Hình chóp đều: Định nghĩa, tính chất và công thức tính đầy đủ

Hình chóp đều là một trong những hình khối quan trọng nhất trong chương trình Hình học không gian. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hình chóp đều là gì, tính chất hình chóp đều, các công thức tính diện tích, thể tích cùng kiến thức về hình chóp cụt đều và bài tập minh họa chi tiết.

1. Hình chóp là gì?

Trước khi tìm hiểu về chóp đều, ta cần nắm vững khái niệm cơ bản về hình chóp.

1.1. Định nghĩa hình chóp

Hình chóp là hình khối được tạo bởi một đa giác (gọi là mặt đáy) và các tam giác có chung một đỉnh (gọi là đỉnh của hình chóp).

1.2. Các yếu tố của hình chóp

Yếu tố	Mô tả
Đỉnh (S)	Điểm chung của tất cả các mặt bên
Mặt đáy	Đa giác làm đáy của hình chóp
Mặt bên	Các tam giác nối đỉnh với các cạnh đáy
Cạnh bên	Các đoạn thẳng nối đỉnh với các đỉnh của đáy
Cạnh đáy	Các cạnh của đa giác đáy
Chiều cao (h)	Khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy

1.3. Cách gọi tên hình chóp

Hình chóp được gọi tên theo số cạnh của đa giác đáy:

• Đáy tam giác → Hình chóp tam giác
• Đáy tứ giác → Hình chóp tứ giác
• Đáy ngũ giác → Hình chóp ngũ giác
• Đáy lục giác → Hình chóp lục giác

2. Hình chóp đều là gì?

Vậy hình chóp đều là gì và có đặc điểm như thế nào?

2.1. Định nghĩa hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có:

• Đáy là đa giác đều
• Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đều đáy

Nói cách khác, chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và đường cao đi qua tâm của đa giác đáy.

2.2. Điều kiện để hình chóp là hình chóp đều

Hình chóp đều có tính chất gì đặc biệt? Để một hình chóp là hình chóp đều, cần thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

1. Đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau
2. Đáy là đa giác đều và các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau
3. Đáy là đa giác đều và chân đường cao là tâm đa giác đáy

2.3. Ký hiệu

Hình chóp đều S.ABC…N với:

• S: đỉnh của hình chóp
• ABC…N: đa giác đều làm đáy
• O: tâm đa giác đáy (chân đường cao)

3. Tính chất hình chóp đều

Dưới đây là các tính chất của hình chóp đều quan trọng cần ghi nhớ:

3.1. Tính chất về mặt đáy

• Mặt đáy là đa giác đều
• Tâm đa giác đáy là chân đường cao của hình chóp

3.2. Tính chất về cạnh bên

Tính chất hình chóp đều về cạnh bên:

• Tất cả các cạnh bên bằng nhau: SA = SB = SC = … = l
• Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3.3. Tính chất về mặt bên

• Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau có chung đỉnh S
• Các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

3.4. Tính chất về trung đoạn (apothem)

Trung đoạn của hình chóp đều là đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh S đến một cạnh đáy.

• Tất cả các trung đoạn bằng nhau
• Trung đoạn là đường cao của mặt bên tam giác cân
• Ký hiệu: d (hoặc apothem)

3.5. Bảng tổng hợp tính chất hình chóp đều

Tính chất	Nội dung chi tiết
Mặt đáy	Đa giác đều
Cạnh bên	Bằng nhau, tạo với đáy góc bằng nhau
Mặt bên	Tam giác cân bằng nhau
Trung đoạn	Bằng nhau, là đường cao mặt bên
Đường cao	Đi qua tâm đa giác đáy
Trục đối xứng	Đường thẳng chứa đường cao

4. Các loại hình chóp đều thường gặp

Trong chương trình phổ thông, các dạng hình chóp đều thường gặp bao gồm:

4.1. Hình chóp tam giác đều

Hình chóp tam giác đều là hình chóp đều có đáy là tam giác đều.

Đặc điểm:

• Đáy: Tam giác đều cạnh a
• Số mặt bên: 3 tam giác cân bằng nhau
• Tổng số mặt: 4 mặt
• Tổng số cạnh: 6 cạnh
• Tổng số đỉnh: 4 đỉnh

Các công thức:

Đại lượng	Công thức
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy	\(R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Bán kính đường tròn nội tiếp đáy	\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\)
Diện tích đáy	\(S_đ = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Cạnh bên (khi biết h)	\(l = \sqrt{h^2 + R^2} = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{3}}\)

4.2. Hình chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông.

Đặc điểm:

• Đáy: Hình vuông cạnh a
• Số mặt bên: 4 tam giác cân bằng nhau
• Tổng số mặt: 5 mặt
• Tổng số cạnh: 8 cạnh
• Tổng số đỉnh: 5 đỉnh

Các công thức:

Đại lượng	Công thức
Đường chéo đáy	\(d = a\sqrt{2}\)
Nửa đường chéo (= R)	\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Diện tích đáy	\(S_đ = a^2\)
Cạnh bên (khi biết h)	\(l = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{2}}\)
Trung đoạn	\(d = \sqrt{h^2 + \frac{a^2}{4}}\)

4.3. Hình chóp ngũ giác đều

Hình chóp ngũ giác đều là hình chóp đều có đáy là ngũ giác đều.

Đặc điểm:

• Đáy: Ngũ giác đều cạnh a
• Số mặt bên: 5 tam giác cân bằng nhau
• Tổng số mặt: 6 mặt
• Tổng số cạnh: 10 cạnh
• Tổng số đỉnh: 6 đỉnh

4.4. Hình chóp lục giác đều

Hình chóp lục giác đều là hình chóp đều có đáy là lục giác đều.

Đặc điểm:

• Đáy: Lục giác đều cạnh a
• Số mặt bên: 6 tam giác cân bằng nhau
• Bán kính ngoại tiếp đáy: R = a
• Bán kính nội tiếp đáy: \(r = \frac{a\sqrt{3}}{2}\)
• Diện tích đáy: \(S_đ = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

5. Hình chóp cụt và hình chóp cụt đều

Bên cạnh hình chóp đều, còn có khái niệm hình chóp cụt quan trọng.

5.1. Hình chóp cụt là gì?

Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa mặt đáy và một mặt phẳng cắt song song với mặt đáy.

Đặc điểm:

• Có hai mặt đáy song song (đáy lớn và đáy nhỏ)
• Các mặt bên là hình thang
• Hai đáy là hai đa giác đồng dạng

5.2. Hình chóp cụt đều

Hình chóp cụt đều là hình chóp cụt được tạo thành khi cắt một hình chóp đều bằng mặt phẳng song song với đáy.

Tính chất của hình chóp cụt đều:

• Hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng
• Các mặt bên là các hình thang cân bằng nhau
• Các cạnh bên bằng nhau

5.3. Công thức tính hình chóp cụt

Gọi \(S_1\), \(S_2\) là diện tích hai đáy (đáy lớn và đáy nhỏ), h là chiều cao:

Thể tích hình chóp cụt:

\(V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})\)

6. Công thức tính hình chóp đều

Dưới đây là các công thức tính cho hình chóp đều:

6.1. Diện tích xung quanh

Công thức:

\(S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot d\)

Trong đó:

• p: chu vi đáy
• d: trung đoạn (apothem) – đường cao của mặt bên

Hoặc: \(S_{xq} = n \cdot S_{mặt bên}\) (n là số mặt bên)

6.2. Diện tích toàn phần

\(S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy}\)

6.3. Thể tích

\(V = \frac{1}{3} \cdot S_{đáy} \cdot h\)

Trong đó h là chiều cao (khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy).

6.4. Bảng công thức tổng hợp

Đại lượng	Công thức
Diện tích xung quanh	\(S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot d\)
Diện tích toàn phần	\(S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy}\)
Thể tích	\(V = \frac{1}{3} S_{đáy} \cdot h\)
Thể tích chóp cụt	\(V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})\)

7. Các mối quan hệ trong hình chóp đều

Dưới đây là các mối quan hệ quan trọng trong chóp đều:

7.1. Quan hệ giữa các yếu tố

Trong hình chóp đều S.ABC… với:

• h: chiều cao
• l: cạnh bên
• R: bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy
• r: bán kính đường tròn nội tiếp đáy
• d: trung đoạn

Các công thức quan hệ:

Quan hệ	Công thức
Cạnh bên theo h và R	\(l^2 = h^2 + R^2\)
Trung đoạn theo h và r	\(d^2 = h^2 + r^2\)
Góc cạnh bên với đáy	\(\tan \alpha = \frac{h}{R}\)
Góc mặt bên với đáy	\(\tan \beta = \frac{h}{r}\)

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng tính chất hình chóp đều và các công thức để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Hình chóp tứ giác đều

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a = 6 cm, cạnh bên l = 5 cm. Tính chiều cao, diện tích xung quanh và thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính ngoại tiếp đáy

Đáy là hình vuông cạnh a = 6, nên:

\(R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) (cm)

Bước 2: Tính chiều cao

Áp dụng: \(l^2 = h^2 + R^2\)

\(25 = h^2 + 18\)

\(h^2 = 7 \Rightarrow h = \sqrt{7}\) (cm)

Bước 3: Tính trung đoạn

\(r = \frac{a}{2} = 3\) cm (khoảng cách từ tâm đến cạnh đáy)

\(d^2 = h^2 + r^2 = 7 + 9 = 16\)

\(d = 4\) (cm)

Bước 4: Tính diện tích xung quanh

Chu vi đáy: p = 4a = 24 cm

\(S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot p \cdot d = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 4 = 48\) (cm²)

Bước 5: Tính thể tích

\(S_{đáy} = a^2 = 36\) (cm²)

\(V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot \sqrt{7} = 12\sqrt{7} \approx 31,75\) (cm³)

Đáp số: h = √7 cm, S_xq = 48 cm², V = 12√7 cm³

Bài tập 2: Hình chóp tam giác đều

Đề bài: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy a = 6 cm, chiều cao h = 4 cm. Tính diện tích toàn phần.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích đáy

\(S_{đáy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}\) (cm²)

Bước 2: Tính bán kính nội tiếp đáy

\(r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\) (cm)

Bước 3: Tính trung đoạn

\(d = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{16 + 3} = \sqrt{19}\) (cm)

Bước 4: Tính diện tích xung quanh

Chu vi đáy: p = 3a = 18 cm

\(S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot \sqrt{19} = 9\sqrt{19}\) (cm²)

Bước 5: Tính diện tích toàn phần

\(S_{tp} = S_{xq} + S_{đáy} = 9\sqrt{19} + 9\sqrt{3} \approx 54,82\) (cm²)

Đáp số: S_tp = 9√19 + 9√3 ≈ 54,82 cm²

Bài tập 3: Hình chóp cụt đều

Đề bài: Một hình chóp cụt đều có đáy lớn là hình vuông cạnh 8 cm, đáy nhỏ là hình vuông cạnh 4 cm, chiều cao 6 cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Diện tích đáy lớn: \(S_1 = 8^2 = 64\) (cm²)

Diện tích đáy nhỏ: \(S_2 = 4^2 = 16\) (cm²)

Áp dụng công thức thể tích hình chóp cụt:

\(V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2})\)

\(V = \frac{6}{3}(64 + 16 + \sqrt{64 \cdot 16})\)

\(V = 2(64 + 16 + 32) = 2 \cdot 112 = 224\) (cm³)

Đáp số: V = 224 cm³

Bài tập 4: Tính góc

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên bằng cạnh đáy. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Lời giải:

Cạnh bên l = a

Bán kính ngoại tiếp đáy: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Chiều cao: \(h = \sqrt{l^2 – R^2} = \sqrt{a^2 – \frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) là góc \(\widehat{SAO}\):

\(\tan(\widehat{SAO}) = \frac{h}{R} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = 1\)

\(\widehat{SAO} = 45°\)

Đáp số: Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 45°

9. Bài tập tự luyện

Vận dụng tính chất của hình chóp đều, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy 8 cm, cạnh bên 10 cm. Tính thể tích.

Xem đáp án

\(R = \frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm

\(h = \sqrt{100 – \frac{64}{3}} = \sqrt{\frac{236}{3}} = \frac{2\sqrt{59}}{\sqrt{3}}\) cm

\(S_{đáy} = 16\sqrt{3}\) cm²

\(V = \frac{1}{3} \cdot 16\sqrt{3} \cdot h \approx 73,9\) cm³

Bài 2: Hình chóp ngũ giác đều có cạnh đáy 4 cm, chiều cao 6 cm. Tính thể tích.

Xem đáp án

Diện tích ngũ giác đều: \(S = \frac{5a^2}{4}\tan 54° \approx 27,53\) cm²

\(V = \frac{1}{3} \cdot 27,53 \cdot 6 \approx 55,06\) cm³

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 6 cm, mặt bên tạo với đáy góc 60°. Tính diện tích xung quanh.

Xem đáp án

\(r = 3\) cm, \(\tan 60° = \frac{h}{r} \Rightarrow h = 3\sqrt{3}\) cm

\(d = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{27 + 9} = 6\) cm

\(S_{xq} = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 6 = 72\) cm²

10. Kết luận

Hình chóp đều là hình khối có nhiều tính chất đặc biệt và ứng dụng rộng rãi. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy
• Tính chất hình chóp đều: cạnh bên bằng nhau, mặt bên là tam giác cân bằng nhau, trung đoạn bằng nhau
• Các loại: hình chóp tam giác đều, tứ giác đều, ngũ giác đều, lục giác đều
• Hình chóp cụt đều và công thức thể tích
• Công thức: \(S_{xq} = \frac{1}{2}pd\), \(V = \frac{1}{3}S_{đáy} \cdot h\)

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về chóp đều để thành thạo và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.