 – \ln x}{x^2} \)
Ví dụ 5: Đạo hàm hàm hợp phức tạp
Đề bài: Tính đạo hàm của \( y = \sin^3(2x) \)
Lời giải:
Đặt \( t = \sin(2x) \Rightarrow y = t^3 \)
Ta có: \( y’_t = 3t^2 \) và \( t’ = 2\cos(2x) \)
Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:
\( y’ = 3\sin^2(2x) \cdot 2\cos(2x) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) \)
Đáp số: \( y’ = 6\sin^2(2x)\cos(2x) \)
Bài tập tự luyện
Tính đạo hàm các hàm số sau:
- \( y = e^{-2x} + 3x^2 \)
- \( y = \ln(2x + 5) \)
- \( y = x \cdot \ln x \)
- \( y = \frac{e^x}{x + 1} \)
- \( y = \cos(3x^2 + 1) \)
- \( y = 2^{x^2} \)
- \( y = \log_2(x^2 – 1) \)
- \( y = \sqrt{e^x + 1} \)
Đáp án
- \( y’ = -2e^{-2x} + 6x \)
- \( y’ = \frac{2}{2x + 5} \)
- \( y’ = \ln x + 1 \)
- \( y’ = \frac{e^x \cdot x}{(x + 1)^2} \)
- \( y’ = -6x \cdot \sin(3x^2 + 1) \)
- \( y’ = 2x \cdot 2^{x^2} \cdot \ln 2 \)
- \( y’ = \frac{2x}{(x^2 – 1) \cdot \ln 2} \)
- \( y’ = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x + 1}} \)
Kết luận
Bảng đạo hàm là tài liệu tra cứu quan trọng giúp bạn nắm vững các công thức đạo hàm đầy đủ từ đạo hàm cơ bản đến đạo hàm e mũ x, đạo hàm ln, đạo hàm logarit. Hãy luyện tập thường xuyên với các ví dụ để thành thạo kỹ năng tính đạo hàm, phục vụ tốt cho các kỳ thi và ứng dụng thực tế.
Có thể bạn quan tâm
