Quy tắc hình bình hành, quy tắc 3 điểm: Công thức và bài tập
Quy tắc hình bình hành và quy tắc 3 điểm là hai quy tắc cơ bản để cộng vecto trong hình học. Nắm vững quy tắc ba điểm, quy tắc 3 điểm vectơ và vectơ hình bình hành giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán về vecto. Bài viết này trình bày đầy đủ lý thuyết, so sánh và bài tập có lời giải chi tiết, bao gồm cả quy tắc hình hộp trong không gian.
1. Quy tắc 3 điểm là gì?
Quy tắc 3 điểm (hay quy tắc ba điểm, quy tắc 3 điểm vectơ) là quy tắc cộng hai vecto khi chúng có điểm cuối của vecto này trùng với điểm đầu của vecto kia.
1.1. Phát biểu quy tắc 3 điểm
Quy tắc 3 điểm: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
Nói cách khác: Nếu điểm cuối của vecto thứ nhất trùng với điểm đầu của vecto thứ hai, thì tổng hai vecto là vecto có điểm đầu của vecto thứ nhất và điểm cuối của vecto thứ hai.
1.2. Minh họa quy tắc ba điểm
Xét ba điểm A, B, C:
- Vecto thứ nhất: \(\vec{AB}\) (đi từ A đến B)
- Vecto thứ hai: \(\vec{BC}\) (đi từ B đến C)
- Vecto tổng: \(\vec{AC}\) (đi từ A đến C)
Điểm B là điểm chung (điểm cuối của \(\vec{AB}\) và điểm đầu của \(\vec{BC}\)).
1.3. Các dạng mở rộng của quy tắc 3 điểm vectơ
| Công thức | Suy ra từ |
|---|---|
| \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) | Quy tắc 3 điểm cơ bản |
| \(\vec{AB} = \vec{AC} + \vec{CB}\) | Đổi vị trí điểm giữa |
| \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\) | Tam giác khép kín |
| \(\vec{AB} = \vec{AC} – \vec{BC}\) | Biến đổi từ quy tắc cơ bản |
1.4. Quy tắc 3 điểm cho nhiều vecto
Mở rộng quy tắc 3 điểm cho nhiều vecto:
\[ \vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + … + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n} \]
Ví dụ với 4 điểm:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{AD} \]
2. Quy tắc hình bình hành là gì?
Quy tắc hình bình hành là quy tắc cộng hai vecto khi chúng có cùng điểm đầu.
2.1. Phát biểu quy tắc hình bình hành
Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì:
\[ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \]
Nói cách khác: Nếu hai vecto có cùng điểm đầu, thì tổng của chúng là vecto có cùng điểm đầu và điểm cuối là đỉnh đối diện của hình bình hành tạo bởi hai vecto đó.
2.2. Minh họa vectơ hình bình hành
Cho hai vecto \(\vec{AB}\) và \(\vec{AD}\) có cùng điểm đầu A:
- Dựng hình bình hành ABCD với AB và AD là hai cạnh kề
- Đường chéo AC chính là vecto tổng \(\vec{AB} + \vec{AD}\)
Đây là lý do gọi là vectơ hình bình hành.
2.3. Các dạng biến đổi của quy tắc hình bình hành
| Công thức | Điều kiện |
|---|---|
| \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) | ABCD là hình bình hành |
| \(\vec{BA} + \vec{BC} = \vec{BD}\) | ABCD là hình bình hành (BD là đường chéo còn lại) |
| \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) | Đường chéo = tổng 2 cạnh kề |
| \(\vec{AB} – \vec{AD} = \vec{DB}\) | Hiệu hai vecto |
2.4. Hệ quả quan trọng
Trong hình bình hành ABCD với O là giao điểm hai đường chéo:
- \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\)
- \(\vec{AB} + \vec{CB} = \vec{DB}\)
- \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\)
- \(\vec{AB} + \vec{DC} = \vec{0}\) (hai vecto đối nhau)
3. So sánh quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành
Dưới đây là bảng so sánh quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành.
3.1. Bảng so sánh chi tiết
| Tiêu chí | Quy tắc 3 điểm | Quy tắc hình bình hành |
|---|---|---|
| Điều kiện | Điểm cuối vecto 1 = Điểm đầu vecto 2 | Hai vecto có cùng điểm đầu |
| Công thức | \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) | \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) |
| Hình minh họa | 3 điểm thẳng hàng hoặc tạo tam giác | Hình bình hành |
| Số điểm cần | 3 điểm | 4 điểm (tạo hình bình hành) |
| Khi nào dùng | Hai vecto nối tiếp nhau | Hai vecto chung gốc |
3.2. Mối liên hệ giữa hai quy tắc
Thực chất, quy tắc hình bình hành có thể suy ra từ quy tắc 3 điểm:
Trong hình bình hành ABCD:
\[ \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
(Vì \(\vec{AD} = \vec{BC}\) trong hình bình hành)
3.3. Khi nào dùng quy tắc nào?
| Tình huống | Quy tắc phù hợp |
|---|---|
| Hai vecto nối tiếp (đuôi – đầu) | Quy tắc 3 điểm |
| Hai vecto chung gốc | Quy tắc hình bình hành |
| Tính tổng nhiều vecto | Quy tắc 3 điểm (mở rộng) |
| Bài toán hình bình hành | Quy tắc hình bình hành |
| Phân tích vecto theo 2 hướng | Quy tắc hình bình hành |
4. Quy tắc trừ vecto
Ngoài phép cộng, ta cần nắm quy tắc trừ vecto.
4.1. Công thức trừ vecto
\[ \vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB} \]
Hay: Hiệu của hai vecto chung gốc là vecto nối từ điểm cuối của vecto trừ đến điểm cuối của vecto bị trừ.
4.2. Quy tắc trừ trong hình bình hành
Trong hình bình hành ABCD:
- \(\vec{AB} – \vec{AD} = \vec{DB}\)
- \(\vec{AC} – \vec{AB} = \vec{BC}\)
5. Quy tắc hình hộp
Quy tắc hình hộp là mở rộng của quy tắc hình bình hành trong không gian 3 chiều.
5.1. Phát biểu quy tắc hình hộp
Quy tắc hình hộp: Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với ba vecto có chung điểm đầu A:
\[ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} = \vec{AC’} \]
Trong đó AC’ là đường chéo chính của hình hộp.
5.2. Minh họa quy tắc hình hộp
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
- \(\vec{AB}\): vecto theo chiều dài
- \(\vec{AD}\): vecto theo chiều rộng
- \(\vec{AA’}\): vecto theo chiều cao
- \(\vec{AC’}\): đường chéo chính (từ A đến C’)
5.3. Các hệ quả của quy tắc hình hộp
| Công thức | Giải thích |
|---|---|
| \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} = \vec{AC’}\) | Quy tắc hình hộp cơ bản |
| \(\vec{AB} + \vec{BC’} = \vec{AC’}\) | Quy tắc 3 điểm trong không gian |
| \(\vec{AC} + \vec{AA’} = \vec{AC’}\) | Kết hợp quy tắc hình bình hành và 3 điểm |
| \(\vec{A’B’} + \vec{A’D’} + \vec{A’A} = \vec{A’C}\) | Đường chéo chính từ A’ |
5.4. Tính chất trong hình hộp
Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với O là tâm (giao điểm các đường chéo):
- \(\vec{AC’} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’}\)
- \(\vec{BD’} = \vec{BA} + \vec{BC} + \vec{BB’}\)
- \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} + \vec{OA’} + \vec{OB’} + \vec{OC’} + \vec{OD’} = \vec{0}\)
6. Ứng dụng các quy tắc cộng vecto
Dưới đây là các ứng dụng quan trọng của quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc hình hộp.
6.1. Chứng minh đẳng thức vecto
Phương pháp:
- Biến đổi vế trái hoặc vế phải về cùng dạng
- Sử dụng quy tắc 3 điểm để “nối” các vecto
- Sử dụng quy tắc hình bình hành khi có hình bình hành
6.2. Tính tổng nhiều vecto
Công thức tổng quát:
\[ \vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} + … = n\vec{MG} \]
Trong đó G là trọng tâm của hệ điểm A, B, C, … và n là số điểm.
6.3. Biểu diễn vecto theo hai vecto không cùng phương
Cho hai vecto \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) không cùng phương. Mọi vecto \(\vec{c}\) đều biểu diễn được dưới dạng:
\[ \vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b} \]
Với m, n là các số thực duy nhất.
6.4. Bảng công thức thường dùng
| Công thức | Điều kiện/Ghi chú |
|---|---|
| \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) | Quy tắc 3 điểm |
| \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) | Quy tắc hình bình hành (ABCD là hình bình hành) |
| \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} = \vec{AC’}\) | Quy tắc hình hộp |
| \(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}\) | Quy tắc trừ vecto |
| \(\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}\) | I là trung điểm AB |
| \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\) | G là trọng tâm tam giác ABC |
7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết
Bài tập 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm
Đề bài: Cho tam giác ABC. Chứng minh: \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc 3 điểm:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \]
Do đó:
\[ \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{AA} = \vec{0} \]
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài tập 2: Áp dụng quy tắc hình bình hành
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: \(\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{BC}\)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc hình bình hành và quy tắc 3 điểm:
\[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} \]
\[ \vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BC} – \vec{AB} \]
(Vì \(\vec{CD} = -\vec{AB}\) trong hình bình hành)
Cộng hai vế:
\[ \vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BC} – \vec{AB}) = 2\vec{BC} \]
Vậy \(\vec{AC} + \vec{BD} = 2\vec{BC}\) (đpcm)
Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức vecto
Đề bài: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh: \(\vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{MN}\)
Lời giải:
Áp dụng quy tắc ba điểm:
\[ \vec{AB} = \vec{AM} + \vec{MN} + \vec{NB} \]
\[ \vec{CD} = \vec{CM} + \vec{MN} + \vec{ND} \]
Cộng hai vế:
\[ \vec{AB} + \vec{CD} = (\vec{AM} + \vec{CM}) + 2\vec{MN} + (\vec{NB} + \vec{ND}) \]
Vì M là trung điểm AC nên \(\vec{AM} + \vec{CM} = \vec{0}\)
Vì N là trung điểm BD nên \(\vec{NB} + \vec{ND} = \vec{0}\)
Do đó:
\[ \vec{AB} + \vec{CD} = \vec{0} + 2\vec{MN} + \vec{0} = 2\vec{MN} \]
Vậy \(\vec{AB} + \vec{CD} = 2\vec{MN}\) (đpcm)
Bài tập 4: Quy tắc hình hộp
Đề bài: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh: \(\vec{AB} + \vec{B’C’} + \vec{DD’} = \vec{AC’}\)
Lời giải:
Trong hình hộp, ta có:
- \(\vec{B’C’} = \vec{BC} = \vec{AD}\) (các cạnh song song và bằng nhau)
- \(\vec{DD’} = \vec{AA’}\) (các cạnh bên song song và bằng nhau)
Do đó:
\[ \vec{AB} + \vec{B’C’} + \vec{DD’} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} \]
Áp dụng quy tắc hình hộp:
\[ \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} = \vec{AC’} \]
Vậy \(\vec{AB} + \vec{B’C’} + \vec{DD’} = \vec{AC’}\) (đpcm)
Bài tập 5: Tìm tập hợp điểm
Đề bài: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Tìm tập hợp điểm M sao cho: \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{AB}\)
Lời giải:
Ta có công thức: \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}\)
Do đó điều kiện trở thành:
\[ 3\vec{MG} = \vec{AB} \]
\[ \vec{MG} = \frac{1}{3}\vec{AB} \]
Vậy M là điểm duy nhất sao cho \(\vec{MG} = \frac{1}{3}\vec{AB}\)
Hay M là điểm sao cho \(\vec{GM} = -\frac{1}{3}\vec{AB} = \frac{1}{3}\vec{BA}\)
Tập hợp điểm M là một điểm duy nhất.
Bài tập 6: Biểu diễn vecto
Đề bài: Cho hình bình hành ABCD với tâm O. Biểu diễn \(\vec{OA}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AD}\).
Lời giải:
O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC.
Ta có:
\[ \vec{OA} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}\vec{AC} \]
Áp dụng quy tắc hình bình hành:
\[ \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} \]
Do đó:
\[ \vec{OA} = -\frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AD}) = -\frac{1}{2}\vec{AB} – \frac{1}{2}\vec{AD} \]
Vậy \(\vec{OA} = -\frac{1}{2}\vec{AB} – \frac{1}{2}\vec{AD}\)
Bài tập 7: Bài tập tự luyện
Giải các bài tập sau:
- Cho tam giác ABC với M là trung điểm BC. Chứng minh: \(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})\)
- Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = 2\vec{AC}\)
- Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính \(\vec{AC’} – \vec{BD’}\)
- Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Tìm điểm M sao cho: \(\vec{MA} + 2\vec{MB} + 3\vec{MC} = \vec{0}\)
- Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm sao cho \(\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AC}\). Biểu diễn \(\vec{BE}\) theo \(\vec{AB}\) và \(\vec{AD}\).
Đáp số:
- Sử dụng quy tắc trung điểm
- \(\vec{AB} + \vec{AC} + \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AC} = \vec{AC} + \vec{AC} = 2\vec{AC}\)
- \(\vec{AC’} – \vec{BD’} = 2\vec{AB}\)
- M nằm trên đoạn thẳng sao cho \(\vec{GM} = \frac{1}{6}(\vec{GA} + 2\vec{GB} + 3\vec{GC})\)
- \(\vec{BE} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AD}\)
8. Kết luận
Quy tắc hình bình hành và quy tắc 3 điểm là hai quy tắc nền tảng trong phép cộng vecto. Qua bài viết này, bạn đã nắm được:
- Quy tắc 3 điểm vectơ: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\) – áp dụng khi hai vecto nối tiếp
- Quy tắc hình bình hành: \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) – áp dụng khi hai vecto chung gốc
- Quy tắc hình hộp: \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA’} = \vec{AC’}\) – mở rộng trong không gian
- Cách phân biệt và vận dụng vectơ hình bình hành, quy tắc ba điểm trong giải toán
Hãy luyện tập thường xuyên với quy tắc 3 điểm và quy tắc hình bình hành để thành thạo các bài toán vecto. Chúc bạn học tốt!
Có thể bạn quan tâm
