Thể tích khối chóp tứ giác đều: Công thức, cách tính và bài tập

Thể tích khối chóp tứ giác đều là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 12. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững công thức tính thể tích, cách xác định chiều cao và áp dụng giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao.

Khối chóp tứ giác đều là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính thể tích, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của khối chóp tứ giác đều.

Khối chóp tứ giác đều là khối chóp có:

• Đáy là hình vuông có cạnh bằng \(a\)
• Đỉnh của khối chóp nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt đáy tại tâm hình vuông
• Bốn mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
• Các cạnh bên bằng nhau

Ký hiệu: Khối chóp tứ giác đều S.ABCD có đỉnh S, đáy ABCD là hình vuông, O là tâm hình vuông và SO ⊥ (ABCD).

Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều

Công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều được xây dựng dựa trên công thức chung của khối chóp:

Trong đó:

• \(V\): Thể tích khối chóp tứ giác đều
• \(S_{đáy} = a^2\): Diện tích đáy (hình vuông cạnh \(a\))
• \(h\): Chiều cao của khối chóp (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy)
• \(a\): Cạnh đáy của hình vuông

Cách tính chiều cao khối chóp tứ giác đều

Để áp dụng công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều, việc xác định chiều cao là bước quan trọng nhất. Dưới đây là các trường hợp thường gặp:

Trường hợp 1: Biết cạnh đáy và cạnh bên

Gọi cạnh đáy là \(a\), cạnh bên là \(b\). Ta có:

• Đường chéo hình vuông: \(AC = a\sqrt{2}\)
• Khoảng cách từ tâm O đến đỉnh đáy: \(OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
• Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SOA vuông tại O:

\[h = SO = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{b^2 – \frac{a^2}{2}}\]

Trường hợp 2: Biết cạnh đáy và góc giữa cạnh bên với đáy

Gọi \(\alpha\) là góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD):

\[h = OA \cdot \tan\alpha = \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \tan\alpha\]

Trường hợp 3: Biết cạnh đáy và góc giữa mặt bên với đáy

Gọi \(\beta\) là góc giữa mặt bên và mặt đáy, M là trung điểm của cạnh đáy:

\[h = OM \cdot \tan\beta = \frac{a}{2} \cdot \tan\beta\]

Các dạng bài tập thường gặp

Khi làm bài tập về thể tích khối chóp tứ giác đều, học sinh thường gặp các dạng sau:

Bài tập ví dụ có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập minh họa giúp bạn hiểu rõ cách áp dụng công thức tính thể tích.

Bài tập 1: Dạng cơ bản

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(a = 6\) cm và chiều cao \(h = 9\) cm. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp tứ giác đều:

\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 9 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 9 = 108 \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = 108\) cm³

Bài tập 2: Cho cạnh đáy và cạnh bên

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(a = 4\) cm và cạnh bên \(SA = 2\sqrt{6}\) cm. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm O đến đỉnh A:

\[OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính chiều cao h:

\[h = \sqrt{SA^2 – OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 – (2\sqrt{2})^2}\]

\[h = \sqrt{24 – 8} = \sqrt{16} = 4 \text{ (cm)}\]

Bước 3: Tính thể tích:

\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4 = \frac{64}{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = \frac{64}{3}\) cm³

Bài tập 3: Cho góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(a = 6\) cm. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Bước 1: Xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy:

Góc giữa SA và mặt đáy là góc \(\widehat{SAO} = 60°\)

Bước 2: Tính OA và chiều cao h:

\[OA = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}\]

\[h = OA \cdot \tan 60° = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ (cm)}\]

Bước 3: Tính thể tích:

\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 3\sqrt{6} = 36\sqrt{6} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = 36\sqrt{6}\) cm³

Bài tập 4: Cho góc giữa mặt bên và mặt đáy

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy \(a = 8\) cm. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45°. Tính thể tích khối chóp.

Lời giải:

Bước 1: Gọi M là trung điểm AB, góc giữa mặt bên (SAB) và đáy là \(\widehat{SMO} = 45°\)

Bước 2: Tính OM và chiều cao h:

\[OM = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \text{ (cm)}\]

\[h = OM \cdot \tan 45° = 4 \cdot 1 = 4 \text{ (cm)}\]

Bước 3: Tính thể tích:

\[V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 64 \cdot 4 = \frac{256}{3} \text{ (cm}^3\text{)}\]

Đáp số: \(V = \frac{256}{3}\) cm³

Bài tập 5: Bài toán ngược

Đề bài: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có thể tích bằng 48 cm³ và chiều cao bằng 4 cm. Tính cạnh đáy của khối chóp.

Lời giải:

Từ công thức: \(V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot h\)

Suy ra:

\[a^2 = \frac{3V}{h} = \frac{3 \cdot 48}{4} = 36\]

\[a = 6 \text{ (cm)}\]

Đáp số: \(a = 6\) cm

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về thể tích khối chóp tứ giác đều với công thức \(V = \frac{1}{3}a^2h\). Để giải tốt các bài tập, học sinh cần:

• Nắm vững định nghĩa và các tính chất của khối chóp tứ giác đều
• Thuộc công thức tính thể tích và biết cách biến đổi linh hoạt
• Xác định đúng chiều cao trong từng trường hợp cụ thể
• Luyện tập nhiều dạng bài để thành thạo kỹ năng giải toán

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ cách tính thể tích khối chóp tứ giác đều và tự tin áp dụng vào các bài tập thực hành.