Chu vi hình elip: Công thức tính diện tích elip chính xác

Chu vi hình elip là một trong những bài toán thú vị trong hình học, khác với đường tròn, không có công thức chính xác đơn giản mà phải sử dụng các công thức gần đúng. Bài viết này tổng hợp đầy đủ công thức hình elip bao gồm cách tính chu vi hình elip, diện tích hình elip cùng các ví dụ minh họa chi tiết, dễ hiểu.

1. Hình elip là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức elip, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa và các yếu tố cơ bản của hình này.

1.1. Định nghĩa

Hình elip (hay còn gọi là hình bầu dục) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm cố định (gọi là tiêu điểm) là không đổi.

1.2. Các yếu tố của hình elip

1.3. Phương trình chính tắc của elip

Công thức hình elip dạng phương trình chính tắc:

\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0) \]

1.4. Mối quan hệ giữa các yếu tố

Các yếu tố của elip liên hệ với nhau qua công thức:

• Hệ thức cơ bản: \( a^2 = b^2 + c^2 \) hay \( c^2 = a^2 – b^2 \)
• Tâm sai: \( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a} \) với \( 0 < e < 1 \)
• Tiêu cự: \( 2c = 2\sqrt{a^2 – b^2} \)

Lưu ý: Khi e = 0, elip trở thành đường tròn. Khi e tiến đến 1, elip càng dẹt.

2. Công thức tính chu vi hình elip

Khác với đường tròn, chu vi elip không có công thức chính xác đơn giản. Dưới đây là các công thức tính chu vi hình elip được sử dụng phổ biến.

2.1. Công thức chính xác (Tích phân elliptic)

Chu vi hình elip chính xác được tính bằng tích phân elliptic loại hai:

\[ C = 4a \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 – e^2 \sin^2 \theta} \, d\theta \]

Trong đó: \( e = \sqrt{1 – \frac{b^2}{a^2}} \) là tâm sai của elip.

Nhận xét: Công thức này không thể tính bằng các phép toán cơ bản, do đó cần sử dụng các công thức gần đúng.

2.2. Công thức gần đúng Ramanujan (Độ chính xác cao)

Nhà toán học Ramanujan đã đưa ra hai công thức gần đúng nổi tiếng để tính chu vi hình elip:

Công thức Ramanujan 1:

Công thức Ramanujan 2 (Chính xác hơn):

Đặt \( h = \frac{(a – b)^2}{(a + b)^2} \)

2.3. Công thức gần đúng đơn giản

Các công thức đơn giản hơn để ước tính chu vi elip:

2.4. So sánh độ chính xác các công thức

Với elip có a = 5, b = 3 (chu vi chính xác ≈ 25,527):

3. Công thức tính diện tích hình elip

Khác với chu vi, diện tích elip có công thức chính xác rất đơn giản và dễ nhớ.

3.1. Công thức diện tích elip

Công thức tính diện tích elip chính xác:

Nhận xét:

• Khi a = b = r, công thức trở thành S = πr² (diện tích hình tròn)
• Công thức này tương tự như “kéo dãn” diện tích hình tròn theo hai trục

3.2. Chứng minh công thức diện tích hình elip

Cách 1: Sử dụng tích phân

Từ phương trình elip \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), ta có \( y = b\sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} \)

Diện tích hình elip bằng 4 lần diện tích phần tư thứ nhất:

\[ S = 4 \int_{0}^{a} b\sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}} \, dx \]

Đặt \( x = a\sin t \), ta được:

\[ S = 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 t \, dt = 4ab \times \frac{\pi}{4} = \pi ab \]

Cách 2: Phép biến đổi affine

Elip là ảnh của đường tròn bán kính a qua phép co tỉ số \( \frac{b}{a} \) theo trục Oy. Do đó:

\[ S_{elip} = \frac{b}{a} \times S_{tròn} = \frac{b}{a} \times \pi a^2 = \pi ab \]

4. Tổng hợp các công thức hình elip

Dưới đây là bảng tóm tắt tất cả công thức elip quan trọng:

5. Cách tính chu vi và diện tích elip – Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là hướng dẫn tính diện tích hình elip và chu vi theo từng bước.

5.1. Cách tính diện tích hình elip

1. Xác định bán trục lớn a và bán trục nhỏ b
2. Áp dụng công thức: S = πab
3. Tính toán và đưa ra kết quả (có thể để dạng π hoặc giá trị gần đúng)

5.2. Cách tính chu vi hình elip

1. Xác định bán trục lớn a và bán trục nhỏ b
2. Chọn công thức phù hợp:
   • Cần độ chính xác cao: Dùng công thức Ramanujan
   • Tính nhanh: Dùng công thức đơn giản
3. Thay số và tính toán

5.3. Lưu ý quan trọng

• Luôn đảm bảo a > b (a là bán trục lớn)
• Nếu đề cho trục lớn và trục nhỏ, cần chia đôi để có bán trục
• Công thức chu vi chỉ là gần đúng, cần ghi rõ ký hiệu ≈

6. Ví dụ minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức hình elip để tính chu vi và diện tích.

Ví dụ 1: Tính diện tích hình elip cơ bản

Đề bài: Tính diện tích hình elip có bán trục lớn a = 6 cm và bán trục nhỏ b = 4 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích elip:

\[ S = \pi ab = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi \text{ (cm}^2\text{)} \]

Đáp số: S = 24π ≈ 75,40 cm²

Ví dụ 2: Tính chu vi hình elip bằng công thức Ramanujan

Đề bài: Tính chu vi hình elip có bán trục lớn a = 10 cm và bán trục nhỏ b = 6 cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức Ramanujan 1:

\[ C \approx \pi \left[ 3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right] \]

Thay số:

• \( 3(a + b) = 3(10 + 6) = 48 \)
• \( (3a + b) = 3 \times 10 + 6 = 36 \)
• \( (a + 3b) = 10 + 3 \times 6 = 28 \)
• \( \sqrt{36 \times 28} = \sqrt{1008} \approx 31,75 \)

\[ C \approx \pi (48 – 31,75) = \pi \times 16,25 \approx 51,05 \text{ (cm)} \]

Đáp số: C ≈ 51,05 cm

Ví dụ 3: Tính chu vi bằng công thức đơn giản

Đề bài: Tính chu vi elip có a = 8 cm, b = 5 cm bằng công thức đơn giản.

Lời giải:

Áp dụng công thức \( C \approx 2\pi\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \):

\[ C \approx 2\pi\sqrt{\frac{8^2 + 5^2}{2}} = 2\pi\sqrt{\frac{64 + 25}{2}} = 2\pi\sqrt{\frac{89}{2}} \]

\[ C \approx 2\pi\sqrt{44,5} \approx 2\pi \times 6,67 \approx 41,91 \text{ (cm)} \]

Đáp số: C ≈ 41,91 cm

Ví dụ 4: Bài toán từ phương trình elip

Đề bài: Cho elip có phương trình \( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). Tính diện tích elip và chu vi.

Lời giải:

Từ phương trình, ta có: \( a^2 = 25 \Rightarrow a = 5 \) và \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)

Diện tích:

\[ S = \pi ab = \pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47,12 \]

Chu vi (Ramanujan 1):

• \( 3(a + b) = 3 \times 8 = 24 \)
• \( (3a + b)(a + 3b) = 18 \times 14 = 252 \)
• \( \sqrt{252} \approx 15,87 \)

\[ C \approx \pi(24 – 15,87) \approx 25,53 \]

Đáp số: S = 15π ≈ 47,12 (đơn vị diện tích); C ≈ 25,53 (đơn vị độ dài)

Ví dụ 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một sân vận động có dạng hình elip với trục lớn 200 m và trục nhỏ 150 m. Tính diện tích sân và độ dài đường chạy bao quanh sân.

Lời giải:

Bán trục lớn: a = 200 ÷ 2 = 100 m

Bán trục nhỏ: b = 150 ÷ 2 = 75 m

Diện tích sân:

\[ S = \pi ab = \pi \times 100 \times 75 = 7500\pi \approx 23.562 \text{ m}^2 \]

Chu vi (đường chạy):

Dùng công thức Ramanujan 1:

• \( 3(a + b) = 3 \times 175 = 525 \)
• \( (3a + b) = 375 \); \( (a + 3b) = 325 \)
• \( \sqrt{375 \times 325} = \sqrt{121.875} \approx 349,11 \)

\[ C \approx \pi(525 – 349,11) \approx \pi \times 175,89 \approx 552,5 \text{ m} \]

Đáp số: Diện tích sân ≈ 23.562 m²; Đường chạy ≈ 552,5 m

Ví dụ 6: Tìm bán trục khi biết diện tích

Đề bài: Một hình elip có diện tích 50π cm² và bán trục lớn a = 10 cm. Tìm bán trục nhỏ b.

Lời giải:

Từ công thức S = πab, suy ra:

\[ b = \frac{S}{\pi a} = \frac{50\pi}{\pi \times 10} = 5 \text{ (cm)} \]

Đáp số: b = 5 cm

7. Bài tập tự luyện

Hãy vận dụng các công thức elip đã học để giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính diện tích hình elip có bán trục lớn a = 8 cm và bán trục nhỏ b = 5 cm.

Bài 2: Tính chu vi hình elip có a = 12 cm, b = 9 cm (dùng công thức Ramanujan 1).

Bài 3: Cho elip có phương trình \( \frac{x^2}{49} + \frac{y^2}{16} = 1 \). Tính diện tích và tâm sai của elip.

Bài 4: Một hình elip có diện tích 36π cm² và bán trục nhỏ b = 4 cm. Tìm bán trục lớn a.

Bài 5: So sánh chu vi hình elip (a = 6, b = 4) với chu vi đường tròn có bán kính r = 5.

Bài 6: Một hồ nước hình elip có trục lớn 80 m, trục nhỏ 60 m. Tính diện tích mặt hồ và độ dài bờ hồ.

Đáp án

8. Kết luận

Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu đầy đủ về chu vi hình elip và diện tích hình elip. Dưới đây là tóm tắt các công thức hình elip quan trọng:

Nắm vững các công thức elip trên sẽ giúp bạn giải quyết mọi bài toán liên quan đến hình elip từ cơ bản đến nâng cao.