Cách tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu chi tiết, dễ hiểu

Cách tính khoảng biến thiên là kiến thức cơ bản trong thống kê mô tả, giúp đo lường mức độ phân tán của dữ liệu. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết khoảng biến thiên của mẫu số liệu, công thức tính khoảng biến thiên cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

1. Khoảng biến thiên là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính khoảng biến thiên, chúng ta cần nắm vững khái niệm cơ bản:

1.1. Định nghĩa khoảng biến thiên của mẫu số liệu

Khoảng biến thiên (Range) là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong một mẫu số liệu. Đây là đại lượng đơn giản nhất để đo lường độ phân tán của dữ liệu.

Định nghĩa: Cho mẫu số liệu gồm \( n \) giá trị \( x_1, x_2, …, x_n \). Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là:

\( R = x_{max} – x_{min} \)

Trong đó:

• \( R \): Khoảng biến thiên (Range)
• \( x_{max} \): Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu
• \( x_{min} \): Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu

1.2. Ý nghĩa của khoảng biến thiên

Khoảng biến thiên cho biết phạm vi dao động của dữ liệu:

Giá trị R	Ý nghĩa
\( R \) nhỏ	Dữ liệu tập trung, ít phân tán
\( R \) lớn	Dữ liệu phân tán rộng, dao động nhiều
\( R = 0 \)	Tất cả các giá trị bằng nhau

1.3. Ưu điểm và hạn chế

Ưu điểm:

• Đơn giản, dễ tính toán
• Dễ hiểu, trực quan
• Cho cái nhìn nhanh về độ phân tán của dữ liệu

Hạn chế:

• Chỉ phụ thuộc vào 2 giá trị cực trị
• Bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lai (outlier)
• Không phản ánh được sự phân bố của các giá trị còn lại

2. Công thức tính khoảng biến thiên

Dưới đây là công thức tính khoảng biến thiên chi tiết cho các trường hợp:

2.1. Công thức cơ bản

Công thức tính khoảng biến thiên tổng quát:

\( R = x_{max} – x_{min} \)

2.2. Bảng tổng hợp công thức

Loại mẫu số liệu	Công thức	Ghi chú
Mẫu số liệu thô	\( R = x_{max} – x_{min} \)	Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trực tiếp
Bảng tần số	\( R = x_{max} – x_{min} \)	Lấy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ bảng
Bảng tần số ghép nhóm	\( R = c_{max} – c_{min} \)	\( c_{max} \): cận trên của nhóm cuối; \( c_{min} \): cận dưới của nhóm đầu

3. Cách tính khoảng biến thiên chi tiết

Dưới đây là hướng dẫn tính khoảng biến thiên cho từng trường hợp cụ thể:

3.1. Cách tính khoảng biến thiên với mẫu số liệu thô

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định tất cả các giá trị trong mẫu số liệu
2. Bước 2: Tìm giá trị lớn nhất \( x_{max} \)
3. Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất \( x_{min} \)
4. Bước 4: Áp dụng công thức \( R = x_{max} – x_{min} \)

Ví dụ minh họa:

Cho mẫu số liệu: 5, 8, 12, 3, 9, 15, 7, 11

• \( x_{max} = 15 \)
• \( x_{min} = 3 \)
• \( R = 15 – 3 = 12 \)

3.2. Cách tính khoảng biến thiên với bảng tần số

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Quan sát bảng tần số
2. Bước 2: Xác định giá trị lớn nhất có tần số khác 0
3. Bước 3: Xác định giá trị nhỏ nhất có tần số khác 0
4. Bước 4: Tính khoảng biến thiên theo công thức

Ví dụ minh họa:

Giá trị \( x \)	2	4	6	8	10
Tần số \( n \)	3	5	8	4	2

• \( x_{max} = 10 \)
• \( x_{min} = 2 \)
• \( R = 10 – 2 = 8 \)

3.3. Cách tính khoảng biến thiên với bảng tần số ghép nhóm

Với khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta lấy cận trên của nhóm cuối trừ cận dưới của nhóm đầu:

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định nhóm đầu tiên (có tần số khác 0)
2. Bước 2: Xác định nhóm cuối cùng (có tần số khác 0)
3. Bước 3: Lấy cận dưới của nhóm đầu làm \( x_{min} \)
4. Bước 4: Lấy cận trên của nhóm cuối làm \( x_{max} \)
5. Bước 5: Tính \( R = x_{max} – x_{min} \)

Ví dụ minh họa:

Nhóm	[10; 20)	[20; 30)	[30; 40)	[40; 50]
Tần số	4	8	6	2

• \( x_{min} = 10 \) (cận dưới nhóm đầu)
• \( x_{max} = 50 \) (cận trên nhóm cuối)
• \( R = 50 – 10 = 40 \)

4. So sánh khoảng biến thiên với các đại lượng đo độ phân tán khác

Ngoài khoảng biến thiên, còn có các đại lượng khác đo độ phân tán của dữ liệu:

4.1. Bảng so sánh các đại lượng đo độ phân tán

Đại lượng	Công thức	Ưu điểm	Nhược điểm
Khoảng biến thiên \( R \)	\( R = x_{max} – x_{min} \)	Đơn giản, dễ tính	Nhạy cảm với outlier
Phương sai \( S^2 \)	\( S^2 = \frac{1}{n}\sum(x_i – \bar{x})^2 \)	Sử dụng tất cả dữ liệu	Đơn vị là bình phương
Độ lệch chuẩn \( S \)	\( S = \sqrt{S^2} \)	Cùng đơn vị với dữ liệu	Tính toán phức tạp hơn
Khoảng tứ phân vị \( IQR \)	\( IQR = Q_3 – Q_1 \)	Ít nhạy với outlier	Bỏ qua 50% dữ liệu

4.2. Khi nào nên dùng khoảng biến thiên?

Nên dùng khoảng biến thiên khi:

• Cần đánh giá nhanh độ phân tán của dữ liệu
• Mẫu số liệu không có giá trị ngoại lai
• Muốn biết phạm vi dao động của dữ liệu
• Dữ liệu có phân bố đều

Không nên dùng khoảng biến thiên khi:

• Mẫu số liệu có giá trị ngoại lai (outlier)
• Cần đánh giá chính xác độ phân tán
• So sánh độ phân tán giữa các mẫu có kích thước khác nhau

5. Các dạng bài tập tính khoảng biến thiên

Để thành thạo cách tính khoảng biến thiên, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:

5.1. Dạng 1: Tính khoảng biến thiên từ mẫu số liệu thô

Phương pháp giải:

1. Sắp xếp hoặc quan sát dữ liệu để tìm \( x_{max} \) và \( x_{min} \)
2. Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên

5.2. Dạng 2: Tính khoảng biến thiên từ bảng tần số

Phương pháp giải:

1. Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ bảng
2. Tính hiệu số

5.3. Dạng 3: So sánh khoảng biến thiên của hai mẫu

Phương pháp giải:

1. Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu thứ nhất
2. Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu thứ hai
3. So sánh và kết luận về độ phân tán

5.4. Dạng 4: Bài toán ngược – Tìm giá trị khi biết khoảng biến thiên

Phương pháp giải:

1. Thiết lập phương trình từ điều kiện khoảng biến thiên
2. Giải phương trình tìm giá trị chưa biết

6. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính khoảng biến thiên chi tiết:

Ví dụ 1: Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu thô

Đề bài: Điểm kiểm tra môn Toán của 10 học sinh lớp 10A như sau:

7, 8, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 4, 8

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Quan sát mẫu số liệu: 7, 8, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 4, 8

• Giá trị lớn nhất: \( x_{max} = 10 \)
• Giá trị nhỏ nhất: \( x_{min} = 4 \)

Bước 2: Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên

\( R = x_{max} – x_{min} = 10 – 4 = 6 \)

Đáp số: Khoảng biến thiên \( R = 6 \) điểm

Nhận xét: Điểm số dao động trong khoảng 6 điểm, cho thấy có sự chênh lệch đáng kể giữa học sinh giỏi nhất và yếu nhất.

Ví dụ 2: Tính khoảng biến thiên từ bảng tần số

Đề bài: Số lỗi chính tả trong bài văn của 30 học sinh được ghi lại trong bảng sau:

Số lỗi	0	1	2	3	4	5
Tần số	2	5	10	8	3	2

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu.

Lời giải:

Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất từ bảng

• Giá trị lớn nhất: \( x_{max} = 5 \) (có tần số 2)
• Giá trị nhỏ nhất: \( x_{min} = 0 \) (có tần số 2)

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

\( R = x_{max} – x_{min} = 5 – 0 = 5 \)

Đáp số: Khoảng biến thiên \( R = 5 \) lỗi

Ví dụ 3: Tính khoảng biến thiên từ bảng tần số ghép nhóm

Đề bài: Chiều cao (cm) của 40 học sinh được ghi trong bảng sau:

Chiều cao (cm)	[145; 150)	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170]
Tần số	3	8	15	10	4

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

Lời giải:

Bước 1: Xác định cận của nhóm đầu và nhóm cuối

• Nhóm đầu tiên: [145; 150) → cận dưới = 145
• Nhóm cuối cùng: [165; 170] → cận trên = 170

Bước 2: Tính khoảng biến thiên

\( R = 170 – 145 = 25 \) cm

Đáp số: Khoảng biến thiên \( R = 25 \) cm

Ví dụ 4: So sánh khoảng biến thiên của hai mẫu

Đề bài: Điểm thi của hai nhóm học sinh như sau:

• Nhóm A: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9
• Nhóm B: 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10

So sánh khoảng biến thiên của hai nhóm và nhận xét.

Lời giải:

Nhóm A:

• \( x_{max} = 9 \), \( x_{min} = 6 \)
• \( R_A = 9 – 6 = 3 \)

Nhóm B:

• \( x_{max} = 10 \), \( x_{min} = 4 \)
• \( R_B = 10 – 4 = 6 \)

Nhận xét:

• \( R_B = 6 > R_A = 3 \)
• Điểm số của nhóm B phân tán hơn so với nhóm A
• Nhóm A có kết quả đồng đều hơn

Đáp số: \( R_A = 3 \), \( R_B = 6 \). Nhóm B có độ phân tán lớn hơn.

Ví dụ 5: Bài toán ngược

Đề bài: Cho mẫu số liệu: 3, 5, 7, 9, \( x \). Biết khoảng biến thiên của mẫu là 10. Tìm các giá trị có thể của \( x \).

Lời giải:

Mẫu số liệu hiện có (không kể \( x \)): 3, 5, 7, 9

Với 4 giá trị này: \( x_{max} = 9 \), \( x_{min} = 3 \), khoảng biến thiên = 6

Để khoảng biến thiên = 10, ta cần \( x \) thay đổi giá trị cực trị:

Trường hợp 1: \( x \) là giá trị lớn nhất mới

• \( x – 3 = 10 \)
• \( x = 13 \)

Trường hợp 2: \( x \) là giá trị nhỏ nhất mới

• \( 9 – x = 10 \)
• \( x = -1 \)

Đáp số: \( x = 13 \) hoặc \( x = -1 \)

Ví dụ 6: Ứng dụng thực tế

Đề bài: Nhiệt độ (°C) đo được trong 7 ngày của một tuần tại Hà Nội:

Thứ 2: 25, Thứ 3: 27, Thứ 4: 24, Thứ 5: 28, Thứ 6: 26, Thứ 7: 30, Chủ nhật: 23

Tính khoảng biến thiên và nhận xét về sự biến động nhiệt độ.

Lời giải:

Mẫu số liệu: 25, 27, 24, 28, 26, 30, 23

• \( x_{max} = 30°C \) (Thứ 7)
• \( x_{min} = 23°C \) (Chủ nhật)

\( R = 30 – 23 = 7°C \)

Nhận xét:

• Nhiệt độ dao động trong khoảng 7°C
• Sự chênh lệch này tương đối bình thường với thời tiết mùa xuân/thu
• Nhiệt độ không có biến động quá lớn trong tuần

Đáp số: Khoảng biến thiên \( R = 7°C \)

Bài tập tự luyện

Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về cách tính khoảng biến thiên:

Bài	Đề bài	Đáp án
1	Tính khoảng biến thiên của mẫu: 12, 15, 18, 21, 24, 27	\( R = 15 \)
2	Tính khoảng biến thiên: 5, 5, 5, 5, 5	\( R = 0 \)
3	Bảng tần số ghép nhóm: [0; 10), [10; 20), [20; 30] với tần số 5, 10, 5. Tính R	\( R = 30 \)
4	Mẫu số liệu: 2, 4, 6, 8, \( a \) có \( R = 12 \). Tìm \( a \)	\( a = 14 \) hoặc \( a = -4 \)
5	So sánh R của mẫu A: 10, 20, 30 và mẫu B: 18, 20, 22	\( R_A = 20 > R_B = 4 \)

7. Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về cách tính khoảng biến thiên và khoảng biến thiên của mẫu số liệu. Đây là đại lượng đơn giản nhất để đo lường độ phân tán của dữ liệu trong thống kê.

Để tính khoảng biến thiên hiệu quả, học sinh cần nhớ:

• Công thức tính khoảng biến thiên: \( R = x_{max} – x_{min} \)
• Với bảng tần số ghép nhóm: lấy cận trên nhóm cuối trừ cận dưới nhóm đầu
• Khoảng biến thiên càng lớn, dữ liệu càng phân tán
• Hạn chế: nhạy cảm với giá trị ngoại lai

Khoảng biến thiên là công cụ hữu ích để đánh giá nhanh độ phân tán của dữ liệu, tuy nhiên cần kết hợp với các đại lượng khác như phương sai, độ lệch chuẩn để có cái nhìn toàn diện hơn về mẫu số liệu.