Đường chéo hình vuông: Cách tính độ dài đường chéo và bài tập

Đường chéo hình vuông là một trong những kiến thức hình học cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán phổ thông. Bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững cách tính đường chéo hình vuông, công thức tính độ dài đường chéo hình vuông, các tính chất của đường chéo trong hình vuông cùng ví dụ minh họa chi tiết và dễ hiểu nhất.

Đường chéo hình vuông là gì?

Trước khi tìm hiểu cách tính đường chéo hình vuông, chúng ta cần hiểu rõ khái niệm cơ bản:

Định nghĩa đường chéo hình vuông

Định nghĩa: Đường chéo hình vuông là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện của hình vuông. Mỗi hình vuông có đúng 2 đường chéo.

Đường chéo của hình vuông ABCD là hai đoạn thẳng AC và BD.

Hình minh họa

    A __________ B
    |  \    /  |
    |    \/    |
    |    /\    |
    |  /    \  |
    D __________ C
    
    Hai đường chéo: AC và BD
    Giao điểm: O (tâm hình vuông)

Nhắc lại về hình vuông

Hình vuông là tứ giác đặc biệt có:

• 4 cạnh bằng nhau
• 4 góc vuông (mỗi góc bằng 90°)
• Là hình chữ nhật có 4 cạnh bằng nhau
• Là hình thoi có 4 góc vuông

Vậy công thức tính độ dài đường chéo hình vuông như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu ngay sau đây.

Công thức tính đường chéo hình vuông

Công thức tính đường chéo hình vuông được suy ra từ định lý Pythagore.

Công thức chính

Công thức:

\[ d = a\sqrt{2} \]

Trong đó:

• \( d \): Độ dài đường chéo hình vuông
• \( a \): Độ dài cạnh hình vuông
• \( \sqrt{2} \approx 1,414 \)

Chứng minh công thức

Xét hình vuông ABCD có cạnh bằng \( a \).

Xét tam giác vuông ABC với góc vuông tại B:

• AB = BC = \( a \) (cạnh hình vuông)
• AC là cạnh huyền (đường chéo)

Áp dụng định lý Pythagore:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \]

\[ AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2} \]

Vậy: \( d = a\sqrt{2} \)

Bảng giá trị đường chéo theo cạnh

Cạnh \( a \)	Đường chéo \( d = a\sqrt{2} \)	Giá trị gần đúng
1	\( \sqrt{2} \)	1,414
2	\( 2\sqrt{2} \)	2,828
3	\( 3\sqrt{2} \)	4,243
4	\( 4\sqrt{2} \)	5,657
5	\( 5\sqrt{2} \)	7,071
10	\( 10\sqrt{2} \)	14,142

Tiếp theo, hãy xem các tính chất của đường chéo trong hình vuông.

Tính chất đường chéo trong hình vuông

Đường chéo trong hình vuông có nhiều tính chất đặc biệt quan trọng.

Các tính chất cơ bản

STT	Tính chất	Giải thích
1	Hai đường chéo bằng nhau	\( AC = BD = a\sqrt{2} \)
2	Hai đường chéo vuông góc với nhau	\( AC \perp BD \)
3	Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường	\( OA = OC = OB = OD = \frac{d}{2} \)
4	Mỗi đường chéo chia hình vuông thành 2 tam giác vuông cân bằng nhau	Tam giác ABC = Tam giác ACD
5	Hai đường chéo chia hình vuông thành 4 tam giác vuông cân bằng nhau	4 tam giác: OAB, OBC, OCD, ODA
6	Đường chéo là đường phân giác của các góc	AC là phân giác góc A và góc C

Tính chất về góc

Đường chéo của hình vuông tạo với cạnh một góc 45°:

• Góc CAB = góc CAD = 45°
• Góc ACD = góc ACB = 45°
• Góc giữa hai đường chéo = 90°

So sánh đường chéo của các tứ giác

Tứ giác	Bằng nhau	Vuông góc	Cắt tại trung điểm
Hình bình hành	Không	Không	Có
Hình chữ nhật	Có	Không	Có
Hình thoi	Không	Có	Có
Hình vuông	Có	Có	Có

Nhận xét: Hình vuông có đường chéo mang đầy đủ tính chất của cả hình chữ nhật và hình thoi.

Hãy cùng xem chi tiết cách tính đường chéo hình vuông theo từng bước.

Cách tính đường chéo hình vuông

Cách tính đường chéo hình vuông phụ thuộc vào dữ kiện đã cho trong bài toán.

Cách 1: Biết cạnh hình vuông

Công thức:

\[ d = a\sqrt{2} \]

Các bước thực hiện:

1. Xác định độ dài cạnh \( a \)
2. Nhân cạnh với \( \sqrt{2} \)
3. Rút gọn kết quả (nếu cần)

Ví dụ: Hình vuông có cạnh 6 cm. Tính đường chéo.

\[ d = 6\sqrt{2} \approx 8,49 \text{ cm} \]

Cách 2: Biết chu vi hình vuông

Công thức:

\[ d = \frac{C}{4} \times \sqrt{2} = \frac{C\sqrt{2}}{4} \]

Các bước thực hiện:

1. Tính cạnh: \( a = \frac{C}{4} \)
2. Tính đường chéo: \( d = a\sqrt{2} \)

Ví dụ: Hình vuông có chu vi 20 cm. Tính đường chéo.

\[ a = \frac{20}{4} = 5 \text{ cm} \]

\[ d = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ cm} \]

Cách 3: Biết diện tích hình vuông

Công thức:

\[ d = \sqrt{2S} \]

Chứng minh:

• Diện tích: \( S = a^2 \) → \( a = \sqrt{S} \)
• Đường chéo: \( d = a\sqrt{2} = \sqrt{S} \times \sqrt{2} = \sqrt{2S} \)

Ví dụ: Hình vuông có diện tích 50 cm². Tính đường chéo.

\[ d = \sqrt{2 \times 50} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm} \]

Cách 4: Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp

Công thức:

\[ d = 2R \]

Trong đó \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông.

Giải thích: Đường chéo hình vuông chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.

Ví dụ: Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có bán kính 5 cm. Tính đường chéo.

\[ d = 2 \times 5 = 10 \text{ cm} \]

Cách 5: Biết bán kính đường tròn nội tiếp

Công thức:

\[ d = 2r\sqrt{2} \]

Trong đó \( r \) là bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông.

Chứng minh:

• Bán kính nội tiếp: \( r = \frac{a}{2} \) → \( a = 2r \)
• Đường chéo: \( d = a\sqrt{2} = 2r\sqrt{2} \)

Ví dụ: Đường tròn nội tiếp hình vuông có bán kính 3 cm. Tính đường chéo.

\[ d = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \approx 8,49 \text{ cm} \]

Bảng tổng hợp công thức

Biết	Công thức tính đường chéo
Cạnh \( a \)	\( d = a\sqrt{2} \)
Chu vi \( C \)	\( d = \frac{C\sqrt{2}}{4} \)
Diện tích \( S \)	\( d = \sqrt{2S} \)
Bán kính ngoại tiếp \( R \)	\( d = 2R \)
Bán kính nội tiếp \( r \)	\( d = 2r\sqrt{2} \)

Ngược lại, nếu biết đường chéo, ta có thể tính cạnh hình vuông.

Công thức tính cạnh khi biết đường chéo

Từ công thức đường chéo hình vuông, ta suy ra công thức tính cạnh.

Công thức tính cạnh theo đường chéo

Công thức:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]

Chứng minh:

Từ \( d = a\sqrt{2} \), suy ra:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2} \]

Công thức tính diện tích theo đường chéo

Công thức:

\[ S = \frac{d^2}{2} \]

Chứng minh:

\[ S = a^2 = \left(\frac{d}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{d^2}{2} \]

Cách khác: Diện tích hình vuông = \( \frac{1}{2} \times \) tích hai đường chéo

\[ S = \frac{1}{2} \times d \times d = \frac{d^2}{2} \]

Công thức tính chu vi theo đường chéo

Công thức:

\[ C = 4a = 4 \times \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{4d}{\sqrt{2}} = 2d\sqrt{2} \]

Bảng tổng hợp công thức ngược

Cần tính	Công thức (biết đường chéo \( d \))
Cạnh	\( a = \frac{d\sqrt{2}}{2} \)
Diện tích	\( S = \frac{d^2}{2} \)
Chu vi	\( C = 2d\sqrt{2} \)
Bán kính ngoại tiếp	\( R = \frac{d}{2} \)
Bán kính nội tiếp	\( r = \frac{d}{2\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{4} \)

Hãy cùng xem các ví dụ chi tiết về đường chéo hình vuông.

Ví dụ tính đường chéo hình vuông chi tiết

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách tính đường chéo hình vuông từ cơ bản đến nâng cao:

Ví dụ 1: Tính đường chéo khi biết cạnh

Đề bài: Hình vuông ABCD có cạnh bằng 8 cm. Tính độ dài đường chéo hình vuông.

Lời giải:

Áp dụng công thức: \( d = a\sqrt{2} \)

\[ d = 8\sqrt{2} \approx 8 \times 1,414 = 11,31 \text{ cm} \]

Đáp số: Đường chéo hình vuông bằng \( 8\sqrt{2} \) cm \( \approx 11,31 \) cm.

Ví dụ 2: Tính đường chéo khi biết diện tích

Đề bài: Hình vuông có diện tích 72 cm². Tính đường chéo.

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp

\[ d = \sqrt{2S} = \sqrt{2 \times 72} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm} \]

Cách 2: Tính qua cạnh

\[ a = \sqrt{S} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \text{ cm} \]

\[ d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 6 \times 2 = 12 \text{ cm} \]

Đáp số: Đường chéo bằng 12 cm.

Ví dụ 3: Tính cạnh khi biết đường chéo

Đề bài: Đường chéo của hình vuông bằng 10 cm. Tính cạnh và diện tích hình vuông.

Lời giải:

Cạnh hình vuông:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ cm} \]

Diện tích hình vuông:

\[ S = \frac{d^2}{2} = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50 \text{ cm}^2 \]

Đáp số: Cạnh bằng \( 5\sqrt{2} \) cm, diện tích bằng 50 cm².

Ví dụ 4: Bài toán đường tròn ngoại tiếp

Đề bài: Hình vuông nội tiếp đường tròn có bán kính 7 cm. Tính cạnh và đường chéo hình vuông.

Lời giải:

Đường chéo hình vuông = đường kính đường tròn ngoại tiếp:

\[ d = 2R = 2 \times 7 = 14 \text{ cm} \]

Cạnh hình vuông:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{14}{\sqrt{2}} = 7\sqrt{2} \approx 9,9 \text{ cm} \]

Đáp số: Đường chéo 14 cm, cạnh \( 7\sqrt{2} \) cm.

Ví dụ 5: Bài toán thực tế

Đề bài: Một viên gạch hình vuông có cạnh 40 cm. Tính đường chéo viên gạch.

Lời giải:

\[ d = a\sqrt{2} = 40\sqrt{2} \approx 40 \times 1,414 = 56,57 \text{ cm} \]

Đáp số: Đường chéo viên gạch khoảng 56,57 cm.

Ví dụ 6: So sánh đường chéo hai hình vuông

Đề bài: Hình vuông A có cạnh gấp đôi hình vuông B. Hỏi đường chéo hình vuông A gấp mấy lần đường chéo hình vuông B?

Lời giải:

Gọi cạnh hình vuông B là \( a \), thì cạnh hình vuông A là \( 2a \).

• Đường chéo hình vuông B: \( d_B = a\sqrt{2} \)
• Đường chéo hình vuông A: \( d_A = 2a\sqrt{2} \)

\[ \frac{d_A}{d_B} = \frac{2a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 2 \]

Đáp số: Đường chéo hình vuông A gấp 2 lần đường chéo hình vuông B.

Ví dụ 7: Bài toán tọa độ

Đề bài: Hình vuông ABCD có A(0, 0) và C(6, 6). Tính cạnh hình vuông.

Lời giải:

AC là đường chéo hình vuông.

\[ d = AC = \sqrt{(6-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

Cạnh hình vuông:

\[ a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 6 \]

Đáp số: Cạnh hình vuông bằng 6.

Hãy cùng luyện tập với các bài tập về đường chéo của hình vuông dưới đây.

Bài tập đường chéo của hình vuông (có lời giải)

Dưới đây là các bài tập về đường chéo hình vuông từ cơ bản đến nâng cao:

Dạng 1: Tính đường chéo khi biết cạnh

Bài tập 1: Tính đường chéo hình vuông có cạnh:

a) 5 cm

b) 12 cm

c) \( 3\sqrt{2} \) cm

Lời giải:

a) \( d = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \) cm

b) \( d = 12\sqrt{2} \approx 16,97 \) cm

c) \( d = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6 \) cm

Dạng 2: Tính cạnh khi biết đường chéo

Bài tập 2: Tính cạnh hình vuông có đường chéo:

a) 14 cm

b) \( 8\sqrt{2} \) cm

c) 20 cm

Lời giải:

a) \( a = \frac{14}{\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2} \approx 9,9 \) cm

b) \( a = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 \) cm

c) \( a = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \approx 14,14 \) cm

Dạng 3: Tính đường chéo khi biết diện tích hoặc chu vi

Bài tập 3:

a) Hình vuông có diện tích 128 cm². Tính đường chéo.

b) Hình vuông có chu vi 24 cm. Tính đường chéo.

Lời giải:

a)

\[ d = \sqrt{2S} = \sqrt{2 \times 128} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm} \]

b)

\[ a = \frac{C}{4} = \frac{24}{4} = 6 \text{ cm} \]

\[ d = 6\sqrt{2} \approx 8,49 \text{ cm} \]

Dạng 4: Tính diện tích khi biết đường chéo

Bài tập 4: Tính diện tích hình vuông có đường chéo:

a) 18 cm

b) \( 6\sqrt{2} \) cm

Lời giải:

a)

\[ S = \frac{d^2}{2} = \frac{18^2}{2} = \frac{324}{2} = 162 \text{ cm}^2 \]

b)

\[ S = \frac{(6\sqrt{2})^2}{2} = \frac{72}{2} = 36 \text{ cm}^2 \]

Dạng 5: Bài toán đường tròn

Bài tập 5:

a) Hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính 5 cm. Tính cạnh hình vuông.

b) Hình vuông ngoại tiếp đường tròn bán kính 4 cm. Tính đường chéo hình vuông.

Lời giải:

a) Đường chéo = đường kính = \( 2 \times 5 = 10 \) cm

\[ a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ cm} \]

b) Bán kính nội tiếp \( r = 4 \) cm

Cạnh: \( a = 2r = 8 \) cm

Đường chéo: \( d = 8\sqrt{2} \approx 11,31 \) cm

Dạng 6: Bài toán so sánh

Bài tập 6: Hình vuông có đường chéo tăng thêm 50%. Hỏi diện tích tăng thêm bao nhiêu phần trăm?

Lời giải:

Gọi đường chéo ban đầu là \( d \), đường chéo mới là \( d’ = 1,5d \)

Diện tích ban đầu: \( S = \frac{d^2}{2} \)

Diện tích mới: \( S’ = \frac{(1,5d)^2}{2} = \frac{2,25d^2}{2} = 2,25S \)

Phần trăm tăng: \( \frac{S’ – S}{S} \times 100\% = \frac{2,25S – S}{S} \times 100\% = 125\% \)

Đáp số: Diện tích tăng thêm 125%.

Dạng 7: Bài toán thực tế

Bài tập 7: Một căn phòng hình vuông có diện tích 25 m². Một người muốn đi từ góc này sang góc đối diện theo đường chéo. Hỏi người đó phải đi quãng đường bao nhiêu mét?

Lời giải:

\[ d = \sqrt{2S} = \sqrt{2 \times 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7,07 \text{ m} \]

Đáp số: Người đó phải đi khoảng 7,07 m.

Dạng 8: Bài toán nâng cao

Bài tập 8: Cho hình vuông ABCD có cạnh \( a \). Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính diện tích tam giác OAB.

Lời giải:

Hai đường chéo chia hình vuông thành 4 tam giác bằng nhau.

\[ S_{OAB} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{a^2}{4} \]

Cách khác:

Tam giác OAB có:

• Đáy AB = \( a \)
• Chiều cao = OI = \( \frac{a}{2} \) (I là trung điểm AB)

\[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} \]

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã nắm vững kiến thức về đường chéo hình vuông với công thức chính \( d = a\sqrt{2} \). Cách tính đường chéo hình vuông có thể thực hiện khi biết cạnh, chu vi, diện tích hoặc bán kính đường tròn ngoại tiếp/nội tiếp. Đường chéo trong hình vuông có các tính chất đặc biệt: hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ngược lại, khi biết độ dài đường chéo hình vuông, ta có thể tính cạnh bằng công thức \( a = \frac{d\sqrt{2}}{2} \) và diện tích bằng \( S = \frac{d^2}{2} \). Đường chéo của hình vuông là kiến thức nền tảng quan trọng, được ứng dụng nhiều trong các bài toán hình học và thực tế.