Quy tắc đạo hàm: Công thức đạo hàm hàm hợp f(u) và bài tập chi tiết
Quy tắc đạo hàm là kiến thức nền tảng và quan trọng bậc nhất trong chương trình Giải tích lớp 11, 12. Việc nắm vững các quy tắc đạo hàm giúp học sinh giải quyết nhanh chóng các bài toán về khảo sát hàm số, tìm cực trị, tiếp tuyến và nhiều dạng toán khác. Bài viết dưới đây sẽ tổng hợp đầy đủ công thức đạo hàm, các quy tắc tính và ví dụ minh họa chi tiết.
Đạo hàm là gì?
Trước khi tìm hiểu các quy tắc đạo hàm, chúng ta cần nắm vững khái niệm đạo hàm.
Định nghĩa: Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên khoảng \( (a; b) \) và \( x_0 \in (a; b) \). Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại \( x_0 \) là giới hạn:
\( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)}{\Delta x} \)
Ký hiệu đạo hàm:
- \( f'(x) \) hoặc \( y’ \)
- \( \frac{df}{dx} \) hoặc \( \frac{dy}{dx} \)
Ý nghĩa của đạo hàm:
- Ý nghĩa hình học: Đạo hàm \( f'(x_0) \) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm \( M(x_0; f(x_0)) \)
- Ý nghĩa vật lý: Đạo hàm của quãng đường theo thời gian là vận tốc tức thời
Bảng công thức đạo hàm cơ bản
Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản mà học sinh cần ghi nhớ.
| STT | Hàm số \( f(x) \) | Đạo hàm \( f'(x) \) |
|---|---|---|
| 1 | \( C \) (hằng số) | \( 0 \) |
| 2 | \( x \) | \( 1 \) |
| 3 | \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) |
| 4 | \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) |
| 5 | \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) |
| 6 | \( \sin x \) | \( \cos x \) |
| 7 | \( \cos x \) | \( -\sin x \) |
| 8 | \( \tan x \) | \( \frac{1}{\cos^2 x} \) |
| 9 | \( \cot x \) | \( -\frac{1}{\sin^2 x} \) |
| 10 | \( e^x \) | \( e^x \) |
| 11 | \( a^x \) | \( a^x \ln a \) |
| 12 | \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \) |
| 13 | \( \log_a x \) | \( \frac{1}{x \ln a} \) |
Các quy tắc đạo hàm cơ bản
Đây là phần quan trọng nhất về quy tắc tính đạo hàm mà học sinh cần nắm vững.
Quy tắc 1: Đạo hàm của tổng, hiệu
Công thức:
\( (u \pm v)’ = u’ \pm v’ \)
Phát biểu: Đạo hàm của tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) các đạo hàm.
Mở rộng: \( (u_1 \pm u_2 \pm … \pm u_n)’ = u_1′ \pm u_2′ \pm … \pm u_n’ \)
Quy tắc 2: Đạo hàm của tích
Công thức:
\( (u \cdot v)’ = u’v + uv’ \)
Phát biểu: Đạo hàm của tích bằng đạo hàm hàm thứ nhất nhân hàm thứ hai cộng hàm thứ nhất nhân đạo hàm hàm thứ hai.
Hệ quả:
- \( (ku)’ = ku’ \) với \( k \) là hằng số
- \( (uvw)’ = u’vw + uv’w + uvw’ \)
Quy tắc 3: Đạo hàm của thương
Công thức:
\( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) (với \( v \neq 0 \))
Phát biểu: Đạo hàm của thương bằng đạo hàm tử nhân mẫu trừ tử nhân đạo hàm mẫu, tất cả chia cho bình phương mẫu.
Hệ quả:
\( \left(\frac{1}{v}\right)’ = -\frac{v’}{v^2} \)
Bảng tổng hợp các quy tắc đạo hàm cơ bản
| Quy tắc | Công thức |
|---|---|
| Hằng số nhân hàm | \( (kf)’ = kf’ \) |
| Tổng, hiệu | \( (u \pm v)’ = u’ \pm v’ \) |
| Tích | \( (uv)’ = u’v + uv’ \) |
| Thương | \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \) |
Quy tắc đạo hàm hàm hợp
Quy tắc đạo hàm hàm hợp là một trong những quy tắc quan trọng nhất, giúp tính đạo hàm của các hàm phức tạp.
Định nghĩa hàm hợp
Cho hàm số \( y = f(u) \) và \( u = g(x) \). Hàm số \( y = f(g(x)) \) được gọi là hàm hợp của \( f \) và \( g \).
Công thức đạo hàm hàm hợp
Công thức:
\( y’_x = y’_u \cdot u’_x \)
Hay viết cách khác:
\( [f(u)]’ = f'(u) \cdot u’ \)
Bảng đạo hàm hàm hợp thường gặp
Dưới đây là bảng đạo hàm các hàm hợp cơ bản với \( u = u(x) \):
| STT | Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|---|
| 1 | \( u^n \) | \( nu^{n-1} \cdot u’ \) |
| 2 | \( \frac{1}{u} \) | \( -\frac{u’}{u^2} \) |
| 3 | \( \sqrt{u} \) | \( \frac{u’}{2\sqrt{u}} \) |
| 4 | \( \sin u \) | \( u’ \cos u \) |
| 5 | \( \cos u \) | \( -u’ \sin u \) |
| 6 | \( \tan u \) | \( \frac{u’}{\cos^2 u} \) |
| 7 | \( \cot u \) | \( -\frac{u’}{\sin^2 u} \) |
| 8 | \( e^u \) | \( u’ \cdot e^u \) |
| 9 | \( a^u \) | \( u’ \cdot a^u \ln a \) |
| 10 | \( \ln u \) | \( \frac{u’}{u} \) |
| 11 | \( \log_a u \) | \( \frac{u’}{u \ln a} \) |
Bảng tổng hợp đạo hàm các hàm số thường gặp
Dưới đây là bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất để học sinh tra cứu và ghi nhớ.
Đạo hàm hàm lũy thừa
| Hàm số cơ bản | Đạo hàm | Hàm hợp | Đạo hàm |
|---|---|---|---|
| \( x^n \) | \( nx^{n-1} \) | \( u^n \) | \( nu^{n-1} \cdot u’ \) |
| \( \sqrt{x} \) | \( \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( \sqrt{u} \) | \( \frac{u’}{2\sqrt{u}} \) |
| \( \frac{1}{x} \) | \( -\frac{1}{x^2} \) | \( \frac{1}{u} \) | \( -\frac{u’}{u^2} \) |
Đạo hàm hàm lượng giác
| Hàm số cơ bản | Đạo hàm | Hàm hợp | Đạo hàm |
|---|---|---|---|
| \( \sin x \) | \( \cos x \) | \( \sin u \) | \( u’ \cos u \) |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) | \( \cos u \) | \( -u’ \sin u \) |
| \( \tan x \) | \( \frac{1}{\cos^2 x} \) | \( \tan u \) | \( \frac{u’}{\cos^2 u} \) |
| \( \cot x \) | \( -\frac{1}{\sin^2 x} \) | \( \cot u \) | \( -\frac{u’}{\sin^2 u} \) |
Đạo hàm hàm mũ và logarit
| Hàm số cơ bản | Đạo hàm | Hàm hợp | Đạo hàm |
|---|---|---|---|
| \( e^x \) | \( e^x \) | \( e^u \) | \( u’ \cdot e^u \) |
| \( a^x \) | \( a^x \ln a \) | \( a^u \) | \( u’ \cdot a^u \ln a \) |
| \( \ln x \) | \( \frac{1}{x} \) | \( \ln u \) | \( \frac{u’}{u} \) |
| \( \log_a x \) | \( \frac{1}{x \ln a} \) | \( \log_a u \) | \( \frac{u’}{u \ln a} \) |
Các dạng bài tập áp dụng quy tắc đạo hàm thường gặp
Để vận dụng tốt các quy tắc đạo hàm, học sinh cần phân loại các dạng bài tập.
Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm đa thức
Dạng 2: Tính đạo hàm của hàm phân thức
Dạng 3: Tính đạo hàm của hàm chứa căn thức
Dạng 4: Tính đạo hàm của hàm lượng giác
Dạng 5: Tính đạo hàm của hàm mũ, logarit
Dạng 6: Tính đạo hàm của hàm hợp phức tạp
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Dưới đây là các ví dụ áp dụng quy tắc đạo hàm được giải chi tiết theo từng dạng.
Ví dụ 1: Đạo hàm hàm đa thức
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = 3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – 7x + 1 \)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tổng và công thức \( (x^n)’ = nx^{n-1} \):
\( y’ = (3x^4)’ – (5x^3)’ + (2x^2)’ – (7x)’ + (1)’ \)
\( y’ = 3 \cdot 4x^3 – 5 \cdot 3x^2 + 2 \cdot 2x – 7 + 0 \)
Kết quả: \( y’ = 12x^3 – 15x^2 + 4x – 7 \)
Ví dụ 2: Đạo hàm hàm phân thức
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x + 1}{x – 3} \)
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của thương \( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} \):
Đặt \( u = 2x + 1 \Rightarrow u’ = 2 \)
Đặt \( v = x – 3 \Rightarrow v’ = 1 \)
\( y’ = \frac{2(x-3) – (2x+1) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x – 6 – 2x – 1}{(x-3)^2} \)
Kết quả: \( y’ = \frac{-7}{(x-3)^2} \)
Ví dụ 3: Đạo hàm hàm tích
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = (x^2 + 1)(2x – 3) \)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích \( (uv)’ = u’v + uv’ \):
Đặt \( u = x^2 + 1 \Rightarrow u’ = 2x \)
Đặt \( v = 2x – 3 \Rightarrow v’ = 2 \)
\( y’ = 2x(2x – 3) + (x^2 + 1) \cdot 2 \)
\( y’ = 4x^2 – 6x + 2x^2 + 2 \)
Kết quả: \( y’ = 6x^2 – 6x + 2 \)
Ví dụ 4: Đạo hàm hàm căn thức
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sqrt{3x^2 – 2x + 5} \)
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \( (\sqrt{u})’ = \frac{u’}{2\sqrt{u}} \):
Đặt \( u = 3x^2 – 2x + 5 \Rightarrow u’ = 6x – 2 \)
Kết quả: \( y’ = \frac{6x – 2}{2\sqrt{3x^2 – 2x + 5}} = \frac{3x – 1}{\sqrt{3x^2 – 2x + 5}} \)
Ví dụ 5: Đạo hàm hàm lượng giác
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \sin^3(2x + 1) \)
Lời giải:
Đặt \( u = \sin(2x + 1) \), ta có \( y = u^3 \)
Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp:
\( y’ = 3u^2 \cdot u’ = 3\sin^2(2x + 1) \cdot [\sin(2x + 1)]’ \)
Tính \( [\sin(2x + 1)]’ = \cos(2x + 1) \cdot (2x + 1)’ = 2\cos(2x + 1) \)
Kết quả: \( y’ = 6\sin^2(2x + 1)\cos(2x + 1) \)
Ví dụ 6: Đạo hàm hàm mũ
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = e^{x^2 – 3x + 1} \)
Lời giải:
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \( (e^u)’ = u’ \cdot e^u \):
Đặt \( u = x^2 – 3x + 1 \Rightarrow u’ = 2x – 3 \)
Kết quả: \( y’ = (2x – 3)e^{x^2 – 3x + 1} \)
Ví dụ 7: Đạo hàm hàm logarit
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \ln(x^2 + 2x + 3) \)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp \( (\ln u)’ = \frac{u’}{u} \):
Đặt \( u = x^2 + 2x + 3 \Rightarrow u’ = 2x + 2 \)
Kết quả: \( y’ = \frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 3} = \frac{2(x + 1)}{x^2 + 2x + 3} \)
Ví dụ 8: Đạo hàm hàm phức tạp
Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{e^{2x}}{x^2 + 1} \)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương kết hợp hàm hợp:
Đặt \( u = e^{2x} \Rightarrow u’ = 2e^{2x} \)
Đặt \( v = x^2 + 1 \Rightarrow v’ = 2x \)
\( y’ = \frac{2e^{2x}(x^2 + 1) – e^{2x} \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \)
\( y’ = \frac{2e^{2x}(x^2 + 1 – x)}{(x^2 + 1)^2} \)
Kết quả: \( y’ = \frac{2e^{2x}(x^2 – x + 1)}{(x^2 + 1)^2} \)
Bài tập tự luyện
Hãy áp dụng các quy tắc đạo hàm đã học để giải các bài tập sau.
Bài 1: Tính đạo hàm \( y = 2x^5 – 3x^4 + x^2 – 6x + 8 \)
Bài 2: Tính đạo hàm \( y = \frac{3x – 2}{x + 4} \)
Bài 3: Tính đạo hàm \( y = \sqrt{4x – x^2} \)
Bài 4: Tính đạo hàm \( y = \cos(3x^2 – x) \)
Bài 5: Tính đạo hàm \( y = e^{2x}\sin 3x \)
Bài 6: Tính đạo hàm \( y = \ln\sqrt{x^2 + 1} \)
Bài 7: Tính đạo hàm \( y = x^2 \cdot 3^x \)
Bài 8: Tính đạo hàm \( y = \tan^2(2x + 1) \)
Đáp án tham khảo
- \( y’ = 10x^4 – 12x^3 + 2x – 6 \)
- \( y’ = \frac{14}{(x + 4)^2} \)
- \( y’ = \frac{2 – x}{\sqrt{4x – x^2}} \)
- \( y’ = -(6x – 1)\sin(3x^2 – x) \)
- \( y’ = e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x) \)
- \( y’ = \frac{x}{x^2 + 1} \)
- \( y’ = 3^x(2x + x^2\ln 3) \)
- \( y’ = \frac{4\tan(2x + 1)}{\cos^2(2x + 1)} \)
Kết luận
Qua bài viết trên, chúng ta đã tìm hiểu đầy đủ về quy tắc đạo hàm từ các công thức cơ bản đến đạo hàm hàm hợp và các dạng bài tập thường gặp. Để nắm vững các quy tắc đạo hàm, học sinh cần ghi nhớ bảng đạo hàm các hàm số cơ bản và luyện tập thường xuyên. Đặc biệt, việc thành thạo quy tắc tính đạo hàm sẽ là nền tảng vững chắc để học tốt các phần khảo sát hàm số, tìm cực trị và giải các bài toán tối ưu.
Có thể bạn quan tâm
- Đường tròn bàng tiếp: Tâm, bán kính và cách vẽ chi tiết nhất
- Cách tính độ lệch chuẩn: Công thức và bấm máy Casio 580
- Chu vi hình tam giác cân: Công thức tính chu vi, nửa chu vi chi tiết
- Trong các số tự nhiên số nào không có số liền sau?
- Dấu của giá trị lượng giác: Bảng xét dấu, cách xác định chi tiết
