Diện tích Parabol: Công thức, cách tính và bài tập có lời giải

Diện tích parabol là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và đại học. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ công thức tính diện tích parabol, cách tính diện tích các hình liên quan như hình nêm, chỏm cầu, cầu parabol cùng các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

1. Parabol là gì? Các khái niệm liên quan

Trước khi tìm hiểu công thức tính diện tích, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

1.1. Định nghĩa Parabol

Parabol là một đường cong phẳng, là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm F) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn d). Phương trình chính tắc của parabol có dạng:

\( y = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \)

Hoặc dạng đơn giản:

\( y^2 = 2px \) (parabol có trục đối xứng là Ox)

1.2. Hình nêm là hình gì?

Hình nêm là một khối hình học được tạo thành khi cắt một khối trụ hoặc khối cầu bằng hai mặt phẳng. Trong bài toán liên quan đến parabol, hình nêm thường xuất hiện khi ta xét phần vật thể bị giới hạn bởi mặt parabol và các mặt phẳng cắt.

1.3. Cầu parabol và Chỏm cầu

Cầu parabol (hay paraboloid tròn xoay) là mặt được tạo thành khi quay một parabol quanh trục đối xứng của nó. Đây là hình dạng phổ biến trong các ứng dụng như ăng-ten, gương phản xạ.

Chỏm cầu là phần mặt cầu bị cắt bởi một mặt phẳng. Diện tích chỏm cầu được tính theo công thức:

\( S_{chỏm} = 2\pi Rh \)

Trong đó:

• \( R \): bán kính mặt cầu
• \( h \): chiều cao chỏm cầu

2. Công thức tính diện tích Parabol

Dưới đây là các công thức tính diện tích parabol thường gặp trong các bài toán:

2.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol và trục Ox

Cho parabol \( y = f(x) \) và hai đường thẳng \( x = a \), \( x = b \). Diện tích parabol được tính theo công thức:

\( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \)

2.2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

Cho hai đường cong \( y = f(x) \) và \( y = g(x) \) cắt nhau tại \( x = a \) và \( x = b \). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong:

\( S = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| \, dx \)

2.3. Công thức Archimedes cho Parabol

Một công thức đặc biệt quan trọng: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một dây cung và cung parabol bằng \( \frac{2}{3} \) diện tích hình chữ nhật ngoại tiếp.

\( S = \frac{2}{3} \times \text{(đáy)} \times \text{(chiều cao)} \)

2.4. Bảng tổng hợp công thức

3. Thể tích cầu (V cầu) và các công thức liên quan

Khi học về cầu parabol và diện tích chỏm cầu, chúng ta cũng cần nắm vững công thức tính V cầu:

3.1. Công thức thể tích cầu

\( V = \frac{4}{3}\pi R^3 \)

3.2. Công thức diện tích mặt cầu

\( S = 4\pi R^2 \)

3.3. Thể tích chỏm cầu

\( V_{chỏm} = \frac{\pi h^2}{3}(3R – h) \)

Hoặc theo bán kính đáy \( r \):

\( V_{chỏm} = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2) \)

4. Các dạng bài tập tính diện tích Parabol

Để thành thạo cách tính diện tích parabol, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:

4.1. Dạng 1: Diện tích giới hạn bởi Parabol và trục Ox

Phương pháp giải:

1. Tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) để xác định cận tích phân
2. Áp dụng công thức \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \)
3. Tính tích phân và kết luận

4.2. Dạng 2: Diện tích giới hạn bởi Parabol và đường thẳng

Phương pháp giải:

1. Tìm hoành độ giao điểm bằng cách giải phương trình \( f(x) = g(x) \)
2. Xác định hàm nào lớn hơn trong khoảng đang xét
3. Áp dụng công thức \( S = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| \, dx \)

4.3. Dạng 3: Tính diện tích và thể tích hình nêm

Với bài toán hình nêm, ta thường sử dụng phương pháp tích phân theo lát cắt:

1. Xác định thiết diện của hình nêm tại vị trí \( x \)
2. Tính diện tích thiết diện \( A(x) \)
3. Tích phân để tìm thể tích: \( V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx \)

5. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính diện tích parabol chi tiết:

Ví dụ 1: Bài toán cơ bản

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = x^2 – 4x + 3 \) và trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình \( x^2 – 4x + 3 = 0 \)

\( x^2 – 4x + 3 = 0 \)

\( (x-1)(x-3) = 0 \)

\( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \)

Bước 2: Xét dấu hàm số trên khoảng \( (1; 3) \)

Với \( x = 2 \): \( y = 4 – 8 + 3 = -1 < 0 \)

Vậy \( f(x) < 0 \) trên \( (1; 3) \)

Bước 3: Tính diện tích

\( S = \int_{1}^{3} |x^2 – 4x + 3| \, dx = -\int_{1}^{3} (x^2 – 4x + 3) \, dx \)

\( S = -\left[ \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 3x \right]_{1}^{3} \)

\( S = -\left[ \left(9 – 18 + 9\right) – \left(\frac{1}{3} – 2 + 3\right) \right] \)

\( S = -\left[ 0 – \frac{4}{3} \right] = \frac{4}{3} \) (đvdt)

Đáp số: \( S = \frac{4}{3} \) đơn vị diện tích.

Ví dụ 2: Diện tích giới hạn bởi Parabol và đường thẳng

Đề bài: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol \( y = x^2 \) và đường thẳng \( y = 2x \).

Lời giải:

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

\( x^2 = 2x \)

\( x^2 – 2x = 0 \)

\( x(x – 2) = 0 \)

\( x = 0 \) hoặc \( x = 2 \)

Bước 2: Xét dấu hiệu hàm trên khoảng \( (0; 2) \)

Với \( x = 1 \): \( 2x – x^2 = 2 – 1 = 1 > 0 \)

Vậy \( 2x > x^2 \) trên \( (0; 2) \)

Bước 3: Tính diện tích

\( S = \int_{0}^{2} (2x – x^2) \, dx \)

\( S = \left[ x^2 – \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \)

\( S = 4 – \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \) (đvdt)

Đáp số: \( S = \frac{4}{3} \) đơn vị diện tích.

Ví dụ 3: Bài toán diện tích chỏm cầu

Đề bài: Một mặt cầu có bán kính \( R = 10 \) cm. Tính diện tích chỏm cầu có chiều cao \( h = 4 \) cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích chỏm cầu:

\( S_{chỏm} = 2\pi Rh \)

\( S_{chỏm} = 2\pi \times 10 \times 4 = 80\pi \) (cm²)

Đáp số: \( S = 80\pi \approx 251,33 \) cm².

Ví dụ 4: Tính thể tích cầu (V cầu)

Đề bài: Tính V cầu có bán kính \( R = 6 \) cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức:

\( V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \) (cm³)

Đáp số: \( V = 288\pi \approx 904,78 \) cm³.

Bài tập tự luyện

Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về diện tích parabol:

6. Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về diện tích parabol và các công thức tính diện tích parabol quan trọng. Những kiến thức về hình nêm, cầu parabol, diện tích chỏm cầu và V cầu đều có mối liên hệ chặt chẽ với nhau trong các bài toán tích phân.

Để làm tốt các bài tập về diện tích parabol, học sinh cần:

• Nắm vững các công thức cơ bản
• Xác định đúng cận tích phân
• Xét dấu hàm số chính xác
• Luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau

Hy vọng bài viết đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tính diện tích parabol và có thể vận dụng thành thạo vào giải toán.