Tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz: Công thức và bài tập
Tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz là một dạng bài toán quan trọng trong chương trình Hình học 12. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz, diện tích tam giác theo vectơ, cùng các phương pháp tính diện tích tam giác biết tọa độ 3 đỉnh kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.
1. Công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz
Trong không gian Oxyz, có nhiều cách để tính diện tích tam giác trong không gian. Dưới đây là các công thức quan trọng nhất:
1.1. Công thức diện tích tam giác theo vectơ (Tích có hướng)
Cho tam giác \( ABC \) với ba đỉnh \( A \), \( B \), \( C \). Công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz sử dụng tích có hướng:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \)
Trong đó:
- \( \vec{AB} \times \vec{AC} \): tích có hướng (tích vectơ) của hai vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \)
- \( \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \): độ dài của vectơ tích có hướng
1.2. Công thức tính tích có hướng
Cho hai vectơ \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \), tích có hướng được tính:
\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} \)
Khai triển định thức:
\( \vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 – u_3 v_2 \right) \vec{i} – \left( u_1 v_3 – u_3 v_1 \right) \vec{j} + \left( u_1 v_2 – u_2 v_1 \right) \vec{k} \)
Hay viết dưới dạng tọa độ:
\( \vec{u} \times \vec{v} = \left( u_2 v_3 – u_3 v_2, \, u_3 v_1 – u_1 v_3, \, u_1 v_2 – u_2 v_1 \right) \)
1.3. Công thức tính diện tích tam giác biết tọa độ 3 đỉnh
Cho tam giác \( ABC \) với \( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), \( C(x_C, y_C, z_C) \).
Bước 1: Tính vectơ \( \vec{AB} \) và \( \vec{AC} \):
\( \vec{AB} = (x_B – x_A, \, y_B – y_A, \, z_B – z_A) \)
\( \vec{AC} = (x_C – x_A, \, y_C – y_A, \, z_C – z_A) \)
Bước 2: Tính tích có hướng \( \vec{AB} \times \vec{AC} \)
Bước 3: Tính độ dài và áp dụng công thức:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{(\vec{AB} \times \vec{AC})_x^2 + (\vec{AB} \times \vec{AC})_y^2 + (\vec{AB} \times \vec{AC})_z^2} \)
1.4. Bảng tổng hợp công thức diện tích tam giác trong không gian
| Công thức | Biểu thức | Ghi chú |
|---|---|---|
| Theo tích có hướng | \( S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \) | Công thức chính, hay dùng nhất |
| Theo độ dài 2 cạnh và góc | \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \widehat{BAC} \) | Khi biết góc giữa 2 cạnh |
| Công thức Heron | \( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \) | Khi biết độ dài 3 cạnh |
| Theo đường cao | \( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \) | Khi biết cạnh và đường cao |
2. Diện tích tam giác trong Oxy (Mặt phẳng)
Diện tích tam giác trong Oxy là trường hợp đặc biệt của diện tích tam giác trong không gian khi \( z = 0 \).
2.1. Công thức diện tích tam giác trong Oxy
Cho tam giác \( ABC \) với \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \), \( C(x_C, y_C) \) trong mặt phẳng Oxy.
Công thức 1: Sử dụng định thức
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} x_B – x_A & x_C – x_A \\ y_B – y_A & y_C – y_A \end{vmatrix} \right| \)
Hay:
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| (x_B – x_A)(y_C – y_A) – (x_C – x_A)(y_B – y_A) \right| \)
Công thức 2: Dạng tọa độ trực tiếp
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B) \right| \)
2.2. So sánh công thức trong Oxy và Oxyz
| Đặc điểm | Trong Oxy (2D) | Trong Oxyz (3D) |
|---|---|---|
| Tọa độ điểm | \( (x, y) \) | \( (x, y, z) \) |
| Công thức chính | Định thức \( 2 \times 2 \) | Tích có hướng (định thức \( 3 \times 3 \)) |
| Kết quả tích vectơ | Một số (thành phần \( z \)) | Một vectơ 3 thành phần |
3. Tích có hướng và Tích hỗn tạp
Để tính diện tích tam giác theo vectơ hiệu quả, cần nắm vững kiến thức về tích có hướng và tích hỗn tạp.
3.1. Tích có hướng (Tích vectơ)
Định nghĩa: Tích có hướng của hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \), ký hiệu \( \vec{u} \times \vec{v} \), là một vectơ có:
- Phương: Vuông góc với mặt phẳng chứa \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \)
- Chiều: Theo quy tắc bàn tay phải
- Độ dài: \( \left| \vec{u} \times \vec{v} \right| = \left| \vec{u} \right| \cdot \left| \vec{v} \right| \cdot \sin(\vec{u}, \vec{v}) \)
Tính chất quan trọng:
- \( \vec{u} \times \vec{v} = -(\vec{v} \times \vec{u}) \) (phản giao hoán)
- \( \vec{u} \times \vec{u} = \vec{0} \)
- \( \vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u} \parallel \vec{v} \) (hoặc có vectơ không)
- \( (k\vec{u}) \times \vec{v} = k(\vec{u} \times \vec{v}) \)
- \( \vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w} \)
3.2. Tích hỗn tạp
Tích hỗn tạp của ba vectơ \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) được định nghĩa:
\( [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} \)
Với \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \), \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \), \( \vec{c} = (c_1, c_2, c_3) \):
\( [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \)
3.3. Ứng dụng của tích hỗn tạp
| Ứng dụng | Công thức |
|---|---|
| Thể tích hình hộp | \( V = \left| [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] \right| \) |
| Thể tích tứ diện \( ABCD \) | \( V = \frac{1}{6} \left| [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] \right| \) |
| Kiểm tra 4 điểm đồng phẳng | \( [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0 \) |
4. Các bước tính diện tích tam giác theo vectơ
Dưới đây là quy trình chi tiết để tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz:
4.1. Phương pháp giải chi tiết
Bước 1: Xác định tọa độ 3 đỉnh tam giác
\( A(x_A, y_A, z_A) \), \( B(x_B, y_B, z_B) \), \( C(x_C, y_C, z_C) \)
Bước 2: Tính tọa độ hai vectơ cạnh
\( \vec{AB} = (x_B – x_A, \, y_B – y_A, \, z_B – z_A) = (a_1, a_2, a_3) \)
\( \vec{AC} = (x_C – x_A, \, y_C – y_A, \, z_C – z_A) = (b_1, b_2, b_3) \)
Bước 3: Tính tích có hướng
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (a_2 b_3 – a_3 b_2, \, a_3 b_1 – a_1 b_3, \, a_1 b_2 – a_2 b_1) \)
Bước 4: Tính độ dài tích có hướng
\( \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{(a_2 b_3 – a_3 b_2)^2 + (a_3 b_1 – a_1 b_3)^2 + (a_1 b_2 – a_2 b_1)^2} \)
Bước 5: Tính diện tích
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \)
4.2. Mẹo tính nhanh tích có hướng
Để tính nhanh diện tích tam giác theo vectơ, có thể sử dụng sơ đồ sau:
Cho \( \vec{u} = (u_1, u_2, u_3) \) và \( \vec{v} = (v_1, v_2, v_3) \)
| Thành phần | Cách tính | Công thức |
|---|---|---|
| Thành phần \( x \) | Che cột 1, tính định thức \( 2 \times 2 \) | \( u_2 v_3 – u_3 v_2 \) |
| Thành phần \( y \) | Che cột 2, đổi dấu | \( -(u_1 v_3 – u_3 v_1) = u_3 v_1 – u_1 v_3 \) |
| Thành phần \( z \) | Che cột 3, tính định thức \( 2 \times 2 \) | \( u_1 v_2 – u_2 v_1 \) |
5. Các dạng bài tập tính diện tích tam giác trong Oxyz
Để thành thạo tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:
5.1. Dạng 1: Biết tọa độ 3 đỉnh
Phương pháp:
- Tính \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \)
- Tính \( \vec{AB} \times \vec{AC} \)
- Áp dụng công thức \( S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \)
5.2. Dạng 2: Tam giác có đỉnh là giao điểm
Phương pháp:
- Tìm tọa độ các giao điểm (đường thẳng với mặt phẳng, 2 đường thẳng,…)
- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz
5.3. Dạng 3: Diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy
Phương pháp:
- Đặt \( z = 0 \) cho tất cả các điểm
- Áp dụng công thức diện tích tam giác trong Oxy
6. Ví dụ và bài tập minh họa
Dưới đây là các ví dụ minh họa tính diện tích tam giác theo vectơ chi tiết:
Ví dụ 1: Tính diện tích tam giác biết tọa độ 3 đỉnh (Cơ bản)
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho tam giác \( ABC \) với \( A(1, 2, 3) \), \( B(3, 0, 1) \), \( C(2, 1, 0) \). Tính diện tích tam giác \( ABC \).
Lời giải:
Bước 1: Tính tọa độ các vectơ
\( \vec{AB} = (3-1, 0-2, 1-3) = (2, -2, -2) \)
\( \vec{AC} = (2-1, 1-2, 0-3) = (1, -1, -3) \)
Bước 2: Tính tích có hướng \( \vec{AB} \times \vec{AC} \)
Thành phần \( x \): \( (-2) \cdot (-3) – (-2) \cdot (-1) = 6 – 2 = 4 \)
Thành phần \( y \): \( (-2) \cdot 1 – 2 \cdot (-3) = -2 + 6 = 4 \)
Thành phần \( z \): \( 2 \cdot (-1) – (-2) \cdot 1 = -2 + 2 = 0 \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (4, 4, 0) \)
Bước 3: Tính độ dài tích có hướng
\( \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)
Bước 4: Tính diện tích
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
Đáp số: \( S_{ABC} = 2\sqrt{2} \) (đơn vị diện tích)
Ví dụ 2: Diện tích tam giác trong Oxy
Đề bài: Tính diện tích tam giác trong Oxy có ba đỉnh \( A(1, 2) \), \( B(4, 6) \), \( C(5, 1) \).
Lời giải:
Cách 1: Sử dụng công thức định thức
\( \vec{AB} = (4-1, 6-2) = (3, 4) \)
\( \vec{AC} = (5-1, 1-2) = (4, -1) \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_{AB} \cdot y_{AC} – x_{AC} \cdot y_{AB} \right| \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 3 \cdot (-1) – 4 \cdot 4 \right| = \frac{1}{2} \left| -3 – 16 \right| = \frac{1}{2} \cdot 19 = \frac{19}{2} \)
Cách 2: Sử dụng công thức tọa độ trực tiếp
\( S = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B – y_C) + x_B(y_C – y_A) + x_C(y_A – y_B) \right| \)
\( S = \frac{1}{2} \left| 1(6-1) + 4(1-2) + 5(2-6) \right| \)
\( S = \frac{1}{2} \left| 5 – 4 – 20 \right| = \frac{1}{2} \cdot 19 = \frac{19}{2} \)
Đáp số: \( S_{ABC} = \frac{19}{2} \) (đơn vị diện tích)
Ví dụ 3: Tam giác có đỉnh trên các trục tọa độ
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \( (P): 2x + 3y + 6z = 12 \). Tính diện tích tam giác tạo bởi mặt phẳng \( (P) \) và các trục tọa độ.
Lời giải:
Bước 1: Tìm giao điểm với các trục tọa độ
Giao với trục \( Ox \) (y = z = 0): \( 2x = 12 \Rightarrow x = 6 \), được \( A(6, 0, 0) \)
Giao với trục \( Oy \) (x = z = 0): \( 3y = 12 \Rightarrow y = 4 \), được \( B(0, 4, 0) \)
Giao với trục \( Oz \) (x = y = 0): \( 6z = 12 \Rightarrow z = 2 \), được \( C(0, 0, 2) \)
Bước 2: Tính vectơ
\( \vec{AB} = (-6, 4, 0) \)
\( \vec{AC} = (-6, 0, 2) \)
Bước 3: Tính tích có hướng
Thành phần \( x \): \( 4 \cdot 2 – 0 \cdot 0 = 8 \)
Thành phần \( y \): \( 0 \cdot (-6) – (-6) \cdot 2 = 12 \)
Thành phần \( z \): \( (-6) \cdot 0 – 4 \cdot (-6) = 24 \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (8, 12, 24) \)
Bước 4: Tính diện tích
\( \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{8^2 + 12^2 + 24^2} = \sqrt{64 + 144 + 576} = \sqrt{784} = 28 \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 28 = 14 \)
Đáp số: \( S_{ABC} = 14 \) (đơn vị diện tích)
Ví dụ 4: Sử dụng tích hỗn tạp tính thể tích
Đề bài: Cho tứ diện \( ABCD \) với \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 1, 0) \), \( C(0, 0, 1) \), \( D(1, 1, 1) \). Tính thể tích tứ diện \( ABCD \).
Lời giải:
Bước 1: Tính các vectơ
\( \vec{AB} = (-1, 1, 0) \)
\( \vec{AC} = (-1, 0, 1) \)
\( \vec{AD} = (0, 1, 1) \)
Bước 2: Tính tích hỗn tạp
\( [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)
Khai triển theo hàng 1:
\( = (-1) \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} – 1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \)
\( = (-1)(0 – 1) – 1(-1 – 0) \)
\( = (-1)(-1) – 1(-1) = 1 + 1 = 2 \)
Bước 3: Tính thể tích
\( V = \frac{1}{6} \left| [\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] \right| = \frac{1}{6} \cdot 2 = \frac{1}{3} \)
Đáp số: \( V = \frac{1}{3} \) (đơn vị thể tích)
Ví dụ 5: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho \( A(2, 1, -1) \), \( B(3, 0, 1) \), \( C(2, -1, 3) \). Tính:
a) Diện tích tam giác \( ABC \)
b) Độ dài đường cao \( AH \) của tam giác
Lời giải:
a) Tính diện tích tam giác ABC
\( \vec{AB} = (1, -1, 2) \)
\( \vec{AC} = (0, -2, 4) \)
Tích có hướng:
Thành phần \( x \): \( (-1) \cdot 4 – 2 \cdot (-2) = -4 + 4 = 0 \)
Thành phần \( y \): \( 2 \cdot 0 – 1 \cdot 4 = -4 \)
Thành phần \( z \): \( 1 \cdot (-2) – (-1) \cdot 0 = -2 \)
\( \vec{AB} \times \vec{AC} = (0, -4, -2) \)
\( \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| = \sqrt{0 + 16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)
\( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5} \)
b) Tính độ dài đường cao AH
\( BC = \left| \vec{BC} \right| = \left| (-1, -1, 2) \right| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \)
Từ \( S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH \):
\( AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{30}}{6} = \frac{\sqrt{30}}{3} \)
Đáp số: a) \( S_{ABC} = \sqrt{5} \); b) \( AH = \frac{\sqrt{30}}{3} \)
Bài tập tự luyện
Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz:
| Bài | Đề bài | Đáp án |
|---|---|---|
| 1 | Tính diện tích tam giác \( A(1, 1, 1) \), \( B(2, 3, 1) \), \( C(1, 2, 3) \) | \( S = \frac{\sqrt{21}}{2} \) |
| 2 | Tính diện tích tam giác trong Oxy: \( A(0, 0) \), \( B(3, 0) \), \( C(0, 4) \) | \( S = 6 \) |
| 3 | Trong không gian Oxyz, tính diện tích tam giác \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 2, 0) \), \( C(0, 0, 3) \) | \( S = \frac{\sqrt{49}}{2} = \frac{7}{2} \) |
| 4 | Tính thể tích tứ diện \( OABC \) với \( A(2, 0, 0) \), \( B(0, 3, 0) \), \( C(0, 0, 4) \) | \( V = 4 \) |
| 5 | Kiểm tra 4 điểm \( A(1, 2, 3) \), \( B(2, 3, 4) \), \( C(3, 4, 5) \), \( D(4, 5, 6) \) có đồng phẳng không? | Có (tích hỗn tạp = 0) |
7. Kết luận
Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz. Công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz sử dụng tích có hướng là phương pháp hiệu quả nhất để giải quyết các bài toán diện tích tam giác trong không gian.
Để tính diện tích tam giác biết tọa độ 3 đỉnh hiệu quả, học sinh cần nhớ:
- Công thức chính: \( S = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \)
- Diện tích tam giác theo vectơ yêu cầu tính tích có hướng chính xác
- Diện tích tam giác trong Oxy là trường hợp đặc biệt với \( z = 0 \)
- Tích hỗn tạp dùng để tính thể tích tứ diện và kiểm tra đồng phẳng
Nắm vững công thức tính diện tích tam giác trong Oxyz sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán hình học không gian trong chương trình Toán 12 và các kỳ thi quan trọng.
Có thể bạn quan tâm
