Nguyên hàm của tanx, cosx, cotx: Công thức và bài tập chi tiết

Nguyên hàm của tanx là một trong những công thức quan trọng trong chương trình Giải tích 12. Cùng với nguyên hàm của cosx và nguyên hàm của cotx, đây là kiến thức nền tảng giúp giải quyết các bài toán tích phân lượng giác. Bài viết này trình bày đầy đủ công thức, cách chứng minh và bài tập có lời giải chi tiết.

1. Nguyên hàm là gì?

Trước khi tìm hiểu nguyên hàm tanx, nguyên hàm cosx, ta cần nắm vững khái niệm nguyên hàm.

1.1. Định nghĩa nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên khoảng \(K\). Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của \(f(x)\) trên \(K\) nếu \(F'(x) = f(x)\) với mọi \(x \in K\).

Ký hiệu: \(\int f(x)dx = F(x) + C\)

Trong đó C là hằng số tích phân.

1.2. Tính chất cơ bản

• \(\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\)
• \(\int k \cdot f(x)dx = k \cdot \int f(x)dx\) (k là hằng số)
• \(\left[ \int f(x)dx \right]’ = f(x)\)

2. Nguyên hàm của tanx

Nguyên hàm của tanx (hay nguyên hàm của tan, nguyên hàm tãn) là công thức thường gặp trong các bài toán tích phân.

2.1. Công thức nguyên hàm tanx

Công thức:

\[ \int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C \]

Với \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\).

2.2. Chứng minh nguyên hàm của tanx

Ta có: \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

Đặt \(u = \cos x \Rightarrow du = -\sin x \, dx\)

\[ \int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x} dx = -\int \frac{du}{u} \]

\[ = -\ln|u| + C = -\ln|\cos x| + C \]

Vì \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\), nên:

\[ -\ln|\cos x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right| = \ln|\sec x| \]

Vậy: \(\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C\)

2.3. Công thức mở rộng

Với dạng \(\tan(ax + b)\):

\[ \int \tan(ax + b) \, dx = -\frac{1}{a}\ln|\cos(ax + b)| + C \]

3. Nguyên hàm của cosx

Nguyên hàm của cosx (hay nguyên hàm của cos x) là một trong những công thức cơ bản nhất.

3.1. Công thức nguyên hàm cosx

Công thức:

\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]

3.2. Chứng minh nguyên hàm của cosx

Ta cần tìm hàm \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = \cos x\).

Vì \((\sin x)’ = \cos x\), nên:

\[ \int \cos x \, dx = \sin x + C \]

Kiểm tra: \((\sin x + C)’ = \cos x\) ✓

3.3. Công thức mở rộng

Với dạng \(\cos(ax + b)\):

\[ \int \cos(ax + b) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C \]

4. Nguyên hàm của cotx

Nguyên hàm của cotx (hay nguyên hàm cotx) có dạng tương tự như nguyên hàm tanx nhưng khác dấu.

4.1. Công thức nguyên hàm cotx

Công thức:

\[ \int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C \]

Với \(x \neq k\pi\) \((k \in \mathbb{Z})\).

4.2. Chứng minh nguyên hàm của cotx

Ta có: \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)

Đặt \(u = \sin x \Rightarrow du = \cos x \, dx\)

\[ \int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{du}{u} \]

\[ = \ln|u| + C = \ln|\sin x| + C \]

Vậy: \(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)

4.3. Công thức mở rộng

Với dạng \(\cot(ax + b)\):

\[ \int \cot(ax + b) \, dx = \frac{1}{a}\ln|\sin(ax + b)| + C \]

5. Bảng tổng hợp nguyên hàm lượng giác

Dưới đây là bảng tổng hợp đầy đủ các công thức nguyên hàm tanx, nguyên hàm cosx, nguyên hàm cotx và các hàm lượng giác khác.

5.1. Bảng nguyên hàm lượng giác cơ bản

5.2. Bảng nguyên hàm lượng giác mở rộng

5.3. Một số công thức đặc biệt

6. Phương pháp tính nguyên hàm lượng giác

Để tính nguyên hàm của tan, nguyên hàm của cosx và các hàm lượng giác phức tạp, ta cần nắm các kỹ thuật sau.

6.1. Phương pháp đổi biến

Khi gặp dạng \(\frac{f'(x)}{f(x)}\), ta đặt \(u = f(x)\):

\[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)| + C \]

Ví dụ: \(\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx = -\ln|\cos x| + C\)

6.2. Sử dụng công thức hạ bậc

Với \(\sin^2 x\) và \(\cos^2 x\), dùng công thức:

• \(\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}\)
• \(\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}\)

6.3. Biến đổi lượng giác

Sử dụng các công thức biến đổi tích thành tổng:

• \(\sin a \cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b) + \sin(a-b)]\)
• \(\cos a \cos b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) + \cos(a+b)]\)
• \(\sin a \sin b = \frac{1}{2}[\cos(a-b) – \cos(a+b)]\)

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính nguyên hàm của tanx cơ bản

Đề bài: Tính \(\int \tan 2x \, dx\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của tanx dạng mở rộng với \(a = 2\):

\[ \int \tan 2x \, dx = -\frac{1}{2}\ln|\cos 2x| + C \]

Vậy \(\int \tan 2x \, dx = -\frac{1}{2}\ln|\cos 2x| + C\)

Bài tập 2: Tính nguyên hàm của cosx cơ bản

Đề bài: Tính \(\int \cos(3x + 1) \, dx\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm cosx dạng mở rộng với \(a = 3, b = 1\):

\[ \int \cos(3x + 1) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x + 1) + C \]

Vậy \(\int \cos(3x + 1) \, dx = \frac{1}{3}\sin(3x + 1) + C\)

Bài tập 3: Tính nguyên hàm của cotx

Đề bài: Tính \(\int \cot 5x \, dx\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm cotx dạng mở rộng:

\[ \int \cot 5x \, dx = \frac{1}{5}\ln|\sin 5x| + C \]

Vậy \(\int \cot 5x \, dx = \frac{1}{5}\ln|\sin 5x| + C\)

Bài tập 4: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Tính \(\int (\tan x + \cot x)^2 \, dx\)

Lời giải:

Khai triển:

\[ (\tan x + \cot x)^2 = \tan^2 x + 2\tan x \cot x + \cot^2 x \]

Vì \(\tan x \cdot \cot x = 1\), nên:

\[ = \tan^2 x + 2 + \cot^2 x \]

Sử dụng: \(\tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x} – 1\) và \(\cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} – 1\)

\[ = \frac{1}{\cos^2 x} – 1 + 2 + \frac{1}{\sin^2 x} – 1 = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \]

Tính nguyên hàm:

\[ \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} \right) dx = \tan x – \cot x + C \]

Vậy \(\int (\tan x + \cot x)^2 \, dx = \tan x – \cot x + C\)

Bài tập 5: Tích phân xác định

Đề bài: Tính \(I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan x \, dx\)

Lời giải:

Áp dụng công thức nguyên hàm của tan:

\[ I = \left[ -\ln|\cos x| \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \]

\[ = -\ln\left|\cos\frac{\pi}{4}\right| – \left(-\ln|\cos 0|\right) \]

\[ = -\ln\frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 \]

\[ = -\ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \ln\frac{2}{\sqrt{2}} = \ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln 2 \]

Vậy \(I = \frac{1}{2}\ln 2\)

Bài tập 6: Nguyên hàm phức tạp

Đề bài: Tính \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x} dx\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sin x – \cos x\)

\(\Rightarrow du = (\cos x + \sin x) dx\)

\[ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x} dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C \]

\[ = \ln|\sin x – \cos x| + C \]

Vậy \(\int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x – \cos x} dx = \ln|\sin x – \cos x| + C\)

Bài tập 7: Bài tập tự luyện

Tính các nguyên hàm sau:

1. \(\int \tan 4x \, dx\)
2. \(\int \cos(2x – 3) \, dx\)
3. \(\int \cot\frac{x}{2} \, dx\)
4. \(\int (\tan x – \cot x)^2 \, dx\)
5. \(\int \sin 3x \cos 2x \, dx\)
6. \(\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos 3x \, dx\)

Đáp số:

1. \(-\frac{1}{4}\ln|\cos 4x| + C\)
2. \(\frac{1}{2}\sin(2x – 3) + C\)
3. \(2\ln\left|\sin\frac{x}{2}\right| + C\)
4. \(\tan x + \cot x + C\)
5. \(-\frac{1}{10}\cos 5x – \frac{1}{2}\cos x + C\)
6. \(\frac{1}{3}\)

8. Kết luận

Nguyên hàm của tanx, nguyên hàm của cosx và nguyên hàm của cotx là những công thức quan trọng trong chương trình Toán 12. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Nguyên hàm tanx: \(\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C\)
• Nguyên hàm cosx: \(\int \cos x \, dx = \sin x + C\)
• Nguyên hàm cotx: \(\int \cot x \, dx = \ln|\sin x| + C\)
• Các công thức mở rộng và phương pháp giải bài tập

Hãy ghi nhớ bảng công thức và luyện tập thường xuyên để thành thạo các dạng bài nguyên hàm của tan, nguyên hàm của cos x trong các kỳ thi. Chúc bạn học tốt!