Phương trình đường tròn: Dạng chính tắc, điều kiện và cách viết

Phương trình đường tròn là một trong những kiến thức trọng tâm của chương Hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững phương trình đường tròn dạng chính tắc, phương trình đường tròn dạng tổng quát, cách xác định tâm và bán kính, cùng các bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Đường tròn là gì?

Đường tròn là tập hợp tất cả các điểm trong mặt phẳng cách đều một điểm cố định một khoảng không đổi.

Trong đó:

• Tâm đường tròn (I): Điểm cố định
• Bán kính (R): Khoảng cách không đổi từ tâm đến các điểm trên đường tròn (R > 0)

Như vậy, điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính R khi và chỉ khi: \( IM = R \)

Phương trình đường tròn dạng chính tắc

Đây là dạng cơ bản và trực quan nhất của phương trình đường tròn.

Công thức phương trình đường tròn dạng chính tắc

Đường tròn có tâm \( I(a, b) \) và bán kính \( R \) có phương trình:

\( (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \)

Trong đó:

• \( (a, b) \): Tọa độ tâm I của đường tròn
• \( R \): Bán kính đường tròn (R > 0)
• \( (x, y) \): Tọa độ điểm M bất kỳ thuộc đường tròn

Các trường hợp đặc biệt

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường tròn tâm \( I(2, -3) \), bán kính \( R = 5 \) có phương trình:

\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)

Ví dụ 2: Đường tròn tâm \( I(-1, 4) \), bán kính \( R = 3 \) có phương trình:

\( (x + 1)^2 + (y – 4)^2 = 9 \)

Phương trình đường tròn dạng tổng quát

Ngoài dạng chính tắc, phương trình đường tròn còn có thể viết dưới dạng tổng quát.

Công thức phương trình đường tròn dạng tổng quát

\( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \)

Trong đó:

• Tâm đường tròn: \( I(a, b) \)
• Bán kính: \( R = \sqrt{a^2 + b^2 – c} \)

Điều kiện để phương trình là đường tròn

Phương trình \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi:

\( a^2 + b^2 – c > 0 \)

Nhận dạng phương trình đường tròn

Một phương trình bậc hai hai ẩn có dạng đường tròn khi:

• Hệ số của \( x^2 \) và \( y^2 \) bằng nhau và khác 0
• Không có số hạng chứa \( xy \)
• Thỏa mãn điều kiện \( a^2 + b^2 – c > 0 \)

Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn

Khi đã có phương trình đường tròn, ta có thể dễ dàng xác định tâm và bán kính bằng các phương pháp sau.

Phương pháp 1: Từ dạng chính tắc

Nếu phương trình có dạng \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \), ta đọc ngay:

• Tâm: \( I(a, b) \)
• Bán kính: \( R \)

Phương pháp 2: Từ dạng tổng quát

Nếu phương trình có dạng \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \):

1. Bước 1: Xác định các hệ số a, b, c
2. Bước 2: Tính tâm \( I(a, b) \)
3. Bước 3: Tính bán kính \( R = \sqrt{a^2 + b^2 – c} \)

Phương pháp 3: Biến đổi về dạng chính tắc

Sử dụng phương pháp đặt thừa số (hoàn thành bình phương):

Ví dụ: Cho phương trình \( x^2 + y^2 – 4x + 6y – 12 = 0 \)

Biến đổi:

\( (x^2 – 4x + 4) + (y^2 + 6y + 9) – 12 – 4 – 9 = 0 \)

\( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \)

Suy ra: Tâm \( I(2, -3) \), bán kính \( R = 5 \)

Cách viết phương trình đường tròn

Dưới đây là các trường hợp thường gặp khi viết phương trình đường tròn.

Trường hợp 1: Biết tâm và bán kính

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \)

Trường hợp 2: Biết tâm và đường tròn đi qua một điểm

Phương pháp:

1. Tính bán kính: \( R = IM \) (khoảng cách từ tâm đến điểm M)
2. Viết phương trình đường tròn

Trường hợp 3: Biết tâm và đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

Phương pháp:

1. Tính bán kính: \( R = d(I, \Delta) \) (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng)
2. Công thức khoảng cách: \( d(I, \Delta) = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \) với đường thẳng \( Ax + By + C = 0 \)

Trường hợp 4: Biết đường kính AB

Phương pháp:

1. Tâm I là trung điểm của AB: \( I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \)
2. Bán kính: \( R = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2}\sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \)

Trường hợp 5: Đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Phương pháp:

1. Gọi phương trình đường tròn dạng tổng quát: \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \)
2. Thay tọa độ 3 điểm vào phương trình, được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c
3. Giải hệ tìm a, b, c

Vị trí tương đối của điểm và đường tròn

Để xác định vị trí của điểm M so với đường tròn, ta so sánh khoảng cách IM với bán kính R.

Bài tập phương trình đường tròn có lời giải

Để củng cố kiến thức về phương trình đường tròn, hãy cùng giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và bán kính

Đề bài: Viết phương trình đường tròn có tâm \( I(3, -2) \) và bán kính \( R = 4 \).

Lời giải:

Áp dụng công thức phương trình đường tròn dạng chính tắc:

\( (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \)

Thay \( a = 3 \), \( b = -2 \), \( R = 4 \):

\( (x – 3)^2 + (y + 2)^2 = 16 \)

Dạng tổng quát:

\( x^2 – 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16 \)

\( x^2 + y^2 – 6x + 4y – 3 = 0 \)

Bài tập 2: Xác định tâm và bán kính từ phương trình tổng quát

Đề bài: Tìm tâm và bán kính của đường tròn có phương trình: \( x^2 + y^2 + 4x – 10y + 4 = 0 \)

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức

So sánh với dạng \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \):

• \( -2a = 4 \Rightarrow a = -2 \)
• \( -2b = -10 \Rightarrow b = 5 \)
• \( c = 4 \)

Tâm: \( I(-2, 5) \)

Bán kính: \( R = \sqrt{a^2 + b^2 – c} = \sqrt{4 + 25 – 4} = \sqrt{25} = 5 \)

Cách 2: Biến đổi về dạng chính tắc

\( (x^2 + 4x + 4) + (y^2 – 10y + 25) + 4 – 4 – 25 = 0 \)

\( (x + 2)^2 + (y – 5)^2 = 25 \)

Kết luận: Tâm \( I(-2, 5) \), bán kính \( R = 5 \).

Bài tập 3: Đường tròn đi qua một điểm và tiếp xúc với đường thẳng

Đề bài: Viết phương trình đường tròn có tâm \( I(1, 2) \) và tiếp xúc với đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y – 15 = 0 \).

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng)

\( R = d(I, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 – 15|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 + 8 – 15|}{\sqrt{25}} = \frac{|-4|}{5} = \frac{4}{5} \)

Bước 2: Viết phương trình đường tròn

\( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{16}{25} \)

Kết luận: Phương trình đường tròn là \( (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = \frac{16}{25} \).

Bài tập 4: Đường tròn có đường kính AB

Đề bài: Viết phương trình đường tròn đường kính AB với \( A(1, 3) \) và \( B(5, -1) \).

Lời giải:

Bước 1: Tìm tâm I (trung điểm AB)

\( I\left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = I(3, 1) \)

Bước 2: Tính bán kính

\( AB = \sqrt{(5 – 1)^2 + (-1 – 3)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

\( R = \frac{AB}{2} = 2\sqrt{2} \)

Bước 3: Viết phương trình đường tròn

\( (x – 3)^2 + (y – 1)^2 = 8 \)

Kết luận: Phương trình đường tròn là \( (x – 3)^2 + (y – 1)^2 = 8 \).

Bài tập 5: Đường tròn đi qua 3 điểm

Đề bài: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm \( A(1, 0) \), \( B(0, 2) \), \( C(2, 2) \).

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn: \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \)

Thay tọa độ các điểm:

• A(1, 0): \( 1 – 2a + c = 0 \) → \( -2a + c = -1 \) (1)
• B(0, 2): \( 4 – 4b + c = 0 \) → \( -4b + c = -4 \) (2)
• C(2, 2): \( 4 + 4 – 4a – 4b + c = 0 \) → \( -4a – 4b + c = -8 \) (3)

Giải hệ phương trình:

Từ (1): \( c = 2a – 1 \)

Thay vào (2): \( -4b + 2a – 1 = -4 \) → \( 2a – 4b = -3 \) (4)

Thay vào (3): \( -4a – 4b + 2a – 1 = -8 \) → \( -2a – 4b = -7 \) (5)

Từ (4) và (5):

\( (4) – (5): 4a = 4 \Rightarrow a = 1 \)

Thay vào (4): \( 2 – 4b = -3 \Rightarrow b = \frac{5}{4} \)

\( c = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \)

Phương trình đường tròn:

\( x^2 + y^2 – 2x – \frac{5}{2}y + 1 = 0 \)

Hay: \( (x – 1)^2 + \left(y – \frac{5}{4}\right)^2 = \frac{25}{16} \)

Kết luận: Tâm \( I\left(1, \frac{5}{4}\right) \), bán kính \( R = \frac{5}{4} \).

Bài tập 6: Xét vị trí của điểm so với đường tròn

Đề bài: Cho đường tròn \( (C): (x – 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \). Xét vị trí các điểm \( M(3, 1) \), \( N(5, 2) \), \( P(4, -4) \) so với đường tròn.

Lời giải:

Đường tròn có tâm \( I(2, -1) \), bán kính \( R = 3 \).

Ta tính giá trị biểu thức \( f(x, y) = (x – 2)^2 + (y + 1)^2 – 9 \) tại mỗi điểm:

• \( f(M) = (3 – 2)^2 + (1 + 1)^2 – 9 = 1 + 4 – 9 = -4 < 0 \) → M nằm trong đường tròn
• \( f(N) = (5 – 2)^2 + (2 + 1)^2 – 9 = 9 + 9 – 9 = 9 > 0 \) → N nằm ngoài đường tròn
• \( f(P) = (4 – 2)^2 + (-4 + 1)^2 – 9 = 4 + 9 – 9 = 4 > 0 \) → P nằm ngoài đường tròn

Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về phương trình đường tròn bao gồm dạng chính tắc \( (x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2 \) và dạng tổng quát \( x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0 \). Đây là kiến thức nền tảng quan trọng trong Hình học giải tích, giúp giải quyết nhiều bài toán về đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Hãy ghi nhớ các công thức và phương pháp viết phương trình đường tròn để áp dụng hiệu quả trong các bài tập và đề thi.