Công thức tính hình bình hành: Diện tích, chu vi và vecto

Công thức tính hình bình hành là kiến thức toán học cơ bản được học từ lớp 5 và mở rộng đến chương trình THPT với vecto. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức hình bình hành từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm diện tích hình bình hành lớp 5, công thức theo vecto và diện tích hình bình hành trong không gian, kèm ví dụ minh họa chi tiết.

1. Hình bình hành là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích hbh, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa và tính chất của hình này.

1.1. Định nghĩa

Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

1.2. Các tính chất quan trọng

• Các cạnh đối song song và bằng nhau: AB // CD, AD // BC
• Các góc đối bằng nhau
• Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
• Tổng hai góc kề một cạnh bằng 180°

1.3. Các yếu tố của hình bình hành

2. Công thức tính diện tích hình bình hành

Dưới đây là tổng hợp các cách tính dt hình bình hành theo từng trường hợp cụ thể.

2.1. Công thức cơ bản (Diện tích hình bình hành lớp 5)

Diện tích hình bình hành lớp 5 được tính bằng công thức đơn giản nhất:

Lưu ý: Chiều cao h phải vuông góc với cạnh đáy a.

2.2. Công thức theo hai cạnh và góc xen giữa

Khi biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa, S hình bình hành được tính:

Chứng minh: Vì h = b × sin α, thay vào công thức S = a × h ta được S = a × b × sin α.

2.3. Công thức theo đường chéo

Khi biết hai đường chéo và góc giữa chúng:

2.4. Các công thức suy ra

Từ công thức S hbh cơ bản, ta có thể suy ra:

3. Công thức tính chu vi hình bình hành

Ngoài diện tích, công thức hình bình hành còn bao gồm cách tính chu vi:

Hoặc viết dưới dạng: C = 2a + 2b

4. Công thức hình bình hành vecto

Trong chương trình Toán THPT, công thức hình bình hành vecto được áp dụng để tính diện tích trong mặt phẳng và không gian.

4.1. Diện tích hình bình hành theo tích có hướng (trong mặt phẳng Oxy)

Cho hình bình hành ABCD với \( \vec{AB} = (x_1; y_1) \) và \( \vec{AD} = (x_2; y_2) \):

Giải thích: Đây là giá trị tuyệt đối của định thức ma trận 2×2 tạo bởi hai vecto cạnh.

4.2. Diện tích hình bình hành trong không gian Oxyz

Diện tích hình bình hành trong không gian được tính bằng tích có hướng của hai vecto:

Cho \( \vec{AB} = (a_1; a_2; a_3) \) và \( \vec{AD} = (b_1; b_2; b_3) \):

Trong đó, tích có hướng được tính:

\[ \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} a_2b_3 – a_3b_2 \\ a_3b_1 – a_1b_3 \\ a_1b_2 – a_2b_1 \end{pmatrix} \]

Và độ dài:

\[ S = \sqrt{(a_2b_3 – a_3b_2)^2 + (a_3b_1 – a_1b_3)^2 + (a_1b_2 – a_2b_1)^2} \]

4.3. Công thức theo tọa độ các đỉnh

Cho hình bình hành ABCD với A(x₁; y₁), B(x₂; y₂), D(x₄; y₄):

\[ S = |(x_2 – x_1)(y_4 – y_1) – (x_4 – x_1)(y_2 – y_1)| \]

5. Cách tính diện tích hình bình hành – Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là hướng dẫn cách tính S hình bình hành theo từng dạng bài tập.

5.1. Dạng 1: Biết cạnh đáy và chiều cao

1. Xác định cạnh đáy a
2. Xác định chiều cao h tương ứng (vuông góc với đáy)
3. Áp dụng công thức: S = a × h

5.2. Dạng 2: Biết hai cạnh và góc xen giữa

1. Xác định độ dài hai cạnh kề a và b
2. Xác định góc α giữa hai cạnh
3. Áp dụng công thức: S = a × b × sin α

5.3. Dạng 3: Biết tọa độ các đỉnh (vecto)

1. Tính vecto \( \vec{AB} \) và \( \vec{AD} \)
2. Áp dụng công thức tích có hướng
3. Tính giá trị tuyệt đối để được diện tích

6. Ví dụ minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức tính hình bình hành từ cơ bản đến nâng cao.

Ví dụ 1: Diện tích hình bình hành lớp 5

Đề bài: Tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy 12 cm và chiều cao 8 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hbh:

\[ S = a \times h = 12 \times 8 = 96 \text{ (cm}^2\text{)} \]

Đáp số: S = 96 cm²

Ví dụ 2: Tính diện tích khi biết hai cạnh và góc

Đề bài: Hình bình hành ABCD có AB = 10 cm, AD = 6 cm và góc A = 60°. Tính S hbh ABCD.

Lời giải:

Áp dụng công thức S = a × b × sin α:

\[ S = AB \times AD \times \sin A = 10 \times 6 \times \sin 60° \]

\[ S = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)} \]

Đáp số: \( S = 30\sqrt{3} \approx 51,96 \text{ cm}^2 \)

Ví dụ 3: Tính diện tích theo đường chéo

Đề bài: Hình bình hành có hai đường chéo d₁ = 10 cm, d₂ = 12 cm và góc giữa hai đường chéo là 30°. Tính diện tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức theo đường chéo:

\[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \times \sin \theta = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \sin 30° \]

\[ S = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{1}{2} = 30 \text{ (cm}^2\text{)} \]

Đáp số: S = 30 cm²

Ví dụ 4: Công thức hình bình hành vecto (mặt phẳng)

Đề bài: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD với A(1; 2), B(4; 3), D(2; 5). Tính S hình bình hành ABCD.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vecto cạnh

\[ \vec{AB} = (4 – 1; 3 – 2) = (3; 1) \]

\[ \vec{AD} = (2 – 1; 5 – 2) = (1; 3) \]

Bước 2: Áp dụng công thức

\[ S = |x_1y_2 – x_2y_1| = |3 \times 3 – 1 \times 1| = |9 – 1| = 8 \]

Đáp số: S = 8 (đơn vị diện tích)

Ví dụ 5: Diện tích hình bình hành trong không gian

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD với A(1; 0; 0), B(2; 1; 0), D(1; 1; 1). Tính diện tích hình bình hành trong không gian.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vecto cạnh

\[ \vec{AB} = (2 – 1; 1 – 0; 0 – 0) = (1; 1; 0) \]

\[ \vec{AD} = (1 – 1; 1 – 0; 1 – 0) = (0; 1; 1) \]

Bước 2: Tính tích có hướng \( \vec{AB} \times \vec{AD} \)

\[ \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 – 0 \times 1 \\ 0 \times 0 – 1 \times 1 \\ 1 \times 1 – 1 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Bước 3: Tính độ dài tích có hướng

\[ S = |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3} \]

Đáp số: \( S = \sqrt{3} \) (đơn vị diện tích)

Ví dụ 6: Bài toán tìm chiều cao

Đề bài: Hình bình hành có diện tích 84 cm² và cạnh đáy 14 cm. Tính chiều cao.

Lời giải:

Từ công thức S = a × h, suy ra:

\[ h = \frac{S}{a} = \frac{84}{14} = 6 \text{ (cm)} \]

Đáp số: h = 6 cm

7. Bài tập tự luyện

Hãy vận dụng các công thức tính hình bình hành đã học để giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy 15 cm và chiều cao 9 cm.

Bài 2: Hình bình hành có diện tích 120 cm² và chiều cao 8 cm. Tính cạnh đáy.

Bài 3: Hình bình hành ABCD có AB = 8 cm, AD = 5 cm và góc A = 45°. Tính diện tích.

Bài 4: Tính chu vi hình bình hành có hai cạnh kề là 12 cm và 7 cm.

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(0; 0), B(3; 1), D(1; 4). Tính diện tích hình bình hành ABCD.

Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), D(0; 1; 2). Tính diện tích hình bình hành ABCD.

Đáp án

8. Kết luận

Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu đầy đủ công thức tính hình bình hành từ cơ bản đến nâng cao. Dưới đây là bảng tóm tắt các công thức quan trọng:

Nắm vững các công thức hình bình hành trên sẽ giúp bạn giải quyết mọi dạng bài tập từ diện tích hình bình hành lớp 5 đến các bài toán vecto và hình học không gian.