Bảng chân trị: Phép hội, phép tuyển và cách lập bảng chân lý

Bảng chân trị là công cụ quan trọng trong logic toán học, giúp xác định giá trị đúng/sai của các mệnh đề phức hợp. Phép hội, phép tuyển cùng với bảng chân lý là kiến thức nền tảng trong Toán 10. Bài viết này giải thích chi tiết chân trị là gì, cách lập bảng chân trị, ký hiệu với mọi và các phép toán logic cơ bản.

1. Chân trị là gì?

Chân trị là gì? Chân trị (hay giá trị chân lý) là giá trị logic của một mệnh đề, chỉ có thể là ĐÚNG hoặc SAI.

1.1. Định nghĩa chân trị

Chân trị của một mệnh đề là giá trị xác định mệnh đề đó đúng hay sai:

• Đúng (True): ký hiệu là Đ, T, 1, hoặc ⊤
• Sai (False): ký hiệu là S, F, 0, hoặc ⊥

1.2. Ví dụ về chân trị

Mệnh đề	Chân trị
“2 + 3 = 5”	Đúng (Đ)
“Hà Nội là thủ đô Việt Nam”	Đúng (Đ)
“7 là số chẵn”	Sai (S)
“Mặt trời mọc ở phương Tây”	Sai (S)

1.3. Mệnh đề và chân trị

Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định được chân trị (đúng hoặc sai), không thể vừa đúng vừa sai.

Không phải mệnh đề:

• Câu hỏi: “Bạn có khỏe không?”
• Câu cảm thán: “Trời ơi!”
• Câu mệnh lệnh: “Hãy đi học!”
• Câu chứa biến: “x + 2 = 5” (chưa xác định x)

2. Bảng chân trị là gì?

Bảng chân trị (hay bảng chân lý, bảng giá trị chân lý) là bảng liệt kê tất cả các trường hợp có thể của chân trị các mệnh đề thành phần và chân trị của mệnh đề phức hợp tương ứng.

2.1. Cấu trúc bảng chân trị

Bảng chân lý gồm:

• Cột đầu: Các mệnh đề đơn (P, Q, R, …)
• Cột sau: Mệnh đề phức hợp cần xác định chân trị
• Các hàng: Liệt kê tất cả tổ hợp giá trị Đúng/Sai

2.2. Số hàng trong bảng chân trị

Nếu có n mệnh đề đơn, bảng chân trị sẽ có:

\[ \text{Số hàng} = 2^n \]

Số mệnh đề đơn	Số hàng trong bảng
1 (P)	\(2^1 = 2\) hàng
2 (P, Q)	\(2^2 = 4\) hàng
3 (P, Q, R)	\(2^3 = 8\) hàng
n	\(2^n\) hàng

3. Phép hội (Phép và – AND)

Phép hội (còn gọi là phép “và”, phép hội logic, conjunction) là phép toán logic kết hợp hai mệnh đề.

3.1. Định nghĩa phép hội

Phép hội của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu là P ∧ Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề:

CHỈ ĐÚNG khi cả P và Q đều đúng.

3.2. Ký hiệu phép hội

Ký hiệu	Đọc là	Ngôn ngữ lập trình
∧	“và”, “and”	Toán học, logic
&&	“and”	C, C++, Java, JavaScript
AND	“and”	SQL, Pascal
· hoặc ×	“và”	Đại số Boolean

3.3. Bảng chân trị của phép hội

Bảng chân lý của phép hội P ∧ Q:

P	Q	P ∧ Q
Đ	Đ	Đ
Đ	S	S
S	Đ	S
S	S	S

Quy tắc nhớ: P ∧ Q chỉ ĐÚNG khi cả hai đều ĐÚNG.

3.4. Ví dụ phép hội

Cho P: “5 là số nguyên tố” (Đúng)

Cho Q: “5 là số lẻ” (Đúng)

Khi đó: P ∧ Q: “5 là số nguyên tố và 5 là số lẻ” → Đúng

---

Cho P: “6 là số nguyên tố” (Sai)

Cho Q: “6 là số chẵn” (Đúng)

Khi đó: P ∧ Q: “6 là số nguyên tố và 6 là số chẵn” → Sai

4. Phép tuyển (Phép hoặc – OR)

Phép tuyển (còn gọi là phép “hoặc”, phép tuyển logic, disjunction) là phép toán logic kết hợp hai mệnh đề.

4.1. Định nghĩa phép tuyển

Phép tuyển của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu là P ∨ Q (đọc là “P hoặc Q”), là mệnh đề:

CHỈ SAI khi cả P và Q đều sai.

Hay nói cách khác: ĐÚNG khi ít nhất một trong hai mệnh đề đúng.

4.2. Ký hiệu phép tuyển

Ký hiệu	Đọc là	Ngôn ngữ lập trình
∨	“hoặc”, “or”	Toán học, logic
||	“or”	C, C++, Java, JavaScript
OR	“or”	SQL, Pascal
+	“hoặc”	Đại số Boolean

4.3. Bảng chân trị của phép tuyển

Bảng chân lý của phép tuyển P ∨ Q:

P	Q	P ∨ Q
Đ	Đ	Đ
Đ	S	Đ
S	Đ	Đ
S	S	S

Quy tắc nhớ: P ∨ Q chỉ SAI khi cả hai đều SAI.

4.4. Ví dụ phép tuyển

Cho P: “3 > 5” (Sai)

Cho Q: “3 < 5” (Đúng)

Khi đó: P ∨ Q: “3 > 5 hoặc 3 < 5″ → Đúng

---

Cho P: “2 là số lẻ” (Sai)

Cho Q: “2 là số âm” (Sai)

Khi đó: P ∨ Q: “2 là số lẻ hoặc 2 là số âm” → Sai

5. Các phép toán logic khác

Ngoài phép hội và phép tuyển, còn có các phép toán logic quan trọng khác.

5.1. Phép phủ định (NOT)

Phép phủ định của mệnh đề P, ký hiệu ¬P hoặc \(\overline{P}\), là mệnh đề có chân trị ngược với P.

P	¬P
Đ	S
S	Đ

5.2. Phép kéo theo (Impication)

Phép kéo theo P → Q (đọc là “nếu P thì Q”) chỉ SAI khi P đúng và Q sai.

P	Q	P → Q
Đ	Đ	Đ
Đ	S	S
S	Đ	Đ
S	S	Đ

Quy tắc nhớ: P → Q chỉ SAI khi P đúng mà Q sai (tiên đề đúng, kết luận sai).

5.3. Phép tương đương (Biconditional)

Phép tương đương P ↔ Q (đọc là “P khi và chỉ khi Q”) ĐÚNG khi P và Q có cùng chân trị.

P	Q	P ↔ Q
Đ	Đ	Đ
Đ	S	S
S	Đ	S
S	S	Đ

5.4. Bảng tổng hợp các phép toán logic

Phép toán	Ký hiệu	Tên gọi	Đúng khi
Phủ định	¬P, ~P, \(\overline{P}\)	NOT	P sai
Phép hội	P ∧ Q	AND	Cả P và Q đều đúng
Phép tuyển	P ∨ Q	OR	Ít nhất một đúng
Kéo theo	P → Q	IF…THEN	P sai hoặc Q đúng
Tương đương	P ↔ Q	IFF	P và Q cùng giá trị

6. Ký hiệu với mọi và ký hiệu tồn tại

Ký hiệu với mọi và ký hiệu tồn tại là hai lượng từ quan trọng trong logic vị từ.

6.1. Ký hiệu với mọi (∀)

Ký hiệu với mọi (hay dấu với mọi) là ký hiệu ∀ (universal quantifier).

Ký hiệu	Đọc là	Ý nghĩa
∀	“với mọi”, “for all”	Mệnh đề đúng với TẤT CẢ các giá trị
∀x	“với mọi x”	Đúng với mọi giá trị của x
∀x ∈ A	“với mọi x thuộc A”	Đúng với mọi x trong tập A

Ví dụ:

• ∀x ∈ ℝ: x² ≥ 0 (Với mọi số thực x, x² ≥ 0) → Đúng
• ∀n ∈ ℕ: n > 0 (Với mọi số tự nhiên n, n > 0) → Sai (vì 0 ∈ ℕ)

6.2. Ký hiệu tồn tại (∃)

Ký hiệu tồn tại là ∃ (existential quantifier).

Ký hiệu	Đọc là	Ý nghĩa
∃	“tồn tại”, “exists”	Có ÍT NHẤT MỘT giá trị thỏa mãn
∃x	“tồn tại x”	Có ít nhất một x thỏa mãn
∃!x	“tồn tại duy nhất x”	Có đúng một x thỏa mãn

Ví dụ:

• ∃x ∈ ℝ: x² = 4 (Tồn tại số thực x sao cho x² = 4) → Đúng (x = ±2)
• ∃x ∈ ℝ: x² = -1 (Tồn tại số thực x sao cho x² = -1) → Sai

6.3. Phủ định của mệnh đề chứa lượng từ

Mệnh đề	Phủ định
∀x: P(x)	∃x: ¬P(x)
∃x: P(x)	∀x: ¬P(x)

Quy tắc: Khi phủ định, đổi ∀ thành ∃ (và ngược lại), đồng thời phủ định mệnh đề bên trong.

6.4. Bảng ký hiệu logic thường dùng

Ký hiệu	Tên gọi	Ý nghĩa
∀	Với mọi	For all, universal
∃	Tồn tại	There exists
∃!	Tồn tại duy nhất	There exists exactly one
∈	Thuộc	Element of
∉	Không thuộc	Not element of
⊂	Tập con	Subset of

7. Cách lập bảng chân trị

Dưới đây là hướng dẫn chi tiết lập bảng chân trị cho các mệnh đề phức hợp.

7.1. Các bước lập bảng chân trị

1. Bước 1: Xác định các mệnh đề đơn (P, Q, R, …)
2. Bước 2: Tính số hàng = \(2^n\) (n là số mệnh đề đơn)
3. Bước 3: Liệt kê tất cả tổ hợp giá trị Đ/S cho các mệnh đề đơn
4. Bước 4: Tính giá trị các mệnh đề trung gian (nếu có)
5. Bước 5: Tính giá trị mệnh đề cuối cùng

7.2. Mẹo liệt kê giá trị

Với 2 mệnh đề P, Q, liệt kê theo thứ tự:

P	Q
Đ	Đ
Đ	S
S	Đ
S	S

Quy tắc: Cột cuối đổi nhanh nhất (Đ-S-Đ-S…), cột đầu đổi chậm nhất.

7.3. Ví dụ lập bảng chân trị

Ví dụ: Lập bảng chân trị của mệnh đề (P ∧ Q) ∨ (¬P)

P	Q	P ∧ Q	¬P	(P ∧ Q) ∨ (¬P)
Đ	Đ	Đ	S	Đ
Đ	S	S	S	S
S	Đ	S	Đ	Đ
S	S	S	Đ	Đ

7.4. Các dạng mệnh đề đặc biệt

Dạng mệnh đề	Định nghĩa	Đặc điểm
Hằng đúng (Tautology)	Luôn đúng với mọi giá trị	Cột kết quả toàn Đ
Hằng sai (Contradiction)	Luôn sai với mọi giá trị	Cột kết quả toàn S
Mệnh đề thỏa được	Đúng với ít nhất một bộ giá trị	Có ít nhất một Đ

8. Các quy tắc tương đương logic

Các công thức tương đương giúp biến đổi và đơn giản hóa mệnh đề.

8.1. Luật De Morgan

\[ \neg(P \land Q) \equiv (\neg P) \lor (\neg Q) \]

\[ \neg(P \lor Q) \equiv (\neg P) \land (\neg Q) \]

8.2. Các luật cơ bản

Tên luật	Công thức
Luật giao hoán	P ∧ Q ≡ Q ∧ P ; P ∨ Q ≡ Q ∨ P
Luật kết hợp	(P ∧ Q) ∧ R ≡ P ∧ (Q ∧ R)
Luật phân phối	P ∧ (Q ∨ R) ≡ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
Luật phủ định kép	¬(¬P) ≡ P
Luật đồng nhất	P ∧ Đ ≡ P ; P ∨ S ≡ P
Luật thống trị	P ∨ Đ ≡ Đ ; P ∧ S ≡ S

9. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Xác định chân trị phép hội

Đề bài: Xác định chân trị của mệnh đề: “4 là số chẵn và 4 là số nguyên tố”

Lời giải:

Gọi P: “4 là số chẵn” → Đúng

Gọi Q: “4 là số nguyên tố” → Sai (vì 4 = 2 × 2)

Áp dụng phép hội: P ∧ Q

Theo bảng chân trị của phép hội: Đ ∧ S = S

Vậy mệnh đề có chân trị SAI.

Bài tập 2: Xác định chân trị phép tuyển

Đề bài: Xác định chân trị của mệnh đề: “9 là số chính phương hoặc 9 là số nguyên tố”

Lời giải:

Gọi P: “9 là số chính phương” → Đúng (vì 9 = 3²)

Gọi Q: “9 là số nguyên tố” → Sai (vì 9 = 3 × 3)

Áp dụng phép tuyển: P ∨ Q

Theo bảng chân lý của phép tuyển: Đ ∨ S = Đ

Vậy mệnh đề có chân trị ĐÚNG.

Bài tập 3: Lập bảng chân trị

Đề bài: Lập bảng chân trị của mệnh đề: P → (Q ∨ P)

Lời giải:

P	Q	Q ∨ P	P → (Q ∨ P)
Đ	Đ	Đ	Đ
Đ	S	Đ	Đ
S	Đ	Đ	Đ
S	S	S	Đ

Nhận xét: Mệnh đề P → (Q ∨ P) luôn đúng với mọi giá trị của P, Q. Đây là hằng đúng (tautology).

Bài tập 4: Phủ định mệnh đề chứa lượng từ

Đề bài: Phủ định mệnh đề: “∀x ∈ ℝ: x² + 1 > 0”

Lời giải:

Mệnh đề gốc: ∀x ∈ ℝ: x² + 1 > 0

Áp dụng quy tắc phủ định với ký hiệu với mọi:

Phủ định: ∃x ∈ ℝ: x² + 1 ≤ 0

(Đọc: “Tồn tại số thực x sao cho x² + 1 ≤ 0”)

Nhận xét: Mệnh đề gốc ĐÚNG (vì x² ≥ 0 nên x² + 1 ≥ 1 > 0), do đó mệnh đề phủ định SAI.

Bài tập 5: Chứng minh tương đương logic

Đề bài: Chứng minh: P → Q ≡ (¬P) ∨ Q bằng bảng chân trị

Lời giải:

P	Q	P → Q	¬P	(¬P) ∨ Q
Đ	Đ	Đ	S	Đ
Đ	S	S	S	S
S	Đ	Đ	Đ	Đ
S	S	Đ	Đ	Đ

Cột “P → Q” và cột “(¬P) ∨ Q” có giá trị giống nhau ở mọi hàng.

Vậy P → Q ≡ (¬P) ∨ Q (đpcm)

Bài tập 6: Bài tập tự luyện

Giải các bài tập sau:

1. Xác định chân trị: “6 chia hết cho 2 và 6 chia hết cho 3″
2. Xác định chân trị: “π là số hữu tỉ hoặc π là số vô tỉ”
3. Lập bảng chân trị của mệnh đề: (P ∧ Q) → P
4. Phủ định mệnh đề: “∃x ∈ ℕ: x² = x”
5. Chứng minh ¬(P ∧ Q) ≡ (¬P) ∨ (¬Q) bằng bảng giá trị chân lý

Đáp số:

1. ĐÚNG (cả hai mệnh đề thành phần đều đúng)
2. ĐÚNG (π là số vô tỉ → mệnh đề thứ hai đúng)
3. Hằng đúng (tautology)
4. ∀x ∈ ℕ: x² ≠ x (Sai, vì x = 0 và x = 1 thỏa mãn x² = x)
5. Luật De Morgan – hai cột kết quả giống nhau

10. Kết luận

Bảng chân trị là công cụ không thể thiếu trong logic toán học. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:

• Chân trị là gì: Giá trị Đúng hoặc Sai của mệnh đề
• Bảng chân lý: Bảng liệt kê tất cả giá trị có thể của mệnh đề
• Phép hội (P ∧ Q): Chỉ đúng khi cả hai đều đúng
• Phép tuyển (P ∨ Q): Chỉ sai khi cả hai đều sai
• Ký hiệu với mọi (∀) và ký hiệu tồn tại (∃)
• Cách lập bảng chân trị cho mệnh đề phức hợp

Hãy luyện tập thường xuyên với bảng giá trị chân lý để thành thạo các phép toán logic. Chúc bạn học tốt!