Đạo hàm arcsin, arccos: Công thức và cách chứng minh chi tiết

Đạo hàm arcsin và đạo hàm arccos là những công thức quan trọng trong chương trình Giải tích, được sử dụng rộng rãi khi tính đạo hàm các hàm lượng giác ngược. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức đạo hàm của arcsin, đạo hàm của arccos, cách chứng minh và các bài tập minh họa cụ thể.

1. Hàm arcsin là gì?

Trước khi tìm hiểu đạo hàm arcsin, ta cần nắm vững khái niệm hàm arcsin.

1.1. Định nghĩa hàm arcsin

Arcsin (hay arc sine, ký hiệu \(\arcsin x\) hoặc \(\sin^{-1}x\)) là hàm ngược của hàm sin trên đoạn \(\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\).

Định nghĩa: \(y = \arcsin x \Leftrightarrow x = \sin y\) với \(y \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\)

1.2. Tập xác định và tập giá trị

Đặc điểm	Giá trị
Tập xác định	\(D = [-1; 1]\)
Tập giá trị	\(T = \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]\)
Tính chất	Hàm số đồng biến trên D

1.3. Các giá trị đặc biệt của arcsin

\(x\)	\(\arcsin x\)
-1	\(-\frac{\pi}{2}\)
\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\frac{\pi}{4}\)
\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{\pi}{6}\)
0	0
\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\pi}{6}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\pi}{3}\)
1	\(\frac{\pi}{2}\)

2. Arccos là gì?

Tương tự như arcsin, arccos là gì cũng là câu hỏi cơ bản cần nắm trước khi học đạo hàm arccos.

2.1. Định nghĩa hàm arccos

Arccos (hay arc cosine, ký hiệu \(\arccos x\) hoặc \(\cos^{-1}x\)) là hàm ngược của hàm cos trên đoạn \([0; \pi]\).

Định nghĩa: \(y = \arccos x \Leftrightarrow x = \cos y\) với \(y \in [0; \pi]\)

2.2. Tập xác định và tập giá trị

Đặc điểm	Giá trị
Tập xác định	\(D = [-1; 1]\)
Tập giá trị	\(T = [0; \pi]\)
Tính chất	Hàm số nghịch biến trên D

2.3. Các giá trị đặc biệt của arccos

\(x\)	\(\arccos x\)
-1	\(\pi\)
\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{3\pi}{4}\)
0	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\pi}{3}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\pi}{4}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\pi}{6}\)
1	0

2.4. Mối quan hệ giữa arcsin và arccos

Công thức quan trọng:

\(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\) với mọi \(x \in [-1; 1]\)

3. Công thức đạo hàm arcsin

Dưới đây là công thức đạo hàm của arcsin và cách chứng minh chi tiết.

3.1. Công thức đạo hàm arcsin x

Đạo hàm arcsin x được cho bởi công thức:

\((\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)

Điều kiện: \(-1 < x < 1\)

3.2. Chứng minh công thức đạo hàm arcsin

Cách 1: Sử dụng định nghĩa hàm ngược

Đặt \(y = \arcsin x\), ta có \(x = \sin y\) với \(y \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\)

Lấy đạo hàm hai vế theo x:

\(1 = \cos y \cdot y’\)

\(y’ = \frac{1}{\cos y}\)

Vì \(y \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)\) nên \(\cos y > 0\), do đó:

\(\cos y = \sqrt{1 – \sin^2 y} = \sqrt{1 – x^2}\)

Vậy: \((\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) ✓

3.3. Đạo hàm arcsin của hàm hợp

Nếu \(u = u(x)\) là hàm khả vi thì:

\((\arcsin u)’ = \frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}\)

Ví dụ:

• \((\arcsin 2x)’ = \frac{2}{\sqrt{1 – 4x^2}}\)
• \((\arcsin x^2)’ = \frac{2x}{\sqrt{1 – x^4}}\)
• \(\left(\arcsin \frac{x}{a}\right)’ = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – \frac{x^2}{a^2}}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}}\)

4. Công thức đạo hàm arccos

Tiếp theo là công thức đạo hàm của arccos và cách chứng minh.

4.1. Công thức đạo hàm arccos x

Đạo hàm arccos được cho bởi công thức:

\((\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)

Điều kiện: \(-1 < x < 1\)

4.2. Chứng minh công thức đạo hàm arccos

Cách 1: Sử dụng định nghĩa hàm ngược

Đặt \(y = \arccos x\), ta có \(x = \cos y\) với \(y \in (0; \pi)\)

Lấy đạo hàm hai vế theo x:

\(1 = -\sin y \cdot y’\)

\(y’ = -\frac{1}{\sin y}\)

Vì \(y \in (0; \pi)\) nên \(\sin y > 0\), do đó:

\(\sin y = \sqrt{1 – \cos^2 y} = \sqrt{1 – x^2}\)

Vậy: \((\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) ✓

Cách 2: Sử dụng mối quan hệ arcsin và arccos

Từ \(\arccos x = \frac{\pi}{2} – \arcsin x\)

Lấy đạo hàm hai vế:

\((\arccos x)’ = 0 – (\arcsin x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\) ✓

4.3. Đạo hàm arccos của hàm hợp

Nếu \(u = u(x)\) là hàm khả vi thì:

\((\arccos u)’ = -\frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}\)

Ví dụ:

• \((\arccos 3x)’ = -\frac{3}{\sqrt{1 – 9x^2}}\)
• \((\arccos \sqrt{x})’ = -\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 – x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}\)

5. Đạo hàm các hàm arc khác

Ngoài đạo hàm arcsin và đạo hàm arccos, còn có các công thức đạo hàm arc khác quan trọng:

5.1. Đạo hàm arctan

\((\arctan x)’ = \frac{1}{1 + x^2}\)

Công thức hàm hợp: \((\arctan u)’ = \frac{u’}{1 + u^2}\)

5.2. Đạo hàm arccot

\((\text{arccot } x)’ = -\frac{1}{1 + x^2}\)

Công thức hàm hợp: \((\text{arccot } u)’ = -\frac{u’}{1 + u^2}\)

6. Bảng tổng hợp đạo hàm các hàm arc

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả các công thức đạo hàm arc:

Hàm số	Đạo hàm	Điều kiện
\(\arcsin x\)	\(\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)	\(-1 < x < 1\)
\(\arccos x\)	\(-\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)	\(-1 < x < 1\)
\(\arctan x\)	\(\frac{1}{1 + x^2}\)	\(x \in \mathbb{R}\)
\(\text{arccot } x\)	\(-\frac{1}{1 + x^2}\)	\(x \in \mathbb{R}\)

6.1. Bảng đạo hàm hàm hợp

Hàm số	Đạo hàm hàm hợp
\(\arcsin u\)	\(\frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}\)
\(\arccos u\)	\(-\frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}}\)
\(\arctan u\)	\(\frac{u’}{1 + u^2}\)
\(\text{arccot } u\)	\(-\frac{u’}{1 + u^2}\)

7. Mẹo ghi nhớ công thức đạo hàm arc

Để nhớ nhanh các công thức đạo hàm arcsin, đạo hàm arccos và các hàm arc khác:

7.1. Quy tắc dấu

Nhóm	Hàm	Dấu đạo hàm
Nhóm sin	arcsin, arctan	Dương (+)
Nhóm cos	arccos, arccot	Âm (−)

7.2. Quy tắc mẫu số

• arcsin, arccos: Mẫu số chứa \(\sqrt{1 – x^2}\)
• arctan, arccot: Mẫu số chứa \(1 + x^2\)

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng các công thức đạo hàm của arcsin và đạo hàm của arccos để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính đạo hàm cơ bản

Đề bài: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \arcsin 2x\)

b) \(y = \arccos(1 – x)\)

Lời giải:

a) Áp dụng công thức đạo hàm arcsin hàm hợp:

\(y’ = \frac{(2x)’}{\sqrt{1 – (2x)^2}} = \frac{2}{\sqrt{1 – 4x^2}}\)

b) Áp dụng công thức đạo hàm arccos hàm hợp:

\(y’ = -\frac{(1-x)’}{\sqrt{1 – (1-x)^2}} = -\frac{-1}{\sqrt{1 – (1-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 – (1-x)^2}}\)

Rút gọn mẫu số:

\(1 – (1-x)^2 = 1 – 1 + 2x – x^2 = 2x – x^2 = x(2-x)\)

Vậy: \(y’ = \frac{1}{\sqrt{x(2-x)}}\)

Bài tập 2: Đạo hàm hàm hợp phức tạp

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \arcsin\sqrt{x}\)

Lời giải:

Đặt \(u = \sqrt{x}\), ta có \(u’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

Áp dụng công thức đạo hàm arcsin x hàm hợp:

\(y’ = \frac{u’}{\sqrt{1 – u^2}} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{1 – x}}\)

\(y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}\sqrt{1-x}} = \frac{1}{2\sqrt{x(1-x)}}\)

Bài tập 3: Kết hợp nhiều hàm arc

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \arcsin x + \arccos x\)

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp

\(y’ = (\arcsin x)’ + (\arccos x)’\)

\(y’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 0\)

Cách 2: Sử dụng tính chất

Ta có \(\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}\) (hằng số)

Do đó: \(y’ = 0\)

Bài tập 4: Tính đạo hàm arctan

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \arctan(x^2 + 1)\)

Lời giải:

Đặt \(u = x^2 + 1\), ta có \(u’ = 2x\)

Áp dụng công thức đạo hàm arctan hàm hợp:

\(y’ = \frac{u’}{1 + u^2} = \frac{2x}{1 + (x^2+1)^2}\)

\(y’ = \frac{2x}{1 + x^4 + 2x^2 + 1} = \frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2}\)

Bài tập 5: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số \(y = x \cdot \arcsin x + \sqrt{1-x^2}\)

Lời giải:

Áp dụng công thức đạo hàm tích và đạo hàm của arcsin:

\(y’ = (x)’ \cdot \arcsin x + x \cdot (\arcsin x)’ + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\)

\(y’ = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} – \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

\(y’ = \arcsin x\)

9. Bài tập tự luyện

Vận dụng các công thức đạo hàm arc đã học, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính đạo hàm của \(y = \arcsin 3x\)

Xem đáp án

\(y’ = \frac{3}{\sqrt{1 – 9x^2}}\)

Bài 2: Tính đạo hàm của \(y = \arccos(2x – 1)\)

Xem đáp án

\(y’ = -\frac{2}{\sqrt{1 – (2x-1)^2}} = -\frac{2}{\sqrt{4x – 4x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}\)

Bài 3: Tính đạo hàm của \(y = \arctan\frac{1}{x}\)

Xem đáp án

\(y’ = \frac{-\frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{-\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2+1}{x^2}} = -\frac{1}{x^2 + 1}\)

Bài 4: Tính đạo hàm của \(y = \arcsin x^3\)

Xem đáp án

\(y’ = \frac{3x^2}{\sqrt{1 – x^6}}\)

Bài 5: Chứng minh rằng \((\arcsin x)’ + (\arccos x)’ = 0\)

Xem đáp án

\((\arcsin x)’ + (\arccos x)’ = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) = 0\) ✓

10. Kết luận

Đạo hàm arcsin và đạo hàm arccos là những công thức nền tảng trong giải tích. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Khái niệm arcsin và arccos là gì, tập xác định và tập giá trị của chúng
• Công thức đạo hàm của arcsin: \((\arcsin x)’ = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
• Công thức đạo hàm của arccos: \((\arccos x)’ = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\)
• Các công thức đạo hàm arc khác: arctan, arccot
• Cách áp dụng đạo hàm arcsin x và đạo hàm arccos cho hàm hợp

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về đạo hàm arc để thành thạo và áp dụng linh hoạt trong các kỳ thi.