Phương trình lượng giác đặc biệt: sin x = 0, sin x = 1 và công thức

Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong chương trình Toán 11. Bài viết này tổng hợp đầy đủ các phương trình lượng giác đặc biệt như sin x = 0, sin x = 1, các trường hợp đặc biệt của sin cos, cùng với bảng giá trị lượng giác đặc biệt. Mỗi dạng phương trình đều có công thức nghiệm và ví dụ minh họa chi tiết.

1. Bảng giá trị lượng giác đặc biệt

Trước khi giải phương trình lượng giác, cần nắm vững bảng giá trị lượng giác đặc biệt sau:

1.1. Bảng giá trị sin, cos, tan, cot

Ghi chú: KXĐ = Không xác định

1.2. Mẹo ghi nhớ giá trị lượng giác đặc biệt

Để nhớ nhanh giá trị lượng giác đặc biệt, sử dụng quy tắc “bàn tay trái”:

• Giá trị sin của các góc \( 0°, 30°, 45°, 60°, 90° \) lần lượt là: \( \frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2} \)
• Giá trị cos ngược lại với sin: \( \cos\alpha = \sin(90° – \alpha) \)

2. Phương trình lượng giác cơ bản

Có 4 dạng phương trình lượng giác cơ bản cần nắm vững:

2.1. Phương trình sin x = a

Điều kiện có nghiệm: \( |a| \leq 1 \) hay \( -1 \leq a \leq 1 \)

Công thức nghiệm: Nếu \( \sin\alpha = a \) thì:

\[ \sin x = a \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Hoặc viết gọn: \( x = (-1)^k \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

2.2. Phương trình cos x = a

Điều kiện có nghiệm: \( |a| \leq 1 \) hay \( -1 \leq a \leq 1 \)

Công thức nghiệm: Nếu \( \cos\alpha = a \) thì:

\[ \cos x = a \Leftrightarrow x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

2.3. Phương trình tan x = a

Điều kiện: \( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Công thức nghiệm: Nếu \( \tan\alpha = a \) thì:

\[ \tan x = a \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

2.4. Phương trình cot x = a

Điều kiện: \( x \neq k\pi \)

Công thức nghiệm: Nếu \( \cot\alpha = a \) thì:

\[ \cot x = a \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

2.5. Bảng tổng hợp công thức nghiệm

3. Phương trình lượng giác đặc biệt

Các phương trình lượng giác đặc biệt có nghiệm đơn giản, dễ nhớ. Đây là trường hợp đặc biệt của sin cos thường gặp nhất:

3.1. Các trường hợp đặc biệt của sin

3.2. Các trường hợp đặc biệt của cos

3.3. Các trường hợp đặc biệt của tan và cot

3.4. Bảng tổng hợp phương trình lượng giác đặc biệt

Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả phương trình lượng giác đặc biệt cần ghi nhớ:

Với \( k \in \mathbb{Z} \)

4. Mẹo ghi nhớ phương trình lượng giác đặc biệt

Để nhớ nhanh các trường hợp đặc biệt của sin cos, áp dụng các mẹo sau:

4.1. Dựa vào đường tròn lượng giác

• sin x = 0: Điểm nằm trên trục Ox → \( x = k\pi \)
• sin x = 1: Điểm ở đỉnh trên → \( x = \frac{\pi}{2} + k2\pi \)
• cos x = 0: Điểm nằm trên trục Oy → \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)
• cos x = 1: Điểm ở bên phải → \( x = k2\pi \)

4.2. Quy tắc chu kỳ

• sin và cos có chu kỳ \( 2\pi \) → nghiệm cách nhau \( 2\pi \) (khi = 1 hoặc = -1)
• tan và cot có chu kỳ \( \pi \) → nghiệm cách nhau \( \pi \)
• sin x = 0 và cos x = 0 có nghiệm cách nhau \( \pi \) (vì bằng 0 hai lần trong một chu kỳ)

5. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức giải phương trình lượng giác:

Bài tập 1: Phương trình sin x = 0

Đề bài: Giải phương trình \( \sin 2x = 0 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức sin x = 0:

\[ \sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: \( x = \frac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Bài tập 2: Phương trình sin x = 1

Đề bài: Giải phương trình \( \sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) = 1 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức sinx = 1:

\[ \sin\left(x – \frac{\pi}{4}\right) = 1 \Leftrightarrow x – \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + k2\pi = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: \( x = \frac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Bài tập 3: Phương trình cos x = 0

Đề bài: Giải phương trình \( \cos 3x = 0 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức cos x = 0:

\[ \cos 3x = 0 \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: \( x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Bài tập 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Đề bài: Giải phương trình \( \sin x = \frac{1}{2} \)

Lời giải:

Tra bảng giá trị lượng giác đặc biệt: \( \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \)

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ \sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \\ x = \pi – \frac{\pi}{6} + k2\pi = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: \( x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \) hoặc \( x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Bài tập 5: Phương trình cos x = a

Đề bài: Giải phương trình \( \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Lời giải:

Tra bảng: \( \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Áp dụng công thức nghiệm:

\[ \cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm\frac{\pi}{6} + k2\pi \]
\[ \Leftrightarrow x = \pm\frac{\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) hoặc \( x = -\frac{\pi}{12} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Bài tập 6: Tìm nghiệm trong khoảng

Đề bài: Giải phương trình \( \sin x = 0 \) với \( x \in [0; 2\pi] \)

Lời giải:

Nghiệm tổng quát: \( x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \)

Với \( x \in [0; 2\pi] \):

• \( k = 0 \Rightarrow x = 0 \) ✓
• \( k = 1 \Rightarrow x = \pi \) ✓
• \( k = 2 \Rightarrow x = 2\pi \) ✓

Kết luận: \( x \in \{0; \pi; 2\pi\} \)

Bài tập 7: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Giải phương trình \( 2\sin^2 x – \sin x = 0 \)

Lời giải:

Phân tích: \( \sin x(2\sin x – 1) = 0 \)

\[ \Leftrightarrow \begin{cases} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{1}{2} \end{cases} \]

Trường hợp 1: \( \sin x = 0 \)

\[ x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Trường hợp 2: \( \sin x = \frac{1}{2} \)

\[ x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Kết luận: Phương trình có các họ nghiệm: \( x = k\pi \), \( x = \frac{\pi}{6} + k2\pi \), \( x = \frac{5\pi}{6} + k2\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \)

Bài tập 8: Phương trình với cos x = 1

Đề bài: Giải phương trình \( \cos^2 x – \cos x = 0 \)

Lời giải:

Phân tích: \( \cos x(\cos x – 1) = 0 \)

\[ \Leftrightarrow \begin{cases} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{cases} \]

Trường hợp 1: \( \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)

Trường hợp 2: \( \cos x = 1 \Rightarrow x = k2\pi \)

Kết luận: \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) hoặc \( x = k2\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \)

6. Một số lưu ý quan trọng

Khi giải phương trình lượng giác, cần lưu ý:

7. Kết luận

Phương trình lượng giác là chủ đề quan trọng đòi hỏi sự nắm vững công thức và luyện tập thường xuyên. Để giải tốt các bài toán này, học sinh cần:

• Học thuộc bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các phương trình lượng giác đặc biệt như sin x = 0, sin x = 1
• Nắm vững công thức nghiệm của 4 phương trình cơ bản: sin x = a, cos x = a, tan x = a, cot x = a
• Hiểu rõ các trường hợp đặc biệt của sin cos để giải nhanh
• Luyện tập nhiều dạng bài tập để thành thạo kỹ năng biến đổi và áp dụng công thức

Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững kiến thức về phương trình lượng giác và tự tin giải quyết mọi bài toán!