Góc giữa 2 vecto: Công thức tính cos và ví dụ trong Oxyz

Góc giữa 2 vecto là một khái niệm quan trọng trong hình học vectơ, được ứng dụng rộng rãi trong toán học, vật lý và kỹ thuật. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính góc giữa 2 vecto, cách tính cos 2 vecto trong mặt phẳng Oxy và góc giữa 2 vecto trong không gian Oxyz cùng các ví dụ minh họa dễ hiểu.

Góc giữa hai vecto là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính góc giữa hai vectơ, chúng ta cần nắm vững định nghĩa và cách xác định góc giữa hai vectơ.

Định nghĩa góc giữa hai vecto

Cho hai vectơ \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) đều khác vectơ không. Từ một điểm O bất kỳ, vẽ \( \overrightarrow{OA} = \vec{a} \) và \( \overrightarrow{OB} = \vec{b} \).

Góc giữa hai vecto \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \), ký hiệu \( (\vec{a}, \vec{b}) \), là góc \( \widehat{AOB} \) với \( 0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180° \).

Phạm vi giá trị của góc

Góc giữa 2 véc tơ luôn nằm trong khoảng:

\[ 0° \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq 180° \]

Hay theo radian:

\[ 0 \leq (\vec{a}, \vec{b}) \leq \pi \]

Các trường hợp đặc biệt

Góc	Điều kiện	Quan hệ hai vectơ
\( (\vec{a}, \vec{b}) = 0° \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 1 \)	Cùng hướng
\( (\vec{a}, \vec{b}) = 90° \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = 0 \)	Vuông góc (\( \vec{a} \perp \vec{b} \))
\( (\vec{a}, \vec{b}) = 180° \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = -1 \)	Ngược hướng
\( 0° < (\vec{a}, \vec{b}) < 90° \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) > 0 \)	Góc nhọn
\( 90° < (\vec{a}, \vec{b}) < 180° \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) < 0 \)	Góc tù

Công thức tính góc giữa 2 vecto

Phần này trình bày chi tiết công thức tính góc giữa 2 vecto thông qua tích vô hướng.

Công thức tổng quát (cos 2 vecto)

Công thức tính góc giữa hai vectơ dựa trên tích vô hướng:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

Trong đó:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} \): Tích vô hướng của hai vectơ
• \( |\vec{a}| \): Độ dài (môđun) của vectơ \( \vec{a} \)
• \( |\vec{b}| \): Độ dài (môđun) của vectơ \( \vec{b} \)

Từ đó suy ra góc:

\[ (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\right) \]

Công thức trong mặt phẳng Oxy

Cho \( \vec{a} = (a_1, a_2) \) và \( \vec{b} = (b_1, b_2) \) trong mặt phẳng Oxy:

Tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 \]

Độ dài vectơ:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} \]

Công thức cos 2 vecto trong Oxy:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \]

Công thức góc giữa 2 vecto trong không gian Oxyz

Cho \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) và \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) trong không gian Oxyz:

Tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \]

Độ dài vectơ:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2} \]

Công thức tính góc giữa hai vectơ trong không gian:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} \]

Bảng tóm tắt công thức

Không gian	Vectơ	Công thức cos
Mặt phẳng Oxy	\( \vec{a}(a_1, a_2) \), \( \vec{b}(b_1, b_2) \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2}} \)
Không gian Oxyz	\( \vec{a}(a_1, a_2, a_3) \), \( \vec{b}(b_1, b_2, b_3) \)	\( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} \cdot \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}} \)

Điều kiện hai vectơ vuông góc

Hai vectơ \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) vuông góc khi và chỉ khi:

\[ \vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

Cụ thể:

• Trong Oxy: \( a_1 b_1 + a_2 b_2 = 0 \)
• Trong Oxyz: \( a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0 \)

Cách tính góc giữa 2 vecto chi tiết

Để tính góc giữa 2 vecto chính xác, hãy thực hiện theo các bước sau:

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Xác định tọa độ hai vectơ \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \)
2. Bước 2: Tính tích vô hướng \( \vec{a} \cdot \vec{b} \)
3. Bước 3: Tính độ dài \( |\vec{a}| \) và \( |\vec{b}| \)
4. Bước 4: Áp dụng công thức tính góc giữa 2 vecto để tính \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) \)
5. Bước 5: Suy ra góc \( (\vec{a}, \vec{b}) \) từ giá trị cos

Bảng giá trị cos thường gặp

Để tính góc giữa 2 vecto trong Oxyz, cần nhớ các giá trị cos đặc biệt:

Góc	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°
cos	1	\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)	\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0	\( -\frac{1}{2} \)	\( -\frac{\sqrt{2}}{2} \)	\( -\frac{\sqrt{3}}{2} \)	-1

Lưu ý quan trọng

• Giá trị \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) \) luôn nằm trong đoạn \( [-1, 1] \)
• Nếu \( \cos > 0 \): góc nhọn; nếu \( \cos < 0 \): góc tù
• Công thức chỉ áp dụng khi cả hai vectơ đều khác vectơ không
• Có thể dùng máy tính Casio để tính \( \arccos \) (SHIFT + cos)

Ví dụ minh họa tính góc giữa 2 vecto

Dưới đây là các ví dụ chi tiết giúp bạn nắm vững cách tính góc giữa 2 vecto.

Ví dụ 1: Góc giữa hai vecto trong mặt phẳng Oxy

Đề bài: Tính góc giữa 2 vecto \( \vec{a} = (1, \sqrt{3}) \) và \( \vec{b} = (1, 0) \).

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 0 = 1 \]

Bước 2: Tính độ dài các vectơ:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]

Bước 3: Áp dụng công thức cos 2 vecto:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} \]

Bước 4: Suy ra góc:

\[ (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° \]

Kết quả: \( (\vec{a}, \vec{b}) = 60° \)

Ví dụ 2: Góc giữa 2 vecto trong không gian Oxyz

Đề bài: Tính góc giữa hai vectơ trong không gian \( \vec{a} = (1, 2, 2) \) và \( \vec{b} = (2, -1, 0) \).

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 2 – 2 + 0 = 0 \]

Bước 2: Nhận xét:

Vì \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), nên hai vectơ vuông góc.

Kết quả: \( (\vec{a}, \vec{b}) = 90° \)

Ví dụ 3: Tính góc giữa 2 vecto trong Oxyz (dạng tổng quát)

Đề bài: Cho \( \vec{a} = (1, -1, 2) \) và \( \vec{b} = (2, 1, 1) \). Tính góc giữa 2 vecto trong không gian.

Lời giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2 – 1 + 2 = 3 \]

Bước 2: Tính độ dài các vectơ:

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \]

\[ |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \]

Bước 3: Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ:

\[ \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Bước 4: Suy ra góc:

\[ (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60° \]

Kết quả: \( (\vec{a}, \vec{b}) = 60° \)

Ví dụ 4: Tìm điều kiện để hai vectơ vuông góc

Đề bài: Tìm \( m \) để hai vectơ \( \vec{a} = (m, 2, 1) \) và \( \vec{b} = (1, m, -3) \) vuông góc.

Lời giải:

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \]

Tính tích vô hướng:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = m \cdot 1 + 2 \cdot m + 1 \cdot (-3) = m + 2m – 3 = 3m – 3 \]

Điều kiện vuông góc:

\[ 3m – 3 = 0 \Leftrightarrow m = 1 \]

Kết quả: \( m = 1 \)

Ví dụ 5: Góc giữa hai vectơ cho bởi điểm

Đề bài: Cho ba điểm \( A(1, 0, 1) \), \( B(2, 1, 2) \), \( C(0, 1, 2) \). Tính góc \( \widehat{BAC} \).

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ:

\[ \overrightarrow{AB} = (2-1, 1-0, 2-1) = (1, 1, 1) \]

\[ \overrightarrow{AC} = (0-1, 1-0, 2-1) = (-1, 1, 1) \]

Bước 2: Tính tích vô hướng:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -1 + 1 + 1 = 1 \]

Bước 3: Tính độ dài:

\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

\[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

Bước 4: Tính cos góc:

\[ \cos\widehat{BAC} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3} \]

Bước 5: Suy ra góc:

\[ \widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70°32′ \]

Kết quả: \( \widehat{BAC} = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \approx 70°32′ \)

Ví dụ 6: Góc giữa hai đường thẳng

Đề bài: Tính góc giữa hai đường thẳng:

• \( d_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1} \)
• \( d_2: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{1} \)

Lời giải:

Vectơ chỉ phương:

• \( \vec{u_1} = (2, 1, -1) \)
• \( \vec{u_2} = (1, 1, 1) \)

Góc giữa hai đường thẳng:

\[ \cos(d_1, d_2) = \frac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} = \frac{|2 + 1 – 1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3} \]

Kết quả: \( (d_1, d_2) = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) \approx 61°52′ \)

Ứng dụng của góc giữa hai vecto

Góc giữa hai vecto có nhiều ứng dụng quan trọng:

Ứng dụng	Mô tả
Góc giữa hai đường thẳng	Dùng vectơ chỉ phương, lấy giá trị tuyệt đối của cos
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng	Dùng vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến
Góc giữa hai mặt phẳng	Dùng hai vectơ pháp tuyến
Công của lực	\( A = \vec{F} \cdot \vec{s} = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos\alpha \)

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy vận dụng công thức tính góc giữa 2 vecto để giải các bài tập sau:

Bài tập

Bài 1: Tính góc giữa hai vecto \( \vec{a} = (3, 4) \) và \( \vec{b} = (4, -3) \) trong mặt phẳng Oxy.

Bài 2: Tính góc giữa 2 vecto trong không gian \( \vec{a} = (1, 1, 0) \) và \( \vec{b} = (0, 1, 1) \).

Bài 3: Tìm \( k \) để \( \vec{a} = (2, -1, k) \) và \( \vec{b} = (1, 2, 1) \) vuông góc.

Bài 4: Cho \( A(1, 2, 3) \), \( B(3, 4, 5) \), \( C(2, 3, 1) \). Tính góc \( \widehat{ABC} \).

Bài 5: Tính góc giữa 2 véc tơ \( \vec{a} = (2, 2, 1) \) và \( \vec{b} = (1, -1, 2) \).

Đáp án chi tiết

Bài 1:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 + 4 \cdot (-3) = 12 – 12 = 0 \)
• Hai vectơ vuông góc: \( (\vec{a}, \vec{b}) = 90° \)

Bài 2:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 + 1 + 0 = 1 \)
• \( |\vec{a}| = \sqrt{2} \), \( |\vec{b}| = \sqrt{2} \)
• \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{1}{2} \)
• \( (\vec{a}, \vec{b}) = 60° \)

Bài 3:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 – 2 + k = k \)
• Vuông góc khi \( k = 0 \)

Bài 4:

• \( \overrightarrow{BA} = (-2, -2, -2) \), \( \overrightarrow{BC} = (-1, -1, -4) \)
• \( \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 2 + 2 + 8 = 12 \)
• \( |\overrightarrow{BA}| = 2\sqrt{3} \), \( |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)
• \( \cos\widehat{ABC} = \frac{12}{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{12}{6\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \)
• \( \widehat{ABC} = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \approx 35°16′ \)

Bài 5:

• \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 2 – 2 + 2 = 2 \)
• \( |\vec{a}| = 3 \), \( |\vec{b}| = \sqrt{6} \)
• \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{2}{3\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9} \)
• \( (\vec{a}, \vec{b}) = \arccos\left(\frac{\sqrt{6}}{9}\right) \approx 74°12′ \)

Kết luận

Góc giữa 2 vecto được tính thông qua tích vô hướng với công thức cốt lõi \( \cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \). Công thức này áp dụng được cho cả góc giữa hai vecto trong mặt phẳng Oxy lẫn góc giữa hai vectơ trong không gian Oxyz. Đặc biệt, khi cos 2 vecto bằng 0 thì hai vectơ vuông góc. Hãy ghi nhớ công thức tính góc giữa 2 vecto và luyện tập thường xuyên để thành thạo dạng toán này.