Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Công thức và ví dụ chi tiết

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là một khái niệm quan trọng trong toán học, cho phép tính tổng của vô số các số hạng trong một dãy cấp số nhân khi công bội có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn, cách chứng minh, điều kiện áp dụng cùng các ví dụ và bài tập minh họa dễ hiểu.

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Trước khi tìm hiểu về tổng csn lùi vô hạn, chúng ta cần nắm vững khái niệm cấp số nhân và điều kiện để dãy số hội tụ.

Định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân là một dãy số trong đó mỗi số hạng (từ số hạng thứ hai trở đi) bằng số hạng đứng trước nhân với một hằng số \( q \) gọi là công bội.

Dạng tổng quát của cấp số nhân:

\[ u_1, u_1 \cdot q, u_1 \cdot q^2, u_1 \cdot q^3, \ldots, u_1 \cdot q^{n-1}, \ldots \]

Trong đó:

• \( u_1 \): số hạng đầu tiên
• \( q \): công bội
• \( u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \): số hạng thứ \( n \)

Điều kiện của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có vô hạn số hạng và thỏa mãn điều kiện:

\[ |q| < 1 \quad \text{hay} \quad -1 < q < 1 \]

Khi \( |q| < 1 \), các số hạng của dãy sẽ tiến dần về 0, đảm bảo tổng của dãy hội tụ về một giá trị hữu hạn.

Ví dụ về cấp số nhân lùi vô hạn:

• Dãy \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots \) với \( u_1 = 1 \), \( q = \frac{1}{2} \)
• Dãy \( 3, -1, \frac{1}{3}, -\frac{1}{9}, \ldots \) với \( u_1 = 3 \), \( q = -\frac{1}{3} \)

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Phần này trình bày chi tiết công thức tính tổng cấp số nhân từ dạng hữu hạn đến dạng vô hạn.

Công thức tổng cấp số nhân hữu hạn

Với cấp số nhân có \( n \) số hạng, công thức tổng cấp số nhân là:

\[ S_n = u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} \quad (q \neq 1) \]

Suy ra công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Khi \( |q| < 1 \) và \( n \to \infty \), ta có \( q^n \to 0 \). Do đó:

\[ S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} u_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} = u_1 \cdot \frac{1 – 0}{1 – q} = \frac{u_1}{1 – q} \]

Công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

\[ S = \frac{u_1}{1 – q} \quad \text{với } |q| < 1 \]

Đây là công thức cốt lõi để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Bảng tóm tắt các công thức

Cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Để tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn một cách chính xác, hãy thực hiện theo các bước sau:

Các bước thực hiện

1. Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên \( u_1 \) của dãy
2. Bước 2: Tính công bội \( q = \frac{u_2}{u_1} \)
3. Bước 3: Kiểm tra điều kiện hội tụ \( |q| < 1 \)
4. Bước 4: Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn: \( S = \frac{u_1}{1 – q} \)

Lưu ý quan trọng

• Nếu \( |q| \geq 1 \), tổng không tồn tại (phân kỳ)
• Khi \( q < 0 \), các số hạng đổi dấu luân phiên nhưng công thức vẫn áp dụng được
• Công thức chỉ áp dụng khi dãy bắt đầu từ số hạng đầu tiên

Ví dụ minh họa tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Dưới đây là các ví dụ chi tiết giúp bạn nắm vững cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 1: Dạng cơ bản

Đề bài: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \)

Lời giải:

Xác định các thông số:

• Số hạng đầu: \( u_1 = 1 \)
• Công bội: \( q = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2} \)
• Kiểm tra: \( |q| = \frac{1}{2} < 1 \) ✓ (thỏa mãn điều kiện hội tụ)

Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

Kết quả: \( S = 2 \)

Ví dụ 2: Dạng có công bội âm

Đề bài: Tính tổng csn: \( 6 – 2 + \frac{2}{3} – \frac{2}{9} + \ldots \)

Lời giải:

Xác định các thông số:

• Số hạng đầu: \( u_1 = 6 \)
• Công bội: \( q = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \)
• Kiểm tra: \( |q| = \frac{1}{3} < 1 \) ✓

Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{u_1}{1 – q} = \frac{6}{1 – \left(-\frac{1}{3}\right)} = \frac{6}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{4}{3}} = 6 \times \frac{3}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} \]

Kết quả: \( S = \frac{9}{2} = 4{,}5 \)

Ví dụ 3: Ứng dụng – Số thập phân tuần hoàn

Đề bài: Chứng minh \( 0{,}333\ldots = \frac{1}{3} \)

Lời giải:

Ta viết:

\[ 0{,}333\ldots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \ldots \]

Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với:

• \( u_1 = \frac{3}{10} \)
• \( q = \frac{1}{10} \)

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

\[ S = \frac{\frac{3}{10}}{1 – \frac{1}{10}} = \frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Kết quả: \( 0{,}333\ldots = \frac{1}{3} \) (đpcm)

Ví dụ 4: Tính tổng dạng tổng quát

Đề bài: Tính tổng: \( S = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n \)

Lời giải:

Khai triển:

\[ S = 1 + \frac{2}{5} + \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{2}{5}\right)^3 + \ldots \]

Xác định:

• \( u_1 = 1 \)
• \( q = \frac{2}{5} \), \( |q| = 0{,}4 < 1 \) ✓

Áp dụng công thức:

\[ S = \frac{1}{1 – \frac{2}{5}} = \frac{1}{\frac{3}{5}} = \frac{5}{3} \]

Kết quả: \( S = \frac{5}{3} \)

Bài tập tự luyện có đáp án

Hãy vận dụng công thức tính tổng cấp số nhân để giải các bài tập sau:

Bài tập

Bài 1: Tính tổng: \( 5 + \frac{5}{3} + \frac{5}{9} + \frac{5}{27} + \ldots \)

Bài 2: Tính tổng: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \)

Bài 3: Tính tổng: \( 1 – \frac{1}{4} + \frac{1}{16} – \frac{1}{64} + \ldots \)

Bài 4: Chuyển số thập phân tuần hoàn \( 0{,}272727\ldots \) thành phân số.

Bài 5: Cho cấp số nhân có \( u_1 = 8 \) và tổng vô hạn \( S = 12 \). Tìm công bội \( q \).

Đáp án chi tiết

Bài 1:

• \( u_1 = 5 \), \( q = \frac{1}{3} \)
• \( S = \frac{5}{1 – \frac{1}{3}} = \frac{5}{\frac{2}{3}} = \frac{15}{2} = 7{,}5 \)

Bài 2:

• Khai triển: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots \)
• \( u_1 = \frac{1}{2} \), \( q = \frac{1}{2} \)
• \( S = \frac{\frac{1}{2}}{1 – \frac{1}{2}} = 1 \)

Bài 3:

• \( u_1 = 1 \), \( q = -\frac{1}{4} \)
• \( S = \frac{1}{1 – \left(-\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5} \)

Bài 4:

• \( 0{,}272727\ldots = \frac{27}{100} + \frac{27}{10000} + \ldots \)
• \( u_1 = \frac{27}{100} \), \( q = \frac{1}{100} \)
• \( S = \frac{\frac{27}{100}}{1 – \frac{1}{100}} = \frac{\frac{27}{100}}{\frac{99}{100}} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \)

Bài 5:

• Từ công thức \( S = \frac{u_1}{1 – q} \), ta có: \( 12 = \frac{8}{1 – q} \)
• Suy ra: \( 1 – q = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
• Vậy: \( q = 1 – \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \)

Kết luận

Tổng cấp số nhân lùi vô hạn là một công cụ toán học quan trọng với công thức cốt lõi \( S = \frac{u_1}{1 – q} \) (với điều kiện \( |q| < 1 \)). Công thức này không chỉ giúp tính toán nhanh chóng mà còn có nhiều ứng dụng thực tế như chuyển đổi số thập phân tuần hoàn, tính toán trong vật lý, tài chính và nhiều lĩnh vực khác. Hãy ghi nhớ điều kiện hội tụ và luyện tập thường xuyên để thành thạo cách tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn.