Tọa độ đỉnh Parabol: Công thức và trục đối xứng chi tiết nhất

Tọa độ đỉnh parabol là kiến thức quan trọng khi khảo sát hàm số bậc hai. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tính đỉnh parabol, trục đối xứng của parabol cùng các phương pháp xác định tọa độ đỉnh kèm ví dụ minh họa dễ hiểu nhất.

1. Đỉnh của Parabol là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức đỉnh parabol, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

1.1. Định nghĩa đỉnh Parabol

Đỉnh của parabol là điểm mà tại đó đồ thị hàm số bậc hai đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Đây là điểm “quay đầu” của parabol, nơi đồ thị chuyển từ đi xuống sang đi lên (hoặc ngược lại).

Định nghĩa: Cho hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \). Đỉnh parabol là điểm \( I \) có tọa độ:

\( I\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right) \)

Trong đó: \( \Delta = b^2 – 4ac \)

1.2. Ý nghĩa hình học của đỉnh Parabol

Tọa độ đỉnh parabol có những ý nghĩa quan trọng:

Trường hợp	Ý nghĩa của đỉnh
\( a > 0 \) (parabol quay bề lõm lên)	Đỉnh là điểm thấp nhất, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất
\( a < 0 \) (parabol quay bề lõm xuống)	Đỉnh là điểm cao nhất, hàm số đạt giá trị lớn nhất

1.3. Mối liên hệ giữa đỉnh và trục đối xứng

Đỉnh của parabol nằm trên trục đối xứng của parabol. Trục đối xứng là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, chia parabol thành hai nửa đối xứng nhau.

• Hoành độ đỉnh = Hoành độ trục đối xứng
• Trục đối xứng có phương trình: \( x = -\frac{b}{2a} \)

2. Công thức tính đỉnh Parabol

Dưới đây là các công thức đỉnh parabol quan trọng cần ghi nhớ:

2.1. Công thức tọa độ đỉnh Parabol

Cho hàm số bậc hai: \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a \neq 0 \)

Công thức tính đỉnh parabol:

Hoành độ đỉnh: \( x_I = -\frac{b}{2a} \)

Tung độ đỉnh: \( y_I = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{b^2 – 4ac}{4a} \)

Hoặc tính tung độ bằng cách thay \( x_I \) vào hàm số:

\( y_I = f\left( -\frac{b}{2a} \right) \)

2.2. Công thức trục đối xứng của Parabol

Trục đối xứng parabol là đường thẳng đứng đi qua đỉnh:

Phương trình trục đối xứng: \( x = -\frac{b}{2a} \)

2.3. Bảng tổng hợp công thức

Đại lượng	Công thức	Ghi chú
Hoành độ đỉnh	\( x_I = -\frac{b}{2a} \)	Cũng là hoành độ trục đối xứng
Tung độ đỉnh (cách 1)	\( y_I = -\frac{\Delta}{4a} \)	Với \( \Delta = b^2 – 4ac \)
Tung độ đỉnh (cách 2)	\( y_I = f\left( -\frac{b}{2a} \right) \)	Thay \( x_I \) vào hàm số
Tung độ đỉnh (cách 3)	\( y_I = c – \frac{b^2}{4a} \)	Dạng rút gọn
Trục đối xứng	\( x = -\frac{b}{2a} \)	Đường thẳng đứng qua đỉnh

2.4. Công thức đỉnh Parabol dạng chính tắc

Khi parabol được viết dưới dạng chính tắc (dạng đỉnh):

\( y = a(x – p)^2 + q \)

Thì tọa độ đỉnh parabol được đọc trực tiếp:

Đỉnh \( I(p, q) \)

Trục đối xứng: \( x = p \)

3. Các phương pháp xác định tọa độ đỉnh Parabol

Có nhiều cách để tìm tọa độ đỉnh của parabol:

3.1. Phương pháp 1: Dùng công thức trực tiếp

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Xác định các hệ số \( a \), \( b \), \( c \) từ phương trình \( y = ax^2 + bx + c \)
2. Bước 2: Tính hoành độ đỉnh: \( x_I = -\frac{b}{2a} \)
3. Bước 3: Tính tung độ đỉnh: \( y_I = -\frac{\Delta}{4a} \) hoặc \( y_I = f(x_I) \)
4. Bước 4: Kết luận tọa độ đỉnh parabol: \( I(x_I, y_I) \)

3.2. Phương pháp 2: Dùng đạo hàm

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Tính đạo hàm \( y’ = 2ax + b \)
2. Bước 2: Giải phương trình \( y’ = 0 \) → \( x_I = -\frac{b}{2a} \)
3. Bước 3: Thay \( x_I \) vào hàm số để tìm \( y_I \)

Giải thích: Tại đỉnh parabol, đường tiếp tuyến nằm ngang nên hệ số góc bằng 0, tức \( y’ = 0 \).

3.3. Phương pháp 3: Biến đổi về dạng chính tắc

Các bước thực hiện:

1. Bước 1: Từ \( y = ax^2 + bx + c \), đặt nhân tử \( a \)
2. Bước 2: Hoàn thành bình phương trong ngoặc
3. Bước 3: Đưa về dạng \( y = a(x – p)^2 + q \)
4. Bước 4: Đọc tọa độ đỉnh: \( I(p, q) \)

Ví dụ biến đổi:

\( y = 2x^2 – 4x + 5 \)

\( y = 2(x^2 – 2x) + 5 \)

\( y = 2(x^2 – 2x + 1 – 1) + 5 \)

\( y = 2(x – 1)^2 – 2 + 5 \)

\( y = 2(x – 1)^2 + 3 \)

Vậy đỉnh \( I(1, 3) \)

4. Trục đối xứng của Parabol

Trục đối xứng của parabol là một khái niệm quan trọng gắn liền với đỉnh parabol:

4.1. Định nghĩa trục đối xứng

Trục đối xứng parabol là đường thẳng đứng chia parabol thành hai nửa đối xứng nhau qua đường thẳng đó.

Phương trình trục đối xứng: \( x = -\frac{b}{2a} \)

4.2. Tính chất của trục đối xứng

Tính chất	Mô tả
Đi qua đỉnh	Trục đối xứng luôn đi qua đỉnh của parabol
Song song trục Oy	Trục đối xứng là đường thẳng đứng
Chia đôi khoảng cách	Hai điểm đối xứng qua trục có cùng tung độ
Trung điểm hai nghiệm	Hoành độ trục đối xứng = trung bình cộng hai nghiệm (nếu có)

4.3. Mối quan hệ với nghiệm của phương trình

Nếu phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \), \( x_2 \), thì:

\( x_I = \frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a} \)

Điều này cho thấy trục đối xứng của parabol đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai giao điểm với trục Ox.

5. Các dạng bài tập về tọa độ đỉnh Parabol

Để thành thạo công thức tính đỉnh parabol, học sinh cần nắm vững các dạng bài sau:

5.1. Dạng 1: Tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng

Phương pháp giải:

1. Xác định \( a \), \( b \), \( c \)
2. Áp dụng công thức đỉnh parabol
3. Viết phương trình trục đối xứng parabol

5.2. Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bậc hai

Phương pháp giải:

1. Tìm tọa độ đỉnh parabol
2. Xét dấu của \( a \) để kết luận GTLN hay GTNN
3. Giá trị cực trị chính là tung độ đỉnh

5.3. Dạng 3: Xác định parabol khi biết đỉnh

Phương pháp giải:

1. Sử dụng dạng chính tắc: \( y = a(x – p)^2 + q \) với đỉnh \( I(p, q) \)
2. Thay điều kiện bổ sung để tìm \( a \)

5.4. Dạng 4: Bài toán có tham số

Phương pháp giải:

1. Lập biểu thức tọa độ đỉnh theo tham số
2. Áp dụng điều kiện đề bài để tìm tham số

6. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính đỉnh parabol chi tiết:

Ví dụ 1: Tìm tọa độ đỉnh parabol (Cơ bản)

Đề bài: Tìm tọa độ đỉnh parabol và trục đối xứng của parabol \( y = x^2 – 4x + 3 \).

Lời giải:

Ta có: \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = 3 \)

Bước 1: Tính hoành độ đỉnh

\( x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 \)

Bước 2: Tính tung độ đỉnh

Cách 1: Thay \( x_I = 2 \) vào hàm số

\( y_I = 2^2 – 4 \cdot 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = -1 \)

Cách 2: Dùng công thức

\( \Delta = (-4)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 – 12 = 4 \)

\( y_I = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{4}{4 \cdot 1} = -1 \)

Bước 3: Kết luận

Tọa độ đỉnh: \( I(2, -1) \)

Trục đối xứng: \( x = 2 \)

Ví dụ 2: Tìm đỉnh parabol có hệ số âm

Đề bài: Tìm đỉnh của parabol \( y = -2x^2 + 8x – 5 \).

Lời giải:

Ta có: \( a = -2 \), \( b = 8 \), \( c = -5 \)

Hoành độ đỉnh:

\( x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \)

Tung độ đỉnh:

\( y_I = -2(2)^2 + 8(2) – 5 = -8 + 16 – 5 = 3 \)

Đáp số: Đỉnh \( I(2, 3) \), trục đối xứng \( x = 2 \)

Nhận xét: Vì \( a = -2 < 0 \), parabol quay bề lõm xuống nên đỉnh là điểm cao nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là \( y_{max} = 3 \).

Ví dụ 3: Biến đổi về dạng chính tắc

Đề bài: Đưa parabol \( y = 3x^2 + 6x + 1 \) về dạng chính tắc và xác định toạ độ đỉnh parabol.

Lời giải:

\( y = 3x^2 + 6x + 1 \)

\( y = 3(x^2 + 2x) + 1 \)

\( y = 3(x^2 + 2x + 1 – 1) + 1 \)

\( y = 3[(x + 1)^2 – 1] + 1 \)

\( y = 3(x + 1)^2 – 3 + 1 \)

\( y = 3(x + 1)^2 – 2 \)

So sánh với dạng \( y = a(x – p)^2 + q \):

• \( a = 3 \)
• \( p = -1 \)
• \( q = -2 \)

Đáp số: Dạng chính tắc: \( y = 3(x + 1)^2 – 2 \). Đỉnh \( I(-1, -2) \)

Ví dụ 4: Tìm GTLN, GTNN

Đề bài: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^2 + 6x – 5 \) trên \( \mathbb{R} \).

Lời giải:

Ta có: \( a = -1 < 0 \) nên parabol quay bề lõm xuống.

Tìm tọa độ đỉnh:

\( x_I = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3 \)

\( y_I = -(3)^2 + 6(3) – 5 = -9 + 18 – 5 = 4 \)

Đỉnh \( I(3, 4) \)

Kết luận:

• Hàm số đạt giá trị lớn nhất \( y_{max} = 4 \) khi \( x = 3 \)
• Hàm số không có giá trị nhỏ nhất (vì parabol đi xuống vô hạn)

Ví dụ 5: Xác định parabol khi biết đỉnh

Đề bài: Tìm phương trình parabol có đỉnh \( I(1, -2) \) và đi qua điểm \( A(0, 1) \).

Lời giải:

Parabol có đỉnh \( I(1, -2) \) nên có dạng:

\( y = a(x – 1)^2 + (-2) = a(x – 1)^2 – 2 \)

Parabol đi qua \( A(0, 1) \) nên:

\( 1 = a(0 – 1)^2 – 2 \)

\( 1 = a \cdot 1 – 2 \)

\( a = 3 \)

Phương trình parabol: \( y = 3(x – 1)^2 – 2 \)

Khai triển: \( y = 3(x^2 – 2x + 1) – 2 = 3x^2 – 6x + 3 – 2 = 3x^2 – 6x + 1 \)

Đáp số: \( y = 3x^2 – 6x + 1 \) hoặc \( y = 3(x – 1)^2 – 2 \)

Ví dụ 6: Bài toán có tham số

Đề bài: Cho parabol \( y = x^2 – 2mx + m + 2 \). Tìm \( m \) để đỉnh của parabol nằm trên đường thẳng \( y = x \).

Lời giải:

Ta có: \( a = 1 \), \( b = -2m \), \( c = m + 2 \)

Tìm toạ độ đỉnh:

\( x_I = -\frac{-2m}{2 \cdot 1} = m \)

\( y_I = m^2 – 2m \cdot m + m + 2 = m^2 – 2m^2 + m + 2 = -m^2 + m + 2 \)

Đỉnh \( I(m, -m^2 + m + 2) \)

Điều kiện đỉnh nằm trên đường thẳng \( y = x \):

\( y_I = x_I \)

\( -m^2 + m + 2 = m \)

\( -m^2 + 2 = 0 \)

\( m^2 = 2 \)

\( m = \pm\sqrt{2} \)

Đáp số: \( m = \sqrt{2} \) hoặc \( m = -\sqrt{2} \)

Ví dụ 7: Tìm đỉnh bằng đạo hàm

Đề bài: Dùng đạo hàm tìm tọa độ đỉnh parabol \( y = 2x^2 – 12x + 10 \).

Lời giải:

Bước 1: Tính đạo hàm

\( y’ = 4x – 12 \)

Bước 2: Giải phương trình \( y’ = 0 \)

\( 4x – 12 = 0 \)

\( x = 3 \)

Bước 3: Tính tung độ

\( y(3) = 2(3)^2 – 12(3) + 10 = 18 – 36 + 10 = -8 \)

Đáp số: Đỉnh \( I(3, -8) \)

Bài tập tự luyện

Hãy thử sức với các bài tập sau để củng cố kiến thức về tọa độ đỉnh parabol:

Bài	Đề bài	Đáp án
1	Tìm đỉnh parabol \( y = x^2 + 2x – 3 \)	\( I(-1, -4) \)
2	Tìm trục đối xứng của parabol \( y = -3x^2 + 12x – 7 \)	\( x = 2 \)
3	Tìm GTNN của \( y = 2x^2 – 8x + 5 \)	\( y_{min} = -3 \) khi \( x = 2 \)
4	Đưa \( y = x^2 – 6x + 11 \) về dạng chính tắc	\( y = (x – 3)^2 + 2 \)
5	Tìm \( m \) để đỉnh parabol \( y = x^2 – 4x + m \) nằm trên Ox	\( m = 4 \)

7. Mẹo ghi nhớ công thức đỉnh Parabol

Để ghi nhớ công thức tính đỉnh parabol một cách hiệu quả:

Công thức	Mẹo ghi nhớ
\( x_I = -\frac{b}{2a} \)	“Trừ b chia 2a” – giống công thức nghiệm nhưng không có căn
\( y_I = -\frac{\Delta}{4a} \)	“Trừ Delta chia 4a” – mẫu số gấp đôi hoành độ
Trục đối xứng	Cùng hoành độ với đỉnh: \( x = -\frac{b}{2a} \)

8. Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu chi tiết về tọa độ đỉnh parabol và trục đối xứng của parabol. Đây là kiến thức nền tảng quan trọng khi khảo sát hàm số bậc hai.

Để xác định đỉnh của parabol hiệu quả, học sinh cần nhớ:

• Công thức đỉnh parabol: \( I\left( -\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a} \right) \)
• Trục đối xứng parabol: \( x = -\frac{b}{2a} \)
• Có thể dùng đạo hàm hoặc biến đổi về dạng chính tắc để tìm đỉnh
• Tung độ đỉnh chính là GTLN (khi \( a < 0 \)) hoặc GTNN (khi \( a > 0 \)) của hàm số

Nắm vững công thức tính đỉnh parabol sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán về hàm số bậc hai, tìm cực trị và nhiều ứng dụng thực tế khác.