Công thức CSC: Tổng và số hạng tổng quát của cấp số cộng

Công thức CSC (cấp số cộng) là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, được ứng dụng rộng rãi trong giải toán dãy số. Bài viết này trình bày đầy đủ định nghĩa cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng cấp số cộng cùng các tính chất và bài tập có lời giải chi tiết giúp bạn nắm vững công thức tổng quát của cấp số cộng.

1. Định nghĩa cấp số cộng

Trước khi tìm hiểu công thức CSC, cần nắm rõ định nghĩa cấp số cộng.

1.1. Định nghĩa

Định nghĩa cấp số cộng: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Công thức định nghĩa:

\[ u_{n+1} = u_n + d \quad (\forall n \geq 1) \]

Trong đó:

• \(u_1\): số hạng đầu tiên
• \(d\): công sai (hiệu chung)
• \(u_n\): số hạng thứ n

1.2. Công sai của cấp số cộng

Công sai d được tính bằng hiệu của hai số hạng liên tiếp:

\[ d = u_{n+1} – u_n = u_2 – u_1 = u_3 – u_2 = … \]

1.3. Phân loại cấp số cộng

Công sai d	Tính chất dãy	Ví dụ
d > 0	Dãy tăng	1, 4, 7, 10, 13, … (d = 3)
d < 0	Dãy giảm	20, 17, 14, 11, … (d = -3)
d = 0	Dãy hằng	5, 5, 5, 5, … (d = 0)

1.4. Ví dụ về cấp số cộng

Ví dụ 1: Dãy số 2, 5, 8, 11, 14, …

• Số hạng đầu: \(u_1 = 2\)
• Công sai: d = 5 – 2 = 3

Ví dụ 2: Dãy số 100, 95, 90, 85, …

• Số hạng đầu: \(u_1 = 100\)
• Công sai: d = 95 – 100 = -5

2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

Số hạng tổng quát của cấp số cộng cho phép tính trực tiếp số hạng thứ n mà không cần liệt kê từng số hạng.

2.1. Công thức số hạng tổng quát

Công thức tổng quát của cấp số cộng:

\[ u_n = u_1 + (n-1)d \]

Trong đó:

• \(u_n\): số hạng thứ n
• \(u_1\): số hạng đầu tiên
• \(d\): công sai
• \(n\): vị trí của số hạng (n ≥ 1)

2.2. Công thức mở rộng

Từ công thức số hạng tổng quát, ta có các dạng mở rộng:

Công thức	Ý nghĩa
\(u_n = u_1 + (n-1)d\)	Tính số hạng thứ n từ số hạng đầu
\(u_n = u_m + (n-m)d\)	Tính số hạng thứ n từ số hạng thứ m
\(d = \frac{u_n – u_m}{n – m}\)	Tính công sai từ 2 số hạng bất kỳ
\(n = \frac{u_n – u_1}{d} + 1\)	Tính vị trí của số hạng

2.3. Ví dụ áp dụng

Ví dụ: Cho cấp số cộng có \(u_1 = 3\), d = 4. Tính \(u_{10}\).

Lời giải:

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng:

\[ u_{10} = u_1 + (10-1)d = 3 + 9 \times 4 = 3 + 36 = 39 \]

3. Công thức tính tổng cấp số cộng

Công thức tính tổng cấp số cộng (hay tổng n số hạng đầu của cấp số cộng) là công thức quan trọng nhất.

3.1. Công thức tổng cấp số cộng (dạng 1)

Tổng của cấp số cộng n số hạng đầu tiên:

\[ S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \]

Trong đó:

• \(S_n\): tổng số hạng cấp số cộng (tổng n số hạng đầu)
• \(u_1\): số hạng đầu
• \(u_n\): số hạng cuối
• \(n\): số lượng số hạng

3.2. Công thức tổng cấp số cộng (dạng 2)

Thay \(u_n = u_1 + (n-1)d\) vào công thức trên:

\[ S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} = nu_1 + \frac{n(n-1)d}{2} \]

3.3. Bảng tổng hợp công thức tổng

Công thức	Điều kiện sử dụng
\(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\)	Biết \(u_1\), \(u_n\), n
\(S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}\)	Biết \(u_1\), d, n
\(S_n = nu_1 + \frac{n(n-1)d}{2}\)	Dạng khai triển

3.4. Chứng minh công thức tổng

Viết tổng theo hai cách:

\[ S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n \]

\[ S_n = u_n + u_{n-1} + u_{n-2} + … + u_1 \]

Cộng vế theo vế:

\[ 2S_n = (u_1 + u_n) + (u_2 + u_{n-1}) + … + (u_n + u_1) \]

Vì \(u_k + u_{n+1-k} = u_1 + u_n\) (tính chất đối xứng), nên:

\[ 2S_n = n(u_1 + u_n) \]

\[ S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2} \]

3.5. Ví dụ tính tổng

Ví dụ: Tính tổng của cấp số cộng: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99

Lời giải:

Đây là cấp số cộng với \(u_1 = 1\), d = 2, \(u_n = 99\)

Tìm n: \(u_n = u_1 + (n-1)d \Rightarrow 99 = 1 + (n-1) \times 2\)

\(98 = 2(n-1) \Rightarrow n = 50\)

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng:

\[ S_{50} = \frac{50(1 + 99)}{2} = \frac{50 \times 100}{2} = 2500 \]

4. Tính chất của cấp số cộng

Các tính chất quan trọng của cấp số cộng giúp giải nhanh nhiều bài toán.

4.1. Tính chất ba số hạng liên tiếp

Nếu \(u_{n-1}, u_n, u_{n+1}\) là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng thì:

\[ u_n = \frac{u_{n-1} + u_{n+1}}{2} \]

Hay: \(2u_n = u_{n-1} + u_{n+1}\)

Ý nghĩa: Số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng kề bên.

4.2. Tính chất đối xứng

Trong cấp số cộng có n số hạng:

\[ u_k + u_{n+1-k} = u_1 + u_n \quad (\forall k) \]

Ví dụ: Trong CSC có 10 số hạng: \(u_1 + u_{10} = u_2 + u_9 = u_3 + u_8 = …\)

4.3. Tính chất của tổng

Nếu \(S_n\) là tổng n số hạng đầu của cấp số cộng, thì:

• \(u_n = S_n – S_{n-1}\) (với n ≥ 2)
• \(S_n\) là hàm bậc hai theo n: \(S_n = An^2 + Bn\)

4.4. Chèn số hạng

Chèn k số hạng vào giữa hai số a và b để được CSC:

\[ d = \frac{b – a}{k + 1} \]

4.5. Bảng tổng hợp tính chất

Tính chất	Công thức
Ba số liên tiếp	\(2u_n = u_{n-1} + u_{n+1}\)
Đối xứng	\(u_k + u_{n+1-k} = u_1 + u_n\)
Số hạng từ tổng	\(u_n = S_n – S_{n-1}\)
Chèn số hạng	\(d = \frac{b-a}{k+1}\)
Tổng là hàm bậc 2	\(S_n = An^2 + Bn\)

5. Cách nhận biết cấp số cộng

5.1. Điều kiện cần và đủ

Dãy số \((u_n)\) là cấp số cộng khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

• Điều kiện 1: \(u_{n+1} – u_n = d\) (hằng số) với mọi n
• Điều kiện 2: \(2u_n = u_{n-1} + u_{n+1}\) với mọi n ≥ 2
• Điều kiện 3: \(u_n = an + b\) (hàm bậc nhất theo n)

5.2. Kiểm tra dãy có phải CSC không

Phương pháp:

1. Tính hiệu các số hạng liên tiếp
2. Nếu các hiệu bằng nhau → Là CSC
3. Nếu các hiệu khác nhau → Không phải CSC

Ví dụ: Kiểm tra dãy 3, 7, 11, 15, 19 có phải CSC không?

Hiệu: 7 – 3 = 4; 11 – 7 = 4; 15 – 11 = 4; 19 – 15 = 4

→ Các hiệu bằng nhau = 4 → Đây là CSC với d = 4

6. Các dạng bài tập về cấp số cộng

6.1. Dạng 1: Tìm số hạng

Cho \(u_1\), d, tìm \(u_n\) → Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng

6.2. Dạng 2: Tính tổng

Cho CSC, tìm tổng số hạng cấp số cộng → Áp dụng công thức tổng cấp số cộng

6.3. Dạng 3: Tìm u₁ và d

Cho các điều kiện, lập hệ phương trình tìm \(u_1\) và d

6.4. Dạng 4: Chứng minh CSC

Chứng minh dãy là CSC → Kiểm tra \(u_{n+1} – u_n = const\)

6.5. Dạng 5: Bài toán thực tế

Các bài toán liên quan đến tiền lương, lãi suất, chuyển động…

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tìm số hạng tổng quát

Đề bài: Cho cấp số cộng có \(u_1 = 5\), \(u_5 = 17\). Tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng.

Lời giải:

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số cộng:

\[ u_5 = u_1 + 4d \]

\[ 17 = 5 + 4d \Rightarrow d = 3 \]

Số hạng tổng quát:

\[ u_n = u_1 + (n-1)d = 5 + (n-1) \times 3 = 5 + 3n – 3 = 3n + 2 \]

Vậy \(u_n = 3n + 2\)

Bài tập 2: Tính tổng cấp số cộng

Đề bài: Tính tổng của cấp số cộng: 2 + 5 + 8 + 11 + … + 302

Lời giải:

Xác định CSC: \(u_1 = 2\), d = 3, \(u_n = 302\)

Tìm n:

\[ u_n = u_1 + (n-1)d \]

\[ 302 = 2 + (n-1) \times 3 \]

\[ 300 = 3(n-1) \Rightarrow n = 101 \]

Tính tổng: Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

\[ S_{101} = \frac{101(2 + 302)}{2} = \frac{101 \times 304}{2} = 15352 \]

Vậy tổng bằng 15352

Bài tập 3: Lập hệ phương trình

Đề bài: Cho cấp số cộng thỏa mãn \(u_3 + u_7 = 20\) và \(u_2 \cdot u_8 = 64\). Tìm CSC đó.

Lời giải:

Áp dụng tính chất đối xứng: \(u_3 + u_7 = u_1 + u_9 = 2u_5 = 20\)

→ \(u_5 = 10\)

Đặt \(u_1 = a\), công sai = d. Ta có:

• \(u_5 = a + 4d = 10\) … (1)
• \(u_2 = a + d\); \(u_8 = a + 7d\)
• \(u_2 \cdot u_8 = (a + d)(a + 7d) = 64\) … (2)

Từ (1): \(a = 10 – 4d\). Thay vào (2):

\[ (10 – 4d + d)(10 – 4d + 7d) = 64 \]

\[ (10 – 3d)(10 + 3d) = 64 \]

\[ 100 – 9d^2 = 64 \]

\[ d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2 \]

Với d = 2: \(a = 10 – 8 = 2\) → CSC: 2, 4, 6, 8, 10, …

Với d = -2: \(a = 10 + 8 = 18\) → CSC: 18, 16, 14, 12, 10, …

Vậy có 2 CSC thỏa mãn.

Bài tập 4: Tổng n số hạng đầu

Đề bài: Cho CSC có \(u_1 = 3\), d = 2. Tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng khi n = 20.

Lời giải:

Áp dụng công thức tổng cấp số cộng dạng 2:

\[ S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2} \]

\[ S_{20} = \frac{20[2 \times 3 + (20-1) \times 2]}{2} = \frac{20[6 + 38]}{2} = \frac{20 \times 44}{2} = 440 \]

Vậy \(S_{20} = 440\)

Bài tập 5: Chèn số hạng

Đề bài: Chèn 5 số vào giữa 3 và 27 để được một cấp số cộng. Tìm CSC đó.

Lời giải:

CSC có: \(u_1 = 3\), \(u_7 = 27\) (7 số hạng sau khi chèn)

Công sai:

\[ d = \frac{u_7 – u_1}{7 – 1} = \frac{27 – 3}{6} = 4 \]

CSC: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27

Các số được chèn: 7, 11, 15, 19, 23

Bài tập 6: Bài toán thực tế

Đề bài: Một công ty tăng lương cho nhân viên mỗi năm 2 triệu đồng. Năm đầu lương là 10 triệu. Hỏi sau 10 năm, tổng lương nhân viên nhận được là bao nhiêu?

Lời giải:

Lương hàng năm lập thành CSC với:

• \(u_1 = 10\) (triệu)
• d = 2 (triệu)
• n = 10 (năm)

Áp dụng công thức tính tổng cấp số cộng:

\[ S_{10} = \frac{10[2 \times 10 + (10-1) \times 2]}{2} = \frac{10[20 + 18]}{2} = \frac{10 \times 38}{2} = 190 \]

Vậy tổng lương sau 10 năm là 190 triệu đồng.

Bài tập 7: Tìm số hạng thỏa điều kiện

Đề bài: Cho CSC có \(u_1 = 100\), d = -7. Tìm số hạng dương đầu tiên nhỏ nhất.

Lời giải:

Số hạng tổng quát: \(u_n = 100 + (n-1)(-7) = 100 – 7n + 7 = 107 – 7n\)

Để \(u_n > 0\):

\[ 107 – 7n > 0 \Rightarrow n < \frac{107}{7} \approx 15,29 \]

Vậy n ≤ 15, số hạng dương cuối cùng là \(u_{15}\).

\[ u_{15} = 107 – 7 \times 15 = 107 – 105 = 2 \]

Số hạng dương nhỏ nhất là \(u_{15} = 2\)

Bài tập 8: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Cho CSC có \(u_1 = 7\), d = 3. Tìm \(u_{15}\) và \(S_{15}\).
2. Tính tổng: 1 + 4 + 7 + 10 + … + 100
3. Cho CSC có \(u_5 = 12\), \(u_{10} = 27\). Tìm \(u_1\) và d.
4. Tìm n biết \(S_n = 820\) với CSC có \(u_1 = 4\), d = 2.
5. Ba số lập thành CSC có tổng bằng 15, tích bằng 45. Tìm ba số đó.
6. Chèn 4 số vào giữa -2 và 18 để được CSC. Tìm các số đó.

Đáp số:

1. \(u_{15} = 49\); \(S_{15} = 420\)
2. n = 34; S = 1717
3. \(u_1 = 0\); d = 3
4. n = 20
5. Ba số: 1, 5, 9 hoặc 9, 5, 1
6. Các số chèn: 2, 6, 10, 14

8. Tổng hợp công thức cấp số cộng

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả công thức CSC quan trọng:

Công thức	Biểu thức
Định nghĩa	\(u_{n+1} = u_n + d\)
Số hạng tổng quát	\(u_n = u_1 + (n-1)d\)
Tổng n số hạng (dạng 1)	\(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\)
Tổng n số hạng (dạng 2)	\(S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}\)
Công sai	\(d = u_{n+1} – u_n = \frac{u_n – u_m}{n-m}\)
Ba số liên tiếp	\(2u_n = u_{n-1} + u_{n+1}\)
Tính đối xứng	\(u_k + u_{n+1-k} = u_1 + u_n\)

9. Kết luận

Công thức CSC là kiến thức nền tảng trong toán học. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Định nghĩa cấp số cộng: Dãy số có hiệu các số hạng liên tiếp không đổi
• Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \(u_n = u_1 + (n-1)d\)
• Công thức tính tổng cấp số cộng: \(S_n = \frac{n(u_1 + u_n)}{2}\) hoặc \(S_n = \frac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}\)
• Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng và các tính chất quan trọng
• Công thức tổng quát của cấp số cộng và cách áp dụng vào bài tập

Hãy luyện tập thường xuyên với các công thức tổng cấp số cộng để thành thạo dạng bài này. Chúc bạn học tốt!