Công thức nội suy: Nội suy Lagrange và cách tính chi tiết

Công thức nội suy là một trong những công cụ toán học quan trọng giúp ước tính giá trị của hàm số tại các điểm chưa biết dựa trên dữ liệu đã có. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về nội suy Lagrange, công thức tính nội suy và các phương pháp nội suy phổ biến kèm ví dụ minh họa dễ hiểu.

1. Nội suy là gì? Khái niệm cơ bản

Để hiểu rõ công thức nội suy, trước tiên chúng ta cần nắm vững các khái niệm nền tảng sau:

1.1. Định nghĩa Nội suy

Nội suy (Interpolation) là phương pháp ước tính giá trị của một hàm số tại một điểm nằm trong khoảng các điểm dữ liệu đã biết. Nói cách khác, từ một tập hợp các cặp giá trị \( (x_i, y_i) \), ta xây dựng một hàm số đi qua tất cả các điểm này để tính giá trị tại các điểm khác.

Bài toán nội suy cơ bản:

• Cho: \( n + 1 \) điểm dữ liệu \( (x_0, y_0), (x_1, y_1), …, (x_n, y_n) \) với \( x_i \) đôi một khác nhau
• Tìm: Đa thức \( P(x) \) bậc không quá \( n \) sao cho \( P(x_i) = y_i \) với mọi \( i = 0, 1, …, n \)

1.2. Mục đích và ý nghĩa của phép Nội suy

Phép nội suy có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế:

1.3. Phân loại các phương pháp Nội suy

Có nhiều phương pháp tính nội suy khác nhau, mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng:

1. Nội suy Lagrange: Phương pháp cổ điển, dễ hiểu
2. Nội suy Newton: Thuận tiện khi thêm điểm dữ liệu mới
3. Nội suy tuyến tính: Đơn giản nhất, dùng cho 2 điểm
4. Nội suy Spline: Tạo đường cong mượt mà

2. Công thức nội suy Lagrange

Nội suy Lagrange là phương pháp nội suy phổ biến nhất, được đặt theo tên nhà toán học Joseph-Louis Lagrange. Đây là nền tảng để hiểu các công thức nội suy khác.

2.1. Đa thức nội suy Lagrange là gì?

Đa thức nội suy Lagrange là đa thức duy nhất có bậc không quá \( n \) đi qua \( n + 1 \) điểm cho trước. Đa thức này được xây dựng dựa trên các đa thức cơ sở Lagrange.

Định lý: Cho \( n + 1 \) điểm phân biệt \( (x_0, y_0), (x_1, y_1), …, (x_n, y_n) \), tồn tại duy nhất một đa thức \( P(x) \) bậc không quá \( n \) thỏa mãn \( P(x_i) = y_i \) với mọi \( i \).

2.2. Công thức Lagrange chi tiết

Công thức nội suy Lagrange được viết như sau:

\( P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \)

Trong đó, đa thức cơ sở Lagrange \( L_i(x) \) được định nghĩa:

\( L_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x – x_j}{x_i – x_j} \)

Viết chi tiết hơn:

\( L_i(x) = \frac{(x – x_0)(x – x_1)…(x – x_{i-1})(x – x_{i+1})…(x – x_n)}{(x_i – x_0)(x_i – x_1)…(x_i – x_{i-1})(x_i – x_{i+1})…(x_i – x_n)} \)

2.3. Tính chất của đa thức cơ sở Lagrange

Các đa thức cơ sở Lagrange có tính chất quan trọng:

\( L_i(x_j) = \begin{cases} 1 & \text{nếu } i = j \\ 0 & \text{nếu } i \neq j \end{cases} \)

Tính chất này đảm bảo đa thức \( P(x) \) đi qua tất cả các điểm dữ liệu.

2.4. Công thức Lagrange cho các trường hợp đặc biệt

Dưới đây là công thức Lagrange cho một số trường hợp thường gặp:

3. Công thức tính nội suy các dạng khác

Ngoài nội suy Lagrange, còn có các phương pháp tính nội suy khác cũng rất quan trọng:

3.1. Nội suy tuyến tính (Linear Interpolation)

Đây là công thức nội suy đơn giản nhất, sử dụng cho 2 điểm dữ liệu:

\( y = y_0 + \frac{y_1 – y_0}{x_1 – x_0}(x – x_0) \)

Hoặc viết dưới dạng:

\( y = y_0 + (y_1 – y_0) \cdot \frac{x – x_0}{x_1 – x_0} \)

3.2. Nội suy Newton (Newton’s Interpolation)

Công thức nội suy Newton sử dụng sai phân chia:

\( P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x – x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x – x_0)(x – x_1) + … \)

Trong đó, sai phân chia được định nghĩa đệ quy:

• \( f[x_i] = y_i \)
• \( f[x_i, x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}] – f[x_i]}{x_{i+1} – x_i} \)
• \( f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1}, x_{i+2}] – f[x_i, x_{i+1}]}{x_{i+2} – x_i} \)

3.3. So sánh các phương pháp Nội suy

4. Các dạng bài tập tính Nội suy

Để thành thạo công thức nội suy, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:

4.1. Dạng 1: Tìm đa thức nội suy Lagrange

Phương pháp giải:

1. Xác định số điểm dữ liệu \( n + 1 \) và bậc đa thức \( n \)
2. Tính các đa thức cơ sở \( L_i(x) \) theo công thức Lagrange
3. Áp dụng công thức \( P(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot L_i(x) \)
4. Khai triển và rút gọn đa thức

4.2. Dạng 2: Tính giá trị hàm tại điểm cho trước

Phương pháp giải:

1. Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ dữ liệu
2. Thay giá trị \( x \) cần tính vào đa thức
3. Tính toán và đưa ra kết quả

4.3. Dạng 3: Sử dụng nội suy tuyến tính

Phương pháp giải:

1. Xác định 2 điểm dữ liệu gần nhất với điểm cần tính
2. Áp dụng công thức tính nội suy tuyến tính
3. Tính toán kết quả

5. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách áp dụng công thức nội suy chi tiết:

Ví dụ 1: Tìm đa thức nội suy Lagrange bậc 2

Đề bài: Cho bảng giá trị sau, hãy tìm đa thức nội suy Lagrange đi qua 3 điểm này:

Lời giải:

Ta có 3 điểm: \( (x_0, y_0) = (1, 1) \), \( (x_1, y_1) = (2, 4) \), \( (x_2, y_2) = (3, 9) \)

Bước 1: Tính các đa thức cơ sở Lagrange

\( L_0(x) = \frac{(x – x_1)(x – x_2)}{(x_0 – x_1)(x_0 – x_2)} = \frac{(x – 2)(x – 3)}{(1 – 2)(1 – 3)} = \frac{(x – 2)(x – 3)}{(-1)(-2)} = \frac{(x – 2)(x – 3)}{2} \)

\( L_1(x) = \frac{(x – x_0)(x – x_2)}{(x_1 – x_0)(x_1 – x_2)} = \frac{(x – 1)(x – 3)}{(2 – 1)(2 – 3)} = \frac{(x – 1)(x – 3)}{(1)(-1)} = -(x – 1)(x – 3) \)

\( L_2(x) = \frac{(x – x_0)(x – x_1)}{(x_2 – x_0)(x_2 – x_1)} = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(3 – 1)(3 – 2)} = \frac{(x – 1)(x – 2)}{2} \)

Bước 2: Áp dụng công thức Lagrange

\( P(x) = y_0 \cdot L_0(x) + y_1 \cdot L_1(x) + y_2 \cdot L_2(x) \)

\( P(x) = 1 \cdot \frac{(x – 2)(x – 3)}{2} + 4 \cdot [-(x – 1)(x – 3)] + 9 \cdot \frac{(x – 1)(x – 2)}{2} \)

Bước 3: Khai triển và rút gọn

\( P(x) = \frac{(x^2 – 5x + 6)}{2} – 4(x^2 – 4x + 3) + \frac{9(x^2 – 3x + 2)}{2} \)

\( P(x) = \frac{x^2 – 5x + 6}{2} – 4x^2 + 16x – 12 + \frac{9x^2 – 27x + 18}{2} \)

\( P(x) = \frac{x^2 – 5x + 6 + 9x^2 – 27x + 18}{2} – 4x^2 + 16x – 12 \)

\( P(x) = \frac{10x^2 – 32x + 24}{2} – 4x^2 + 16x – 12 \)

\( P(x) = 5x^2 – 16x + 12 – 4x^2 + 16x – 12 \)

\( P(x) = x^2 \)

Đáp số: \( P(x) = x^2 \)

Kiểm tra: \( P(1) = 1 \), \( P(2) = 4 \), \( P(3) = 9 \) ✓

Ví dụ 2: Tính giá trị hàm bằng nội suy Lagrange

Đề bài: Cho bảng giá trị của hàm \( f(x) \):

Sử dụng công thức nội suy Lagrange để tính \( f(2) \).

Lời giải:

Ta có: \( (x_0, y_0) = (0, 2) \), \( (x_1, y_1) = (1, 3) \), \( (x_2, y_2) = (3, 11) \)

Tính \( P(2) \) trực tiếp từ công thức Lagrange:

\( P(2) = y_0 \cdot \frac{(2 – x_1)(2 – x_2)}{(x_0 – x_1)(x_0 – x_2)} + y_1 \cdot \frac{(2 – x_0)(2 – x_2)}{(x_1 – x_0)(x_1 – x_2)} + y_2 \cdot \frac{(2 – x_0)(2 – x_1)}{(x_2 – x_0)(x_2 – x_1)} \)

\( P(2) = 2 \cdot \frac{(2 – 1)(2 – 3)}{(0 – 1)(0 – 3)} + 3 \cdot \frac{(2 – 0)(2 – 3)}{(1 – 0)(1 – 3)} + 11 \cdot \frac{(2 – 0)(2 – 1)}{(3 – 0)(3 – 1)} \)

\( P(2) = 2 \cdot \frac{(1)(-1)}{(-1)(-3)} + 3 \cdot \frac{(2)(-1)}{(1)(-2)} + 11 \cdot \frac{(2)(1)}{(3)(2)} \)

\( P(2) = 2 \cdot \frac{-1}{3} + 3 \cdot \frac{-2}{-2} + 11 \cdot \frac{2}{6} \)

\( P(2) = -\frac{2}{3} + 3 + \frac{22}{6} \)

\( P(2) = -\frac{2}{3} + 3 + \frac{11}{3} \)

\( P(2) = \frac{-2 + 9 + 11}{3} = \frac{18}{3} = 6 \)

Đáp số: \( f(2) \approx 6 \)

Ví dụ 3: Nội suy tuyến tính

Đề bài: Biết \( f(10) = 2.3026 \) và \( f(20) = 2.9957 \). Sử dụng công thức tính nội suy tuyến tính để tính \( f(15) \).

Lời giải:

Áp dụng công thức nội suy tuyến tính:

\( f(15) = f(10) + \frac{f(20) – f(10)}{20 – 10} \cdot (15 – 10) \)

\( f(15) = 2.3026 + \frac{2.9957 – 2.3026}{10} \cdot 5 \)

\( f(15) = 2.3026 + \frac{0.6931}{10} \cdot 5 \)

\( f(15) = 2.3026 + 0.34655 \)

\( f(15) = 2.64915 \)

Đáp số: \( f(15) \approx 2.6492 \)

Ví dụ 4: Nội suy Newton với bảng sai phân

Đề bài: Cho bảng giá trị:

Tìm đa thức nội suy Newton.

Lời giải:

Bước 1: Lập bảng sai phân chia

Bước 2: Áp dụng công thức Newton

\( P(x) = f[x_0] + f[x_0, x_1](x – x_0) + f[x_0, x_1, x_2](x – x_0)(x – x_1) \)

\( P(x) = 1 + 1 \cdot (x – 0) + 1 \cdot (x – 0)(x – 1) \)

\( P(x) = 1 + x + x(x – 1) \)

\( P(x) = 1 + x + x^2 – x = x^2 + 1 \)

Đáp số: \( P(x) = x^2 + 1 \)

Bài tập tự luyện

Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về công thức nội suy:

6. Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về công thức nội suy và các phương pháp tính nội suy quan trọng. Nội suy Lagrange với công thức Lagrange là phương pháp cơ bản nhất, giúp xây dựng đa thức nội suy Lagrange đi qua các điểm dữ liệu cho trước.

Để làm tốt các bài tập về nội suy, học sinh cần lưu ý:

• Nắm vững công thức nội suy Lagrange và cách tính đa thức cơ sở
• Biết cách áp dụng công thức tính nội suy tuyến tính cho bài toán 2 điểm
• Hiểu phương pháp Newton khi cần thêm điểm dữ liệu
• Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau

Công thức nội suy không chỉ là kiến thức toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong khoa học dữ liệu, kỹ thuật và đời sống.