Giải phương trình lượng giác: Công thức nghiệm sin, cos chi tiết
Giải phương trình lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán 11. Nắm vững cách giải phương trình lượng giác giúp học sinh giải quyết các bài toán về phương trình sin, phương trình cos và phương trình sin cos. Bài viết này trình bày đầy đủ công thức nghiệm phương trình lượng giác, các dạng bài thường gặp cùng bài tập có lời giải chi tiết.
1. Phương trình lượng giác là gì?
Phương trình lượng giác là phương trình chứa ẩn số nằm trong các hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot).
1.1. Định nghĩa
Phương trình lượng giác là phương trình có dạng f(sin x, cos x, tan x, cot x) = 0, trong đó x là ẩn số.
1.2. Nghiệm của phương trình lượng giác
Nghiệm phương trình lượng giác có đặc điểm:
- Thường có vô số nghiệm do tính tuần hoàn của hàm lượng giác
- Nghiệm được biểu diễn dưới dạng họ nghiệm chứa k ∈ ℤ
- Có thể tìm nghiệm trong khoảng cụ thể khi đề bài yêu cầu
1.3. Các phương trình lượng giác cơ bản
| Phương trình | Điều kiện có nghiệm |
|---|---|
| sin x = m | |m| ≤ 1 |
| cos x = m | |m| ≤ 1 |
| tan x = m | ∀m ∈ ℝ |
| cot x = m | ∀m ∈ ℝ |
2. Công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản
Dưới đây là các công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản cần ghi nhớ.
2.1. Nghiệm phương trình sin x = m
Với |m| ≤ 1, đặt m = sin α, ta có:
\[ \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Hoặc viết gọn: \( x = \alpha + k2\pi \) hoặc \( x = (\pi – \alpha) + k2\pi \)
2.2. Nghiệm phương trình cos x = m
Với |m| ≤ 1, đặt m = cos α, ta có:
\[ \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
2.3. Nghiệm phương trình tan x = m
Với m ∈ ℝ, đặt m = tan α, ta có:
\[ \tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
2.4. Nghiệm phương trình cot x = m
Với m ∈ ℝ, đặt m = cot α, ta có:
\[ \cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
2.5. Bảng tổng hợp công thức nghiệm
| Phương trình | Công thức nghiệm | Chu kỳ |
|---|---|---|
| sin x = sin α | \(x = \alpha + k2\pi\) hoặc \(x = \pi – \alpha + k2\pi\) | 2π |
| cos x = cos α | \(x = \pm \alpha + k2\pi\) | 2π |
| tan x = tan α | \(x = \alpha + k\pi\) | π |
| cot x = cot α | \(x = \alpha + k\pi\) | π |
3. Cách giải phương trình sin
Dưới đây là cách giải phương trình lượng giác dạng sin x = m.
3.1. Các bước giải phương trình sin
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện |m| ≤ 1
- Bước 2: Tìm góc α sao cho sin α = m
- Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm
- Bước 4: Viết đáp số (với k ∈ ℤ)
3.2. Các trường hợp đặc biệt của phương trình sin
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| sin x = 0 | \(x = k\pi\) |
| sin x = 1 | \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\) |
| sin x = -1 | \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\) |
| \(\sin x = \frac{1}{2}\) | \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\) |
| \(\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(x = \frac{\pi}{4} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi\) |
| \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(x = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi\) |
3.3. Ví dụ giải phương trình sin
Ví dụ: Giải phương trình lượng giác: \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Lời giải:
Ta có: \(\sin x = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi}{6}\)
Áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác:
\[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \]
Vậy \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\) (k ∈ ℤ)
4. Cách giải phương trình cos
Dưới đây là cách giải pt lượng giác dạng cos x = m.
4.1. Các bước giải phương trình cos
- Bước 1: Kiểm tra điều kiện |m| ≤ 1
- Bước 2: Tìm góc α sao cho cos α = m (thường chọn 0 ≤ α ≤ π)
- Bước 3: Áp dụng công thức: \(x = \pm \alpha + k2\pi\)
- Bước 4: Viết đáp số
4.2. Các trường hợp đặc biệt của phương trình cos
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| cos x = 0 | \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| cos x = 1 | \(x = k2\pi\) |
| cos x = -1 | \(x = \pi + k2\pi\) |
| \(\cos x = \frac{1}{2}\) | \(x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\) |
| \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(x = \pm \frac{\pi}{4} + k2\pi\) |
| \(\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(x = \pm \frac{\pi}{6} + k2\pi\) |
4.3. Ví dụ giải phương trình cos
Ví dụ: Giải pt lượng giác: \(\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lời giải:
Ta có: \(\cos 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos \frac{5\pi}{6}\)
Áp dụng công thức:
\[ 2x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \]
\[ x = \pm \frac{5\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Vậy \(x = \frac{5\pi}{12} + k\pi\) hoặc \(x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi\) (k ∈ ℤ)
5. Cách giải phương trình tan và cot
5.1. Giải phương trình tan x = m
Các bước:
- Tìm α sao cho tan α = m
- Áp dụng: \(x = \alpha + k\pi\) (k ∈ ℤ)
Trường hợp đặc biệt:
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| tan x = 0 | \(x = k\pi\) |
| tan x = 1 | \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) |
| tan x = -1 | \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\) |
| \(\tan x = \sqrt{3}\) | \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\) |
| \(\tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) |
5.2. Giải phương trình cot x = m
Các bước:
- Tìm α sao cho cot α = m
- Áp dụng: \(x = \alpha + k\pi\) (k ∈ ℤ)
Trường hợp đặc biệt:
| Phương trình | Nghiệm |
|---|---|
| cot x = 0 | \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\) |
| cot x = 1 | \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\) |
| cot x = -1 | \(x = \frac{3\pi}{4} + k\pi\) |
5.3. Ví dụ
Ví dụ: Giải phương trình \(\tan 3x = \sqrt{3}\)
Lời giải:
Ta có: \(\tan 3x = \sqrt{3} = \tan \frac{\pi}{3}\)
\[ 3x = \frac{\pi}{3} + k\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Vậy \(x = \frac{\pi}{9} + \frac{k\pi}{3}\) (k ∈ ℤ)
6. Giải phương trình sin cos (Phương trình bậc nhất)
Phương trình sin cos dạng a·sin x + b·cos x = c là dạng quan trọng cần nắm vững.
6.1. Dạng tổng quát
Giải phương trình sin cos dạng:
\[ a\sin x + b\cos x = c \quad (a^2 + b^2 \neq 0) \]
6.2. Điều kiện có nghiệm
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
\[ |c| \leq \sqrt{a^2 + b^2} \]
6.3. Phương pháp giải
Cách 1: Chia cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
Chia cả hai vế cho \(\sqrt{a^2 + b^2}\):
\[ \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Đặt \(\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\), \(\sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
Phương trình trở thành:
\[ \sin(x + \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Cách 2: Đặt \(t = \tan \frac{x}{2}\)
Với \(\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}\), \(\cos x = \frac{1 – t^2}{1 + t^2}\)
Phương trình trở thành phương trình bậc hai theo t.
6.4. Ví dụ giải phương trình sin cos
Ví dụ: Giải phương trình sin cos: \(\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2\)
Lời giải:
Ta có: a = 1, b = √3, c = 2
Kiểm tra: \(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 3} = 2 = |c|\) → Có nghiệm
Chia hai vế cho 2:
\[ \frac{1}{2}\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = 1 \]
\[ \sin x \cdot \cos \frac{\pi}{3} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 1 \]
\[ \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) = 1 = \sin \frac{\pi}{2} \]
\[ x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
Vậy \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) (k ∈ ℤ)
7. Các dạng phương trình lượng giác thường gặp
Dưới đây là các dạng bài giải phương trình lượng giác thường gặp trong đề thi.
7.1. Phương trình bậc hai theo một hàm lượng giác
Dạng: \(a\sin^2 x + b\sin x + c = 0\) hoặc \(a\cos^2 x + b\cos x + c = 0\)
Phương pháp: Đặt t = sin x (hoặc t = cos x), với điều kiện |t| ≤ 1
7.2. Phương trình đẳng cấp bậc hai
Dạng: \(a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0\)
Phương pháp:
- Nếu cos x = 0 là nghiệm, thay vào kiểm tra
- Nếu cos x ≠ 0, chia cả hai vế cho cos²x, đặt t = tan x
7.3. Phương trình đối xứng
Dạng: \(a(\sin x + \cos x) + b\sin x \cos x = c\)
Phương pháp: Đặt t = sin x + cos x, suy ra sin x·cos x = (t² – 1)/2
Điều kiện: \(|t| \leq \sqrt{2}\)
7.4. Bảng tổng hợp các dạng
| Dạng phương trình | Phương pháp giải |
|---|---|
| sin x = m, cos x = m | Công thức nghiệm cơ bản |
| tan x = m, cot x = m | Công thức nghiệm cơ bản |
| a·sin x + b·cos x = c | Chia cho √(a² + b²) hoặc đặt t = tan(x/2) |
| Bậc hai theo sin hoặc cos | Đặt t = sin x hoặc t = cos x |
| Đẳng cấp bậc hai | Chia cho cos²x, đặt t = tan x |
| Đối xứng | Đặt t = sin x + cos x |
8. Tìm nghiệm trong khoảng cho trước
Khi đề bài yêu cầu tìm nghiệm phương trình lượng giác trong khoảng cụ thể.
8.1. Phương pháp
- Bước 1: Giải phương trình, tìm họ nghiệm tổng quát
- Bước 2: Thay họ nghiệm vào điều kiện khoảng
- Bước 3: Giải bất phương trình tìm k ∈ ℤ
- Bước 4: Thay k vào tìm nghiệm cụ thể
8.2. Ví dụ
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình \(\sin x = \frac{1}{2}\) trong khoảng \([0; 2\pi]\)
Lời giải:
Họ nghiệm: \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\)
Với \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\):
\(0 \leq \frac{\pi}{6} + k2\pi \leq 2\pi\)
\(-\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{11}{12}\)
→ k = 0 → \(x = \frac{\pi}{6}\)
Với \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\):
\(0 \leq \frac{5\pi}{6} + k2\pi \leq 2\pi\)
\(-\frac{5}{12} \leq k \leq \frac{7}{12}\)
→ k = 0 → \(x = \frac{5\pi}{6}\)
Vậy trong \([0; 2\pi]\), phương trình có 2 nghiệm: \(x = \frac{\pi}{6}\) và \(x = \frac{5\pi}{6}\)
9. Bảng giá trị lượng giác thường dùng
Bảng này giúp giải phương trình lượng giác nhanh hơn.
| Góc | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Radian | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
| sin | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
| cos | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 |
| tan | 0 | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | 1 | \(\sqrt{3}\) | ∞ |
10. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Phương trình sin cơ bản
Đề bài: Giải phương trình lượng giác: \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lời giải:
Ta có: \(\sin 2x = -\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)
Áp dụng công thức:
\[ 2x = -\frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi + \frac{\pi}{3} + k2\pi = \frac{4\pi}{3} + k2\pi \]
\[ x = -\frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \]
Vậy \(x = -\frac{\pi}{6} + k\pi\) hoặc \(x = \frac{2\pi}{3} + k\pi\) (k ∈ ℤ)
Bài tập 2: Phương trình cos
Đề bài: Giải pt lượng giác: \(2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0\)
Lời giải:
Đặt t = cos x, điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
Phương trình trở thành: \(2t^2 – 3t + 1 = 0\)
\[ (2t – 1)(t – 1) = 0 \]
\[ t = \frac{1}{2} \quad \text{hoặc} \quad t = 1 \]
Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện.
Với t = 1/2: \(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\)
Với t = 1: \(\cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi\)
Vậy \(x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi\) hoặc \(x = k2\pi\) (k ∈ ℤ)
Bài tập 3: Phương trình sin cos
Đề bài: Giải phương trình sin cos: \(\sqrt{3}\sin x – \cos x = \sqrt{2}\)
Lời giải:
Ta có: a = √3, b = -1, c = √2
\(\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
Kiểm tra: \(|c| = \sqrt{2} < 2\) → Có nghiệm
Chia hai vế cho 2:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x – \frac{1}{2}\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin x \cos \frac{\pi}{6} – \cos x \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin\left(x – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin \frac{\pi}{4} \]
\[ x – \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x – \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \]
\[ x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi \]
Vậy \(x = \frac{5\pi}{12} + k2\pi\) hoặc \(x = \frac{11\pi}{12} + k2\pi\) (k ∈ ℤ)
Bài tập 4: Phương trình đẳng cấp
Đề bài: Giải phương trình: \(\sin^2 x – 2\sin x \cos x – 3\cos^2 x = 0\)
Lời giải:
Kiểm tra cos x = 0:
Nếu cos x = 0 thì sin²x = 0 → sin x = 0 (vô lý vì sin²x + cos²x = 1)
→ cos x ≠ 0
Chia hai vế cho cos²x:
\[ \tan^2 x – 2\tan x – 3 = 0 \]
Đặt t = tan x:
\[ t^2 – 2t – 3 = 0 \]
\[ (t – 3)(t + 1) = 0 \]
\[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \]
Với t = 3: \(\tan x = 3 \Rightarrow x = \arctan 3 + k\pi\)
Với t = -1: \(\tan x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\)
Vậy \(x = \arctan 3 + k\pi\) hoặc \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\) (k ∈ ℤ)
Bài tập 5: Tìm nghiệm trong khoảng
Đề bài: Tìm số nghiệm của phương trình \(\cos 2x = \frac{1}{2}\) trong khoảng \((0; 2\pi)\)
Lời giải:
Ta có: \(\cos 2x = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}\)
\[ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \]
\[ x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi \]
Với \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\):
\(0 < \frac{\pi}{6} + k\pi < 2\pi\) → \(-\frac{1}{6} < k < \frac{11}{6}\) → k = 0, 1
→ \(x = \frac{\pi}{6}\) và \(x = \frac{7\pi}{6}\)
Với \(x = -\frac{\pi}{6} + k\pi\):
\(0 < -\frac{\pi}{6} + k\pi < 2\pi\) → \(\frac{1}{6} < k < \frac{13}{6}\) → k = 1, 2
→ \(x = \frac{5\pi}{6}\) và \(x = \frac{11\pi}{6}\)
Vậy phương trình có 4 nghiệm trong \((0; 2\pi)\): \(x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\)
Bài tập 6: Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau:
- \(\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos 3x = \cos x\)
- \(\sin x + \cos x = 1\)
- \(2\sin^2 x + \sin x – 1 = 0\)
- \(\tan x + \cot x = 2\)
- Tìm số nghiệm của \(\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}\) trong \([0; 4\pi]\)
Đáp số:
- \(x = k2\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)
- \(x = k\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\)
- \(x = k2\pi\) hoặc \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)
- \(x = \frac{\pi}{6} + k2\pi\), \(x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi\), \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\)
- \(x = \frac{\pi}{4} + k\pi\)
- 4 nghiệm
11. Kết luận
Giải phương trình lượng giác là kỹ năng quan trọng trong toán học. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:
- Công thức nghiệm phương trình lượng giác cơ bản: sin, cos, tan, cot
- Cách giải phương trình lượng giác các dạng cơ bản
- Giải phương trình sin cos dạng a·sin x + b·cos x = c
- Các dạng phương trình sin, phương trình cos thường gặp
- Cách giải pt lượng giác và tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng
Hãy luyện tập thường xuyên các dạng bài giải phương trình lượng giác để thành thạo kỹ năng này. Chúc bạn học tốt!
Có thể bạn quan tâm
