Tích phân suy rộng: Công thức, cách tính loại 1 và loại 2
Tích phân suy rộng là phần mở rộng quan trọng của tích phân xác định, cho phép tính tích phân trên miền vô hạn hoặc với hàm số không bị chặn. Bài viết này tổng hợp đầy đủ lý thuyết, công thức tích phân suy rộng, cách tính tích phân suy rộng loại 1 và loại 2, kèm theo bài tập tích phân suy rộng có lời giải chi tiết.
1. Tích phân suy rộng là gì?
Trước khi tìm hiểu cách tính tích phân suy rộng, chúng ta cần nắm rõ định nghĩa và phân loại của loại tích phân này.
1.1. Định nghĩa
Tích phân suy rộng (hay còn gọi là tích phân mở rộng) là tích phân mà trong đó:
- Cận lấy tích phân là vô hạn (±∞), hoặc
- Hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn (tiến tới vô cùng) tại một hoặc nhiều điểm trong đoạn lấy tích phân
1.2. Phân loại tích phân suy rộng
| Loại | Đặc điểm | Ví dụ |
|---|---|---|
| Loại 1 | Cận vô hạn (miền không bị chặn) | \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \) |
| Loại 2 | Hàm không bị chặn (có điểm kỳ dị) | \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \) |
1.3. Khái niệm hội tụ và phân kỳ
- Hội tụ: Tích phân suy rộng có giá trị hữu hạn
- Phân kỳ: Tích phân suy rộng không tồn tại hoặc bằng vô cùng
2. Tích phân suy rộng loại 1 (Cận vô hạn)
Tích phân suy rộng loại 1 là tích phân có ít nhất một cận là vô hạn. Đây là dạng phổ biến nhất khi tính tích phân suy rộng.
2.1. Định nghĩa và công thức
Trường hợp 1: Cận trên vô hạn
| Công thức |
|---|
| \( \int_{a}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx \) |
Trường hợp 2: Cận dưới vô hạn
| Công thức |
|---|
| \( \int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{b} f(x) dx \) |
Trường hợp 3: Cả hai cận vô hạn
| Công thức |
|---|
| \( \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \int_{-\infty}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{+\infty} f(x) dx \) |
Lưu ý: Tích phân hội tụ khi và chỉ khi cả hai tích phân vế phải đều hội tụ.
2.2. Công thức tích phân suy rộng chuẩn loại 1
Dưới đây là các công thức tích phân suy rộng quan trọng cần nhớ:
| Tích phân | Điều kiện | Kết quả |
|---|---|---|
| \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) | p > 1 | Hội tụ, bằng \( \frac{1}{p-1} \) |
| \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) | p ≤ 1 | Phân kỳ |
| \( \int_{0}^{+\infty} e^{-ax} dx \) | a > 0 | Hội tụ, bằng \( \frac{1}{a} \) |
| \( \int_{0}^{+\infty} x^n e^{-x} dx \) | n ∈ ℕ | Hội tụ, bằng n! |
2.3. Tiêu chuẩn so sánh (Loại 1)
Để xét tính hội tụ mà không cần tính tích phân cụ thể, ta dùng tiêu chuẩn so sánh:
Tiêu chuẩn so sánh 1:
Cho \( 0 \leq f(x) \leq g(x) \) với mọi x ≥ a:
- Nếu \( \int_{a}^{+\infty} g(x) dx \) hội tụ thì \( \int_{a}^{+\infty} f(x) dx \) hội tụ
- Nếu \( \int_{a}^{+\infty} f(x) dx \) phân kỳ thì \( \int_{a}^{+\infty} g(x) dx \) phân kỳ
Tiêu chuẩn so sánh 2 (Giới hạn):
Nếu \( \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L \) với 0 < L < +∞, thì hai tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Tiêu chuẩn so sánh với \( \frac{1}{x^p} \):
- Nếu \( \lim_{x \to +\infty} x^p \cdot f(x) = L \neq 0 \) với p > 1 → Hội tụ
- Nếu \( \lim_{x \to +\infty} x^p \cdot f(x) = L \neq 0 \) với p ≤ 1 → Phân kỳ
3. Tích phân suy rộng loại 2 (Hàm không bị chặn)
Tích phân suy rộng loại 2 xảy ra khi hàm số có điểm kỳ dị (không bị chặn) trong đoạn lấy tích phân.
3.1. Định nghĩa và công thức
Trường hợp 1: Điểm kỳ dị tại cận dưới a
Khi \( \lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \):
| Công thức |
|---|
| \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x) dx \) |
Trường hợp 2: Điểm kỳ dị tại cận trên b
Khi \( \lim_{x \to b^-} f(x) = \pm\infty \):
| Công thức |
|---|
| \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a}^{b-\varepsilon} f(x) dx \) |
Trường hợp 3: Điểm kỳ dị tại c ∈ (a, b)
| Công thức |
|---|
| \( \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx \) |
3.2. Công thức tích phân suy rộng chuẩn loại 2
| Tích phân | Điều kiện | Kết quả |
|---|---|---|
| \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \) | p < 1 | Hội tụ, bằng \( \frac{1}{1-p} \) |
| \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \) | p ≥ 1 | Phân kỳ |
| \( \int_{0}^{a} \frac{1}{(a-x)^p} dx \) | p < 1 | Hội tụ |
| \( \int_{0}^{1} \ln x \, dx \) | — | Hội tụ, bằng -1 |
3.3. Tiêu chuẩn so sánh (Loại 2)
Giả sử điểm kỳ dị tại x = a:
Tiêu chuẩn so sánh với \( \frac{1}{(x-a)^p} \):
- Nếu \( \lim_{x \to a^+} (x-a)^p \cdot f(x) = L \neq 0 \) với p < 1 → Hội tụ
- Nếu \( \lim_{x \to a^+} (x-a)^p \cdot f(x) = L \neq 0 \) với p ≥ 1 → Phân kỳ
4. Tổng hợp công thức tích phân suy rộng
Dưới đây là bảng tóm tắt các công thức tích phân suy rộng quan trọng nhất:
| Loại | Tích phân chuẩn | Hội tụ khi | Phân kỳ khi |
|---|---|---|---|
| Loại 1 | \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx \) | p > 1 | p ≤ 1 |
| \( \int_{a}^{+\infty} e^{-\lambda x} dx \) | λ > 0 | λ ≤ 0 | |
| Loại 2 | \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p} dx \) | p < 1 | p ≥ 1 |
| \( \int_{a}^{b} \frac{1}{(x-a)^p} dx \) | p < 1 | p ≥ 1 |
Quy tắc nhớ nhanh:
- Loại 1 (cận +∞): Hội tụ khi p > 1
- Loại 2 (điểm kỳ dị): Hội tụ khi p < 1
5. Cách tính tích phân suy rộng – Hướng dẫn chi tiết
Dưới đây là quy trình cách tính tích phân suy rộng một cách hệ thống.
5.1. Các bước giải tích phân suy rộng
- Bước 1: Xác định loại tích phân suy rộng (Loại 1 hay Loại 2)
- Bước 2: Xác định điểm kỳ dị hoặc cận vô hạn
- Bước 3: Viết tích phân dưới dạng giới hạn
- Bước 4: Giải tích phân xác định thông thường
- Bước 5: Tính giới hạn để xác định hội tụ hay phân kỳ
5.2. Các phương pháp tính
- Phương pháp trực tiếp: Tìm nguyên hàm rồi tính giới hạn
- Đổi biến số: Đưa về tích phân đơn giản hơn
- Tích phân từng phần: Áp dụng công thức ∫udv = uv – ∫vdu
- So sánh: Dùng tiêu chuẩn so sánh để xét hội tụ
6. Bài tập tích phân suy rộng có lời giải
Dưới đây là các bài tập tích phân suy rộng có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao.
Ví dụ 1: Tích phân suy rộng loại 1 cơ bản
Đề bài: Tính tích phân suy rộng \( I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \)
Lời giải:
Đây là tích phân suy rộng loại 1 với cận trên vô hạn.
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{b} \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 0 + 1 = 1 \]
Kết luận: Tích phân hội tụ và I = 1
Ví dụ 2: Tích phân suy rộng loại 1 phân kỳ
Đề bài: Xét sự hội tụ của \( I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x} dx \)
Lời giải:
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln|x| \right]_{1}^{b} \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} (\ln b – \ln 1) = \lim_{b \to +\infty} \ln b = +\infty \]
Kết luận: Tích phân phân kỳ
Ví dụ 3: Tích phân suy rộng loại 2
Đề bài: Tính tích phân \( I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \)
Lời giải:
Hàm số không xác định tại x = 0 (điểm kỳ dị tại cận dưới).
\[ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-\frac{1}{2}} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ 2\sqrt{x} \right]_{\varepsilon}^{1} \]
\[ I = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( 2\sqrt{1} – 2\sqrt{\varepsilon} \right) = 2 – 0 = 2 \]
Kết luận: Tích phân hội tụ và I = 2
Ví dụ 4: Tích phân suy rộng với hàm mũ
Đề bài: Tính tích phân suy rộng \( I = \int_{0}^{+\infty} e^{-2x} dx \)
Lời giải:
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} e^{-2x} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{b} \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left( -\frac{1}{2}e^{-2b} + \frac{1}{2}e^{0} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
Kết luận: I = 1/2
Ví dụ 5: Tích phân từng phần
Đề bài: Giải tích phân \( I = \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx \)
Lời giải:
Đặt u = x, dv = e⁻ˣdx → du = dx, v = -e⁻ˣ
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left( \left[ -xe^{-x} \right]_{0}^{b} + \int_{0}^{b} e^{-x} dx \right) \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left( -be^{-b} + 0 + \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{b} \right) \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left( -be^{-b} – e^{-b} + 1 \right) \]
Vì \( \lim_{b \to +\infty} be^{-b} = 0 \) (quy tắc L’Hôpital) và \( \lim_{b \to +\infty} e^{-b} = 0 \)
\[ I = 0 – 0 + 1 = 1 \]
Kết luận: I = 1
Ví dụ 6: Tích phân suy rộng loại 2 với điểm kỳ dị trong
Đề bài: Tính tích phân \( I = \int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2} dx \)
Lời giải:
Hàm số có điểm kỳ dị tại x = 0 ∈ (-1, 1).
\[ I = \int_{-1}^{0} \frac{1}{x^2} dx + \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx \]
Xét tích phân thứ hai:
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-2} dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{\varepsilon}^{1} \]
\[ = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -1 + \frac{1}{\varepsilon} \right) = +\infty \]
Kết luận: Tích phân phân kỳ
Ví dụ 7: Xét hội tụ bằng tiêu chuẩn so sánh
Đề bài: Xét sự hội tụ của \( I = \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx \)
Lời giải:
Ta có: \( \frac{1}{x^2 + 1} < \frac{1}{x^2} \) với mọi x ≥ 1
Mà \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2} dx \) hội tụ (vì p = 2 > 1)
Theo tiêu chuẩn so sánh, \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + 1} dx \) hội tụ.
Tính giá trị:
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \left[ \arctan x \right]_{1}^{b} = \frac{\pi}{2} – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} \]
Kết luận: Tích phân hội tụ và I = π/4
Ví dụ 8: Đổi biến số
Đề bài: Tính tích phân suy rộng \( I = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1 + x^2} dx \)
Lời giải:
\[ I = \lim_{b \to +\infty} \int_{0}^{b} \frac{1}{1 + x^2} dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \arctan x \right]_{0}^{b} \]
\[ I = \lim_{b \to +\infty} (\arctan b – \arctan 0) = \frac{\pi}{2} – 0 = \frac{\pi}{2} \]
Kết luận: I = π/2
7. Bài tập tự luyện
Hãy vận dụng các cách tính tích phân suy rộng đã học để giải các bài tập sau:
Bài 1: Tính \( \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x^3} dx \)
Bài 2: Tính \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx \)
Bài 3: Xét sự hội tụ của \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} dx \)
Bài 4: Tính \( \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x} dx \)
Bài 5: Tính \( \int_{0}^{1} \ln x \, dx \)
Bài 6: Xét sự hội tụ của \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x \sqrt{x}} dx \)
Bài 7: Tính \( \int_{-\infty}^{0} e^{x} dx \)
Bài 8: Tính \( \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} dx \)
Đáp án
| Bài | Đáp án |
|---|---|
| Bài 1 | I = 1/8 (hội tụ) |
| Bài 2 | I = 2 (hội tụ) |
| Bài 3 | Phân kỳ (p = 1/2 ≤ 1) |
| Bài 4 | I = 2 (hội tụ) |
| Bài 5 | I = -1 (hội tụ) |
| Bài 6 | Phân kỳ (p = 3/2 ≥ 1) |
| Bài 7 | I = 1 (hội tụ) |
| Bài 8 | I = 1 (hội tụ) |
8. Kết luận
Qua bài viết, chúng ta đã tìm hiểu đầy đủ về tích phân suy rộng bao gồm định nghĩa, phân loại và các phương pháp tính. Dưới đây là tóm tắt các công thức tích phân suy rộng quan trọng:
| Nội dung | Công thức/Điều kiện |
|---|---|
| Loại 1 (cận +∞) | \( \int_{a}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{b \to +\infty} \int_{a}^{b} f(x)dx \) |
| Loại 2 (điểm kỳ dị) | \( \int_{a}^{b} f(x)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)dx \) |
| Chuẩn loại 1: \( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx \) | Hội tụ ⇔ p > 1 |
| Chuẩn loại 2: \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p}dx \) | Hội tụ ⇔ p < 1 |
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên với các bài tập tích phân suy rộng có lời giải sẽ giúp bạn thành thạo dạng toán quan trọng này trong chương trình Giải tích.
Có thể bạn quan tâm
- Mặt cầu: Công thức tính diện tích mặt cầu và thể tích đầy đủ
- Công thức nhân 3: Sin3a, Cos3a và công thức nhân 4 chi tiết
- Cách tính trung vị: Công thức và bài tập có lời giải chi tiết
- Bảng nguyên hàm cơ bản và mở rộng - Công thức đầy đủ lớp 12
- Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: Công thức và cách tính chi tiết
