Tập giá trị của hàm số lượng giác: Sin, Cos, Tan, Cot chi tiết

Tập giá trị của hàm số lượng giác là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp học sinh hiểu rõ miền biến thiên của các hàm sin, cos, tan, cot. Bài viết này giải thích chi tiết tập giá trị là gì, tập xác định của hàm số lượng giác, tập giá trị của tanx cùng cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác với các ví dụ minh họa.

1. Tập giá trị là gì?

Trước khi tìm hiểu tập giá trị của hàm số lượng giác, cần nắm rõ khái niệm cơ bản.

1.1. Định nghĩa tập giá trị

Tập giá trị là gì? Tập giá trị của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị y mà hàm số có thể nhận được khi x chạy trên tập xác định.

Ký hiệu: Tập giá trị thường được ký hiệu là T hoặc TGT.

\[ T = \{ y \in \mathbb{R} \mid y = f(x), x \in D \} \]

1.2. Phân biệt tập xác định và tập giá trị

Khái niệm	Định nghĩa	Ký hiệu
Tập xác định	Tập hợp các giá trị x để f(x) có nghĩa	D hoặc TXĐ
Tập giá trị	Tập hợp các giá trị y = f(x) có thể nhận	T hoặc TGT

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ: Cho hàm số y = x² với x ∈ ℝ

• Tập xác định: D = ℝ
• Tập giá trị: T = [0; +∞) (vì x² ≥ 0 với mọi x)

2. Tập xác định của hàm số lượng giác

Tập xác định của hàm số lượng giác là nền tảng để tìm tập giá trị. Dưới đây là cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác.

2.1. Tập xác định của hàm y = sin x

\[ D = \mathbb{R} \]

Hàm sin x xác định với mọi x ∈ ℝ.

2.2. Tập xác định của hàm y = cos x

\[ D = \mathbb{R} \]

Hàm cos x xác định với mọi x ∈ ℝ.

2.3. Tập xác định của hàm y = tan x

\[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \right\} \]

Hàm tan x không xác định khi cos x = 0, tức là khi \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).

2.4. Tập xác định của hàm y = cot x

\[ D = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \]

Hàm cot x không xác định khi sin x = 0, tức là khi x = kπ.

2.5. Bảng tổng hợp tập xác định

Hàm số	Tập xác định D	Điều kiện
y = sin x	ℝ	Xác định ∀x
y = cos x	ℝ	Xác định ∀x
y = tan x	ℝ \ {π/2 + kπ}	cos x ≠ 0
y = cot x	ℝ \ {kπ}	sin x ≠ 0

2.6. Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác phức hợp

Cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác dạng phức hợp:

1. Xác định các điều kiện để hàm có nghĩa
2. Giải các phương trình/bất phương trình điều kiện
3. Lấy giao của các tập nghiệm

Ví dụ: Tìm TXĐ của \(y = \sqrt{\sin x}\)

Điều kiện: sin x ≥ 0

→ D = \(\bigcup_{k \in \mathbb{Z}} [k \cdot 2\pi; \pi + k \cdot 2\pi]\)

3. Tập giá trị của hàm số lượng giác cơ bản

Dưới đây là tập giá trị của hàm số lượng giác cơ bản.

3.1. Tập giá trị của hàm y = sin x

Tập giá trị của hàm số y = sin x:

\[ T = [-1; 1] \]

Giải thích:

• Giá trị lớn nhất: max(sin x) = 1 khi \(x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\)
• Giá trị nhỏ nhất: min(sin x) = -1 khi \(x = -\frac{\pi}{2} + k2\pi\)
• sin x nhận mọi giá trị trong đoạn [-1; 1]

3.2. Tập giá trị của hàm y = cos x

Tập giá trị của hàm số y = cos x:

\[ T = [-1; 1] \]

Giải thích:

• Giá trị lớn nhất: max(cos x) = 1 khi x = k2π
• Giá trị nhỏ nhất: min(cos x) = -1 khi x = π + k2π

3.3. Tập giá trị của tan x

Tập giá trị của tanx:

\[ T = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty) \]

Giải thích:

• tan x có thể nhận mọi giá trị thực
• \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan x = +\infty\)
• \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+} \tan x = -\infty\)

3.4. Tập giá trị của hàm y = cot x

Tập giá trị:

\[ T = \mathbb{R} = (-\infty; +\infty) \]

Giải thích: Tương tự tan x, cot x có thể nhận mọi giá trị thực.

3.5. Bảng tổng hợp tập giá trị hàm lượng giác cơ bản

Hàm số	Tập giá trị T	GTLN	GTNN
y = sin x	[-1; 1]	1	-1
y = cos x	[-1; 1]	1	-1
y = tan x	ℝ	Không có	Không có
y = cot x	ℝ	Không có	Không có

4. Tập giá trị của hàm lượng giác mở rộng

Dưới đây là tập giá trị của hàm số lượng giác dạng mở rộng.

4.1. Tập giá trị của y = a·sin x + b (hoặc a·cos x + b)

Vì -1 ≤ sin x ≤ 1, nên:

\[ -|a| + b \leq a\sin x + b \leq |a| + b \]

Tập giá trị:

\[ T = [b – |a|; b + |a|] \]

Ví dụ: y = 3sin x + 2

T = [2 – 3; 2 + 3] = [-1; 5]

4.2. Tập giá trị của y = a·sin²x + b (hoặc a·cos²x + b)

Vì 0 ≤ sin²x ≤ 1:

• Nếu a > 0: T = [b; a + b]
• Nếu a < 0: T = [a + b; b]

Ví dụ: y = 2sin²x + 1

T = [1; 2 + 1] = [1; 3]

4.3. Tập giá trị của y = a·sin x + b·cos x

Áp dụng bất đẳng thức:

\[ -\sqrt{a^2 + b^2} \leq a\sin x + b\cos x \leq \sqrt{a^2 + b^2} \]

Tập giá trị:

\[ T = \left[-\sqrt{a^2 + b^2}; \sqrt{a^2 + b^2}\right] \]

Ví dụ: y = 3sin x + 4cos x

\(\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)

T = [-5; 5]

4.4. Bảng công thức tập giá trị mở rộng

Dạng hàm số	Tập giá trị
y = a·sin x + b	[b – |a|; b + |a|]
y = a·cos x + b	[b – |a|; b + |a|]
y = a·sin²x + b (a > 0)	[b; a + b]
y = a·sin x + b·cos x	\([-\sqrt{a^2+b^2}; \sqrt{a^2+b^2}]\)
y = a·sin x + b·cos x + c	\([c – \sqrt{a^2+b^2}; c + \sqrt{a^2+b^2}]\)

5. Cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

Dưới đây là cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác theo từng phương pháp.

5.1. Phương pháp 1: Dùng tính bị chặn

Áp dụng cho: Hàm chứa sin x, cos x

Các bước:

1. Sử dụng -1 ≤ sin x ≤ 1 và -1 ≤ cos x ≤ 1
2. Biến đổi để tìm min và max của y
3. Kiểm tra y đạt được các giá trị đó

Ví dụ: Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác y = 2cos x – 3

Ta có: -1 ≤ cos x ≤ 1

⇒ -2 ≤ 2cos x ≤ 2

⇒ -5 ≤ 2cos x – 3 ≤ -1

Vậy T = [-5; -1]

5.2. Phương pháp 2: Đặt t = sin x hoặc t = cos x

Áp dụng cho: Hàm phức tạp theo sin hoặc cos

Các bước:

1. Đặt t = sin x (hoặc cos x), điều kiện: -1 ≤ t ≤ 1
2. Biến đổi y thành hàm theo t
3. Tìm tập giá trị của hàm y(t) trên [-1; 1]

Ví dụ: Tìm TGT của y = sin²x + sin x + 1

Đặt t = sin x, t ∈ [-1; 1]

y = t² + t + 1 = \(\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4}\)

Xét y(t) trên [-1; 1]:

• y(-1) = 1 – 1 + 1 = 1
• y(1) = 1 + 1 + 1 = 3
• y(-1/2) = 1/4 – 1/2 + 1 = 3/4 (min)

Vậy T = [3/4; 3]

5.3. Phương pháp 3: Biến đổi về dạng chuẩn

Áp dụng cho: y = a·sin x + b·cos x

Các bước:

1. Đặt \(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)
2. Biến đổi: y = R·sin(x + φ) hoặc y = R·cos(x + ψ)
3. Tập giá trị: T = [-R; R]

5.4. Phương pháp 4: Dùng điều kiện có nghiệm

Áp dụng cho: Các dạng phức tạp

Các bước:

1. Từ y = f(x), biến đổi thành phương trình theo biến lượng giác
2. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
3. Tập giá trị là tập các y thỏa mãn điều kiện

5.5. Phương pháp 5: Dùng đạo hàm (Toán 12)

Áp dụng cho: Hàm có đạo hàm

Các bước:

1. Tính y’ và giải y’ = 0
2. Lập bảng biến thiên
3. Xác định max, min từ bảng biến thiên

6. Tập giá trị các dạng đặc biệt

6.1. Tập giá trị của y = |sin x| và y = |cos x|

Vì |sin x| ≥ 0 và |sin x| ≤ 1:

\[ T = [0; 1] \]

6.2. Tập giá trị của y = sin x · cos x

Ta có: \(\sin x \cdot \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x\)

Vì -1 ≤ sin 2x ≤ 1:

\[ T = \left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right] \]

6.3. Tập giá trị của y = sin x + cos x

\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\)

\[ T = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \]

6.4. Tập giá trị của y = sin x – cos x

\(\sin x – \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right)\)

\[ T = [-\sqrt{2}; \sqrt{2}] \]

6.5. Tập giá trị của y = tan²x và y = cot²x

Vì tan²x ≥ 0 và tan²x có thể đạt mọi giá trị không âm:

\[ T = [0; +\infty) \]

6.6. Bảng tổng hợp các dạng đặc biệt

Hàm số	Tập giá trị
y = |sin x|, y = |cos x|	[0; 1]
y = sin x · cos x	[-1/2; 1/2]
y = sin x + cos x	\([-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\)
y = sin x – cos x	\([-\sqrt{2}; \sqrt{2}]\)
y = sin²x + cos²x	{1} (hằng số)
y = tan²x, y = cot²x	[0; +∞)
y = |tan x|, y = |cot x|	[0; +∞)

7. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tập giá trị cơ bản

Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác y = 3sin x – 1

Lời giải:

Ta có: -1 ≤ sin x ≤ 1

⇒ -3 ≤ 3sin x ≤ 3

⇒ -3 – 1 ≤ 3sin x – 1 ≤ 3 – 1

⇒ -4 ≤ y ≤ 2

Vậy T = [-4; 2]

Bài tập 2: Tập giá trị dạng a·sin x + b·cos x

Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số y = 4sin x – 3cos x + 2

Lời giải:

Ta có: \(R = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5\)

Với y = a·sin x + b·cos x + c, tập giá trị là:

T = [c – R; c + R] = [2 – 5; 2 + 5] = [-3; 7]

Vậy T = [-3; 7]

Bài tập 3: Tập giá trị dạng bậc hai

Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác y = cos²x – 4cos x + 3

Lời giải:

Đặt t = cos x, t ∈ [-1; 1]

y = t² – 4t + 3 = (t – 2)² – 1

Xét hàm f(t) = (t – 2)² – 1 trên [-1; 1]:

• Đỉnh parabol tại t = 2 nằm ngoài [-1; 1]
• f(t) đồng biến trên [-1; 1] (vì t = 2 > 1)
• f(-1) = (-3)² – 1 = 8
• f(1) = (-1)² – 1 = 0

Vì f(t) nghịch biến trên [-1; 1] (t < 2), nên:

• min y = f(1) = 0
• max y = f(-1) = 8

Vậy T = [0; 8]

Bài tập 4: Tập giá trị của tan x

Đề bài: Tìm tập giá trị của tanx khi x ∈ (0; π/3)

Lời giải:

Trên khoảng (0; π/3), hàm y = tan x đồng biến.

• \(\lim_{x \to 0^+} \tan x = 0\)
• \(\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}\)

Vì x ∈ (0; π/3) (khoảng mở), nên y ∈ (0; √3)

Vậy T = (0; √3)

Bài tập 5: Dùng điều kiện có nghiệm

Đề bài: Tìm tập giá trị của hàm số \(y = \frac{2\sin x + 1}{\sin x + 2}\)

Lời giải:

Từ \(y = \frac{2\sin x + 1}{\sin x + 2}\), ta có:

y(sin x + 2) = 2sin x + 1

y·sin x + 2y = 2sin x + 1

sin x(y – 2) = 1 – 2y

Trường hợp 1: y = 2

⇒ 0 = 1 – 4 = -3 (vô lý)

→ y ≠ 2

Trường hợp 2: y ≠ 2

\(\sin x = \frac{1 – 2y}{y – 2} = \frac{2y – 1}{2 – y}\)

Điều kiện: -1 ≤ sin x ≤ 1

\(-1 \leq \frac{2y – 1}{2 – y} \leq 1\)

Giải BPT bên trái:

\(\frac{2y – 1}{2 – y} \geq -1\)

\(\frac{2y – 1 + 2 – y}{2 – y} \geq 0\)

\(\frac{y + 1}{2 – y} \geq 0\)

⇒ -1 ≤ y < 2

Giải BPT bên phải:

\(\frac{2y – 1}{2 – y} \leq 1\)

\(\frac{2y – 1 – 2 + y}{2 – y} \leq 0\)

\(\frac{3y – 3}{2 – y} \leq 0\)

⇒ y ≤ 1 hoặc y > 2

Kết hợp: -1 ≤ y ≤ 1

Vậy T = [-1; 1]

Bài tập 6: Tập xác định và tập giá trị

Đề bài: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác và tập giá trị của y = tan 2x

Lời giải:

Tập xác định:

y = tan 2x xác định khi cos 2x ≠ 0

⇔ 2x ≠ π/2 + kπ

⇔ x ≠ π/4 + kπ/2

\[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \]

Tập giá trị:

Hàm tan 2x có thể nhận mọi giá trị thực.

T = ℝ

Bài tập 7: Bài tập tự luyện

Tìm tập giá trị các hàm số sau:

1. y = 2 – 5sin x
2. y = sin x + cos x + 1
3. y = 2sin²x – 3sin x + 2
4. y = cos 2x + sin x
5. \(y = \frac{3\cos x – 1}{\cos x + 2}\)
6. y = sin⁴x + cos⁴x

Đáp số:

1. T = [-3; 7]
2. T = [1 – √2; 1 + √2]
3. T = [1/8; 7] (đặt t = sin x, xét hàm bậc 2)
4. T = [-9/8; 3] (viết cos 2x = 1 – 2sin²x, đặt t = sin x)
5. T = [-1; 5/3]
6. T = [1/2; 1] (dùng sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²x·cos²x)

8. Kết luận

Tập giá trị của hàm số lượng giác là kiến thức quan trọng cần nắm vững. Qua bài viết này, bạn đã học được:

• Tập giá trị là gì: Tập hợp tất cả các giá trị y mà hàm số có thể nhận
• Tập xác định của hàm số lượng giác: sin, cos xác định trên ℝ; tan, cot có điểm không xác định
• Tập giá trị của hàm số cơ bản: sin x, cos x ∈ [-1; 1]; tập giá trị của tanx = ℝ
• Cách tìm tập giá trị của hàm số lượng giác: dùng tính bị chặn, đặt ẩn phụ, điều kiện có nghiệm
• Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác mở rộng với các công thức quan trọng

Hãy luyện tập thường xuyên cách tìm tập xác định của hàm số lượng giác và tập giá trị để thành thạo dạng bài này. Chúc bạn học tốt!