Công thức tính trung bình: Trung bình cộng, trung bình mẫu

Công thức tính trung bình là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất trong Toán học và Thống kê. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cách tính số trung bình, công thức tính trung bình cộng, công thức tính trung bình mẫu cùng các bài tập minh họa có lời giải cụ thể.

1. Số trung bình là gì?

Trước khi tìm hiểu công thức tính giá trị trung bình, ta cần nắm vững khái niệm cơ bản.

1.1. Định nghĩa số trung bình

Số trung bình (hay giá trị trung bình) là một đại lượng đại diện cho một tập hợp các số, thể hiện xu hướng trung tâm của dữ liệu.

Đây là một trong ba đại lượng đo lường xu hướng trung tâm phổ biến nhất, cùng với trung vị (median) và yếu vị (mode).

1.2. Ý nghĩa của giá trị trung bình

• Đại diện cho cả tập dữ liệu bằng một giá trị duy nhất
• Giúp so sánh các tập dữ liệu khác nhau
• Là cơ sở để tính các đại lượng thống kê khác (phương sai, độ lệch chuẩn)
• Ứng dụng rộng rãi trong khoa học, kinh tế, giáo dục

1.3. Phân loại các loại trung bình

Loại trung bình	Ký hiệu	Ứng dụng
Trung bình cộng (số học)	\(\bar{x}\) hoặc \(\mu\)	Phổ biến nhất, dùng trong hầu hết các trường hợp
Trung bình nhân (hình học)	G	Tính tốc độ tăng trưởng, lãi suất kép
Trung bình điều hòa	H	Tính vận tốc trung bình, tỉ lệ
Trung bình bình phương	Q	Kỹ thuật, vật lý

2. Công thức tính trung bình cộng

Trung bình cộng (hay trung bình số học) là loại số trung bình phổ biến nhất.

2.1. Công thức cơ bản

Công thức tính trung bình cộng của n số:

\(\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)

Trong đó:

• \(\bar{x}\): Giá trị trung bình
• \(x_1, x_2, …, x_n\): Các giá trị của dữ liệu
• n: Số lượng các giá trị

2.2. Phát biểu bằng lời

Cách tính số trung bình: Lấy tổng tất cả các giá trị chia cho số lượng các giá trị.

2.3. Ví dụ cơ bản

Ví dụ: Tính trung bình cộng của các số: 5, 8, 12, 15, 10

\(\bar{x} = \frac{5 + 8 + 12 + 15 + 10}{5} = \frac{50}{5} = 10\)

3. Công thức tính trung bình có trọng số

Khi các giá trị có tầm quan trọng (trọng số) khác nhau, ta dùng công thức tính trung bình có trọng số.

3.1. Công thức

\(\bar{x} = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + … + x_n w_n}{w_1 + w_2 + … + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}\)

Trong đó:

• \(x_i\): Giá trị thứ i
• \(w_i\): Trọng số của giá trị thứ i

3.2. Ví dụ tính điểm trung bình môn

Ví dụ: Học sinh có điểm: Miệng 8 (hệ số 1), 15 phút 7 (hệ số 1), 1 tiết 9 (hệ số 2), Học kỳ 8 (hệ số 3). Tính điểm trung bình.

\(\bar{x} = \frac{8 \times 1 + 7 \times 1 + 9 \times 2 + 8 \times 3}{1 + 1 + 2 + 3} = \frac{8 + 7 + 18 + 24}{7} = \frac{57}{7} \approx 8,14\)

4. Công thức tính trung bình mẫu (Thống kê)

Trung bình mẫu là giá trị trung bình được tính từ một mẫu dữ liệu trong thống kê.

4.1. Trung bình mẫu là gì?

Trung bình mẫu (Sample Mean) là giá trị trung bình của các quan sát trong một mẫu, được sử dụng để ước lượng trung bình của tổng thể.

Ký hiệu: \(\bar{x}\) (cho mẫu), \(\mu\) (cho tổng thể)

4.2. Công thức tính trung bình mẫu (Dữ liệu không ghép nhóm)

Trường hợp 1: Dữ liệu thô

\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\)

Trường hợp 2: Dữ liệu có tần số

\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{n}\)

Trong đó:

• \(x_i\): Giá trị thứ i
• \(n_i\): Tần số của giá trị \(x_i\)
• n: Tổng số quan sát (\(n = \sum n_i\))
• k: Số giá trị khác nhau

4.3. Công thức tính trung bình mẫu (Dữ liệu ghép nhóm)

Khi dữ liệu được chia thành các lớp (khoảng), ta dùng cách tính trung bình mẫu sau:

\(\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} c_i n_i}{n}\)

Trong đó:

• \(c_i\): Giá trị đại diện của lớp thứ i (trung điểm của lớp)
• \(n_i\): Tần số của lớp thứ i
• n: Tổng số quan sát

Cách tính giá trị đại diện:

\(c_i = \frac{\text{Cận dưới} + \text{Cận trên}}{2}\)

4.4. Ví dụ tính trung bình mẫu với bảng tần số

Ví dụ: Điểm kiểm tra của 30 học sinh được ghi trong bảng sau:

Điểm (xᵢ)	5	6	7	8	9	10
Tần số (nᵢ)	2	5	8	10	4	1

Cách tính trung bình mẫu:

\(\bar{x} = \frac{5 \times 2 + 6 \times 5 + 7 \times 8 + 8 \times 10 + 9 \times 4 + 10 \times 1}{2 + 5 + 8 + 10 + 4 + 1}\)

\(\bar{x} = \frac{10 + 30 + 56 + 80 + 36 + 10}{30} = \frac{222}{30} = 7,4\)

5. Các loại trung bình khác

Ngoài trung bình cộng, còn có các loại trung bình khác:

5.1. Trung bình nhân (Geometric Mean)

\(G = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot … \cdot x_n} = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{\frac{1}{n}}\)

Ứng dụng: Tính tốc độ tăng trưởng trung bình, lãi suất kép

Ví dụ: Tính trung bình nhân của 2, 8, 4

\(G = \sqrt[3]{2 \times 8 \times 4} = \sqrt[3]{64} = 4\)

5.2. Trung bình điều hòa (Harmonic Mean)

\(H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + … + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}\)

Ứng dụng: Tính vận tốc trung bình khi đi cùng quãng đường với các vận tốc khác nhau

Ví dụ: Tính trung bình điều hòa của 2, 3, 6

\(H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = \frac{3}{\frac{3 + 2 + 1}{6}} = \frac{3}{1} = 3\)

5.3. Trung bình bình phương (Quadratic Mean / RMS)

\(Q = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + … + x_n^2}{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}}\)

Ứng dụng: Tính điện áp hiệu dụng, trong kỹ thuật và vật lý

5.4. Bất đẳng thức giữa các trung bình

Với các số dương, ta luôn có:

\(H \leq G \leq \bar{x} \leq Q\)

(Trung bình điều hòa ≤ Trung bình nhân ≤ Trung bình cộng ≤ Trung bình bình phương)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số bằng nhau.

6. Bảng tổng hợp công thức tính trung bình

Loại trung bình	Công thức	Ứng dụng
Trung bình cộng	\(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)	Phổ biến nhất
Trung bình có trọng số	\(\bar{x} = \frac{\sum x_i w_i}{\sum w_i}\)	Điểm trung bình môn
Trung bình mẫu (tần số)	\(\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n}\)	Thống kê với bảng tần số
Trung bình mẫu (ghép nhóm)	\(\bar{x} = \frac{\sum c_i n_i}{n}\)	Dữ liệu chia lớp
Trung bình nhân	\(G = \sqrt[n]{\prod x_i}\)	Tốc độ tăng trưởng
Trung bình điều hòa	\(H = \frac{n}{\sum \frac{1}{x_i}}\)	Vận tốc trung bình
Trung bình bình phương	\(Q = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n}}\)	Điện áp hiệu dụng

7. Tính chất của số trung bình cộng

Giá trị trung bình có các tính chất quan trọng sau:

7.1. Tính chất cơ bản

• Tính chất 1: Giá trị trung bình nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất: \(x_{min} \leq \bar{x} \leq x_{max}\)
• Tính chất 2: Tổng các độ lệch so với trung bình bằng 0: \(\sum (x_i – \bar{x}) = 0\)
• Tính chất 3: Nếu cộng thêm hằng số c vào tất cả các giá trị thì trung bình tăng thêm c
• Tính chất 4: Nếu nhân tất cả các giá trị với hằng số k thì trung bình cũng nhân với k

7.2. Công thức tính nhanh

Nếu \(y_i = ax_i + b\) thì: \(\bar{y} = a\bar{x} + b\)

8. Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Vận dụng công thức tính trung bình để giải các bài tập sau:

Bài tập 1: Tính trung bình cộng cơ bản

Đề bài: Tính số trung bình của các số: 15, 20, 25, 30, 35, 40

Lời giải:

Áp dụng công thức tính trung bình cộng:

\(\bar{x} = \frac{15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40}{6} = \frac{165}{6} = 27,5\)

Đáp số: \(\bar{x} = 27,5\)

Bài tập 2: Tính trung bình có trọng số

Đề bài: Một học sinh có các điểm số như sau: Toán 8 (hệ số 2), Văn 7 (hệ số 2), Anh 9 (hệ số 1), Lý 6 (hệ số 1). Tính điểm trung bình.

Lời giải:

\(\bar{x} = \frac{8 \times 2 + 7 \times 2 + 9 \times 1 + 6 \times 1}{2 + 2 + 1 + 1}\)

\(\bar{x} = \frac{16 + 14 + 9 + 6}{6} = \frac{45}{6} = 7,5\)

Đáp số: Điểm trung bình là 7,5

Bài tập 3: Tính trung bình mẫu với bảng tần số

Đề bài: Số sản phẩm làm được trong một giờ của 40 công nhân được ghi lại:

Số sản phẩm	10	11	12	13	14
Số công nhân	3	8	15	10	4

Tính số trung bình sản phẩm làm được.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính trung bình mẫu:

\(\bar{x} = \frac{10 \times 3 + 11 \times 8 + 12 \times 15 + 13 \times 10 + 14 \times 4}{3 + 8 + 15 + 10 + 4}\)

\(\bar{x} = \frac{30 + 88 + 180 + 130 + 56}{40} = \frac{484}{40} = 12,1\)

Đáp số: Trung bình 12,1 sản phẩm/giờ

Bài tập 4: Tính trung bình mẫu với dữ liệu ghép nhóm

Đề bài: Chiều cao (cm) của 50 học sinh được ghi trong bảng:

Chiều cao	[150; 155)	[155; 160)	[160; 165)	[165; 170)	[170; 175)
Số học sinh	5	12	18	10	5

Cách tính trung bình mẫu:

Lời giải:

Bước 1: Tính giá trị đại diện (trung điểm) của mỗi lớp

• [150; 155): \(c_1 = \frac{150 + 155}{2} = 152,5\)
• [155; 160): \(c_2 = 157,5\)
• [160; 165): \(c_3 = 162,5\)
• [165; 170): \(c_4 = 167,5\)
• [170; 175): \(c_5 = 172,5\)

Bước 2: Áp dụng công thức

\(\bar{x} = \frac{152,5 \times 5 + 157,5 \times 12 + 162,5 \times 18 + 167,5 \times 10 + 172,5 \times 5}{50}\)

\(\bar{x} = \frac{762,5 + 1890 + 2925 + 1675 + 862,5}{50} = \frac{8115}{50} = 162,3\)

Đáp số: Chiều cao trung bình là 162,3 cm

Bài tập 5: Tìm giá trị còn thiếu

Đề bài: Trung bình cộng của 5 số là 24. Biết 4 số đầu là 18, 22, 26, 30. Tìm số thứ 5.

Lời giải:

Gọi số thứ 5 là x.

Tổng 5 số = \(5 \times 24 = 120\)

\(18 + 22 + 26 + 30 + x = 120\)

\(96 + x = 120\)

\(x = 24\)

Đáp số: Số thứ 5 là 24

Bài tập 6: Trung bình nhân

Đề bài: Một khoản đầu tư tăng trưởng 20% năm 1, 30% năm 2, 10% năm 3. Tính tốc độ tăng trưởng trung bình mỗi năm.

Lời giải:

Hệ số tăng trưởng: 1,2; 1,3; 1,1

Trung bình nhân: \(G = \sqrt[3]{1,2 \times 1,3 \times 1,1} = \sqrt[3]{1,716} \approx 1,199\)

Tốc độ tăng trưởng trung bình: \(1,199 – 1 = 0,199 \approx 19,9\%\)

Đáp số: Tốc độ tăng trưởng trung bình khoảng 19,9%/năm

9. Bài tập tự luyện

Vận dụng cách tính số trung bình, hãy giải các bài tập sau:

Bài 1: Tính giá trị trung bình của: 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

Xem đáp án

\(\bar{x} = \frac{12 + 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30}{7} = \frac{147}{7} = 21\)

Bài 2: Tuổi của 20 công nhân được ghi lại:

Tuổi	20	25	30	35	40
Số người	3	5	7	4	1

Tính tuổi trung bình.

Xem đáp án

\(\bar{x} = \frac{20 \times 3 + 25 \times 5 + 30 \times 7 + 35 \times 4 + 40 \times 1}{20}\)

\(\bar{x} = \frac{60 + 125 + 210 + 140 + 40}{20} = \frac{575}{20} = 28,75\) tuổi

Bài 3: Trung bình cộng của 6 số là 15. Nếu bỏ đi một số thì trung bình còn lại là 14. Tìm số bị bỏ.

Xem đáp án

Tổng 6 số = 6 × 15 = 90

Tổng 5 số còn lại = 5 × 14 = 70

Số bị bỏ = 90 – 70 = 20

Bài 4: Tính trung bình điều hòa của 30 và 60.

Xem đáp án

\(H = \frac{2}{\frac{1}{30} + \frac{1}{60}} = \frac{2}{\frac{2 + 1}{60}} = \frac{2 \times 60}{3} = 40\)

10. Kết luận

Công thức tính trung bình là kiến thức nền tảng quan trọng trong Toán học và Thống kê. Qua bài viết này, các bạn đã nắm được:

• Số trung bình là gì và ý nghĩa của giá trị trung bình
• Công thức tính trung bình cộng: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
• Công thức tính trung bình mẫu cho dữ liệu có tần số: \(\bar{x} = \frac{\sum x_i n_i}{n}\)
• Cách tính trung bình mẫu cho dữ liệu ghép nhóm: \(\bar{x} = \frac{\sum c_i n_i}{n}\)
• Các loại trung bình khác: trung bình nhân, điều hòa, bình phương

Hãy luyện tập thường xuyên các bài tập về tính số trung bình để thành thạo và áp dụng linh hoạt trong học tập và cuộc sống.