Phương trình đường elip: Dạng chính tắc, đường chuẩn lớp 10
Phương trình đường elip là một trong những kiến thức quan trọng nhất của chương Đường conic trong chương trình Toán 10. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn nắm vững định nghĩa, phương trình chính tắc của đường elip cùng các công thức tính tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai và các dạng bài tập thường gặp kèm lời giải chi tiết.
Elip là gì?
Trước khi tìm hiểu phương trình đường elip, chúng ta cần hiểu rõ định nghĩa của đường conic này.
Định nghĩa Elip
Định nghĩa: Elip là tập hợp các điểm \(M\) trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) là một hằng số (hằng số này lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm cố định).
Hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) được gọi là hai tiêu điểm của Elip.
Biểu thức định nghĩa:
\[MF_1 + MF_2 = 2a \quad \text{(với } 2a > F_1F_2\text{)}\]
Các yếu tố cơ bản của Elip
| Yếu tố | Ký hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|---|
| Tiêu điểm | \(F_1, F_2\) | Hai điểm cố định xác định Elip |
| Tiêu cự | \(2c = F_1F_2\) | Khoảng cách giữa hai tiêu điểm |
| Trục lớn | \(2a\) | Đường kính lớn nhất của Elip |
| Trục nhỏ | \(2b\) | Đường kính nhỏ nhất của Elip |
| Tâm | \(O\) | Trung điểm của đoạn \(F_1F_2\) |
| Đỉnh | \(A_1, A_2, B_1, B_2\) | Giao điểm của Elip với các trục |
Hình dạng của Elip
- Elip có dạng hình oval (hình bầu dục)
- Elip đối xứng qua tâm \(O\) và qua hai trục
- Elip nằm hoàn toàn trong hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục tọa độ và có độ dài \(2a\) và \(2b\)
Phương trình chính tắc của đường Elip
Đây là nội dung cốt lõi nhất về phương trình đường elip mà bạn cần nắm vững.
Dạng 1: Trục lớn nằm trên trục Ox (Elip nằm ngang)
Phương trình chính tắc:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)\]
Các yếu tố:
- Bán trục lớn: \(a\)
- Bán trục nhỏ: \(b\)
- Hệ thức cơ bản: \(c^2 = a^2 – b^2\) hay \(a^2 = b^2 + c^2\)
- Tiêu điểm: \(F_1(-c; 0)\) và \(F_2(c; 0)\)
- Đỉnh trên trục lớn: \(A_1(-a; 0)\) và \(A_2(a; 0)\)
- Đỉnh trên trục nhỏ: \(B_1(0; -b)\) và \(B_2(0; b)\)
Dạng 2: Trục lớn nằm trên trục Oy (Elip nằm dọc)
Phương trình chính tắc:
\[\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \quad (a > b > 0)\]
Các yếu tố:
- Bán trục lớn: \(a\) (theo phương Oy)
- Bán trục nhỏ: \(b\) (theo phương Ox)
- Hệ thức cơ bản: \(c^2 = a^2 – b^2\)
- Tiêu điểm: \(F_1(0; -c)\) và \(F_2(0; c)\)
- Đỉnh trên trục lớn: \(A_1(0; -a)\) và \(A_2(0; a)\)
- Đỉnh trên trục nhỏ: \(B_1(-b; 0)\) và \(B_2(b; 0)\)
Cách phân biệt hai dạng phương trình
| Tiêu chí | Trục lớn trên Ox | Trục lớn trên Oy |
|---|---|---|
| Phương trình | \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) | \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\) |
| Điều kiện | \(a > b > 0\) | \(a > b > 0\) |
| Mẫu số lớn hơn | Dưới \(x^2\) | Dưới \(y^2\) |
| Tiêu điểm | Trên trục Ox | Trên trục Oy |
Quy tắc nhớ: Mẫu số nào lớn hơn thì trục lớn nằm trên trục tương ứng, và tiêu điểm cũng nằm trên trục đó.
Tổng hợp công thức đường Elip đầy đủ
Dưới đây là bảng tổng hợp tất cả các công thức liên quan đến phương trình đường elip dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > b > 0\):
| Đại lượng | Công thức |
|---|---|
| Hệ thức cơ bản | \(a^2 = b^2 + c^2\) hay \(c^2 = a^2 – b^2\) |
| Tiêu cự | \(2c = 2\sqrt{a^2 – b^2}\) |
| Tiêu điểm | \(F_1(-c; 0), \; F_2(c; 0)\) |
| Đỉnh trục lớn | \(A_1(-a; 0), \; A_2(a; 0)\) |
| Đỉnh trục nhỏ | \(B_1(0; -b), \; B_2(0; b)\) |
| Tâm sai | \(e = \frac{c}{a} < 1\) |
| Bán kính qua tiêu | \(r_1 = a + ex_0, \; r_2 = a – ex_0\) |
| Đường chuẩn | \(x = \pm \frac{a^2}{c} = \pm \frac{a}{e}\) |
| Bán thông số | \(p = \frac{b^2}{a}\) |
| Chu vi (gần đúng) | \(C \approx \pi[3(a+b) – \sqrt{(3a+b)(a+3b)}]\) |
| Diện tích | \(S = \pi ab\) |
Công thức bán kính qua tiêu (Bán kính focal)
Cho điểm \(M(x_0; y_0)\) thuộc Elip \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\):
Khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm:
\[MF_1 = a + ex_0 = a + \frac{c}{a}x_0\]
\[MF_2 = a – ex_0 = a – \frac{c}{a}x_0\]
Tính chất quan trọng:
- \(MF_1 + MF_2 = 2a\) (định nghĩa Elip)
- \(MF_1 \cdot MF_2 = a^2 – c^2\cos^2\theta\) với \(\theta\) là góc tham số
- Giá trị nhỏ nhất: \(MF_{min} = a – c\) (tại đỉnh gần tiêu điểm)
- Giá trị lớn nhất: \(MF_{max} = a + c\) (tại đỉnh xa tiêu điểm)
Công thức tâm sai của Elip
Tâm sai (độ lệch tâm) đặc trưng cho độ “dẹt” của Elip:
\[e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{a^2 – b^2}}{a}\]
Đặc điểm:
- Tâm sai của Elip luôn nhỏ hơn 1 (vì \(c < a\))
- Khi \(e \to 0\): Elip tiến gần đến hình tròn (\(a \approx b\))
- Khi \(e \to 1\): Elip rất dẹt, gần như đoạn thẳng
- \(0 < e < 1\) với mọi Elip
Phương trình đường chuẩn
Mỗi Elip có hai đường chuẩn tương ứng với hai tiêu điểm:
- Đường chuẩn ứng với \(F_1(-c; 0)\): \(x = -\frac{a^2}{c} = -\frac{a}{e}\)
- Đường chuẩn ứng với \(F_2(c; 0)\): \(x = \frac{a^2}{c} = \frac{a}{e}\)
Tính chất: Tỉ số khoảng cách từ điểm trên Elip đến tiêu điểm và đến đường chuẩn tương ứng bằng tâm sai \(e\).
Cách nhận dạng phương trình đường Elip
Để xác định một phương trình có phải là phương trình đường elip hay không, ta dựa vào các đặc điểm sau:
Dạng tổng quát của phương trình Elip
Phương trình Elip có tâm tại gốc tọa độ luôn có dạng:
\[Ax^2 + By^2 = C\]
Với \(A, B, C > 0\) và \(A \neq B\).
Chia cả hai vế cho \(C\):
\[\frac{x^2}{C/A} + \frac{y^2}{C/B} = 1\]
Điều kiện để là phương trình Elip
| Điều kiện | Kết luận |
|---|---|
| \(\frac{C}{A} > \frac{C}{B} > 0\) | Elip có trục lớn trên Ox |
| \(\frac{C}{B} > \frac{C}{A} > 0\) | Elip có trục lớn trên Oy |
| \(\frac{C}{A} = \frac{C}{B} > 0\) | Đường tròn (không phải Elip) |
| Một trong hai âm | Không phải Elip |
Các dạng bài tập về phương trình đường Elip
Sau khi nắm vững lý thuyết về phương trình đường elip, bạn cần luyện tập các dạng bài sau:
Dạng 1: Xác định các yếu tố của Elip từ phương trình
Phương pháp:
- Đưa phương trình về dạng chính tắc \(\frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1\)
- So sánh \(m\) và \(n\) để xác định \(a^2\) và \(b^2\) (số lớn hơn là \(a^2\))
- Tính \(c = \sqrt{a^2 – b^2}\)
- Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai theo các công thức
Dạng 2: Viết phương trình Elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp:
- Xác định dạng phương trình (tiêu điểm trên Ox hay Oy)
- Gọi phương trình Elip cần tìm với ẩn \(a^2, b^2\)
- Dịch các điều kiện đề bài thành phương trình theo \(a, b, c\)
- Giải hệ phương trình tìm \(a^2, b^2\)
- Viết phương trình Elip
Dạng 3: Tìm điểm thuộc Elip thỏa mãn điều kiện
Phương pháp:
- Gọi \(M(x_0; y_0)\) thuộc Elip
- Điều kiện thuộc Elip: \(\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} = 1\)
- Biểu diễn \(y_0^2\) theo \(x_0\) (hoặc ngược lại)
- Kết hợp điều kiện đề bài, lập phương trình theo một ẩn
- Giải và kiểm tra điều kiện
Dạng 4: Bài toán giao điểm đường thẳng và Elip
Phương pháp:
- Viết phương trình đường thẳng \(d\)
- Thay vào phương trình Elip, thu được phương trình bậc hai
- Áp dụng điều kiện có nghiệm (xét \(\Delta\))
- Sử dụng Viète để tính các đại lượng liên quan
Ví dụ minh họa có lời giải chi tiết
Áp dụng phương trình đường elip để giải các bài tập sau:
Ví dụ 1: Xác định các yếu tố của Elip
Đề bài: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Xác định độ dài các trục, tiêu cự, tọa độ tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và tâm sai.
Lời giải:
Bước 1: Nhận dạng phương trình.
Ta có \(25 > 9 > 0\), mẫu số lớn hơn nằm dưới \(x^2\) nên trục lớn nằm trên Ox.
- \(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
- \(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
Bước 2: Tính tiêu cự.
\[c = \sqrt{a^2 – b^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4\]
Bước 3: Xác định các yếu tố:
- Độ dài trục lớn: \(2a = 10\)
- Độ dài trục nhỏ: \(2b = 6\)
- Tiêu cự: \(2c = 8\)
- Tiêu điểm: \(F_1(-4; 0)\) và \(F_2(4; 0)\)
- Đỉnh trục lớn: \(A_1(-5; 0)\) và \(A_2(5; 0)\)
- Đỉnh trục nhỏ: \(B_1(0; -3)\) và \(B_2(0; 3)\)
- Tâm sai: \(e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5}\)
Ví dụ 2: Viết phương trình Elip khi biết tiêu điểm và điểm thuộc Elip
Đề bài: Viết phương trình đường elip có tiêu điểm \(F_1(-3; 0)\), \(F_2(3; 0)\) và đi qua điểm \(M(3; \frac{16}{5})\).
Lời giải:
Bước 1: Vì tiêu điểm nằm trên Ox nên Elip có dạng:
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)\]
Bước 2: Từ tiêu điểm: \(c = 3\)
Hệ thức: \(a^2 – b^2 = 9\) \(\quad (1)\)
Bước 3: Vì \(M(3; \frac{16}{5})\) thuộc Elip:
\[\frac{9}{a^2} + \frac{256/25}{b^2} = 1\]
\[\frac{9}{a^2} + \frac{256}{25b^2} = 1 \quad (2)\]
Bước 4: Từ (1): \(a^2 = b^2 + 9\). Thay vào (2):
\[\frac{9}{b^2 + 9} + \frac{256}{25b^2} = 1\]
Nhân cả hai vế với \(25b^2(b^2 + 9)\):
\[9 \cdot 25b^2 + 256(b^2 + 9) = 25b^2(b^2 + 9)\]
\[225b^2 + 256b^2 + 2304 = 25b^4 + 225b^2\]
\[256b^2 + 2304 = 25b^4\]
\[25b^4 – 256b^2 – 2304 = 0\]
Đặt \(t = b^2 > 0\):
\[25t^2 – 256t – 2304 = 0\]
Giải phương trình bậc hai:
\[\Delta = 256^2 + 4 \cdot 25 \cdot 2304 = 65536 + 230400 = 295936 = 544^2\]
\[t = \frac{256 + 544}{50} = \frac{800}{50} = 16 \quad \text{(nhận)}\]
\[t = \frac{256 – 544}{50} = -\frac{288}{50} < 0 \quad \text{(loại)}\]
Bước 5: Vậy \(b^2 = 16\) và \(a^2 = b^2 + 9 = 25\).
Kiểm tra: \(a = 5 > b = 4\). Thỏa mãn.
Kết luận: Phương trình Elip: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)
Ví dụ 3: Viết phương trình Elip khi biết tâm sai và độ dài trục
Đề bài: Viết phương trình đường elip có độ dài trục lớn bằng 10 và tâm sai \(e = \frac{3}{5}\), biết trục lớn nằm trên Ox.
Lời giải:
Bước 1: Elip có dạng \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) với \(a > b > 0\).
Bước 2: Từ độ dài trục lớn: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Bước 3: Từ tâm sai:
\[e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} \Rightarrow c = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3\]
Bước 4: Tính \(b\):
\[b^2 = a^2 – c^2 = 25 – 9 = 16 \Rightarrow b = 4\]
Kết luận: Phương trình Elip: \(\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\)
Ví dụ 4: Bài toán về bán kính qua tiêu
Đề bài: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1\). Tìm điểm \(M\) trên \((E)\) sao cho \(MF_1 = 2MF_2\).
Lời giải:
Bước 1: Xác định các tham số:
- \(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
- \(b^2 = 7\)
- \(c = \sqrt{16 – 7} = 3\)
- Tâm sai: \(e = \frac{3}{4}\)
Bước 2: Gọi \(M(x_0; y_0)\) thuộc Elip.
Công thức bán kính qua tiêu:
- \(MF_1 = a + ex_0 = 4 + \frac{3}{4}x_0\)
- \(MF_2 = a – ex_0 = 4 – \frac{3}{4}x_0\)
Bước 3: Theo đề: \(MF_1 = 2MF_2\)
\[4 + \frac{3}{4}x_0 = 2\left(4 – \frac{3}{4}x_0\right)\]
\[4 + \frac{3}{4}x_0 = 8 – \frac{3}{2}x_0\]
\[\frac{3}{4}x_0 + \frac{3}{2}x_0 = 4\]
\[\frac{9}{4}x_0 = 4\]
\[x_0 = \frac{16}{9}\]
Bước 4: Tìm \(y_0\) từ phương trình Elip:
\[\frac{(16/9)^2}{16} + \frac{y_0^2}{7} = 1\]
\[\frac{256/81}{16} + \frac{y_0^2}{7} = 1\]
\[\frac{16}{81} + \frac{y_0^2}{7} = 1\]
\[\frac{y_0^2}{7} = 1 – \frac{16}{81} = \frac{65}{81}\]
\[y_0^2 = \frac{455}{81}\]
\[y_0 = \pm \frac{\sqrt{455}}{9}\]
Kết luận: \(M\left(\frac{16}{9}; \pm \frac{\sqrt{455}}{9}\right)\)
Ví dụ 5: Bài toán diện tích tam giác với tiêu điểm
Đề bài: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1\). Gọi \(F_1, F_2\) là hai tiêu điểm. Điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho \(\widehat{F_1MF_2} = 60°\). Tính diện tích tam giác \(MF_1F_2\).
Lời giải:
Bước 1: Xác định các tham số:
- \(a = 5\), \(b = 3\)
- \(c = \sqrt{25 – 9} = 4\)
- \(F_1F_2 = 2c = 8\)
Bước 2: Đặt \(MF_1 = r_1\), \(MF_2 = r_2\).
Theo định nghĩa Elip: \(r_1 + r_2 = 2a = 10\)
Bước 3: Áp dụng định lý cosin trong tam giác \(MF_1F_2\):
\[F_1F_2^2 = r_1^2 + r_2^2 – 2r_1r_2\cos 60°\]
\[64 = r_1^2 + r_2^2 – 2r_1r_2 \cdot \frac{1}{2}\]
\[64 = r_1^2 + r_2^2 – r_1r_2\]
Bước 4: Ta có \((r_1 + r_2)^2 = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 = 100\)
Suy ra: \(r_1^2 + r_2^2 = 100 – 2r_1r_2\)
Thay vào:
\[64 = 100 – 2r_1r_2 – r_1r_2\]
\[64 = 100 – 3r_1r_2\]
\[r_1r_2 = 12\]
Bước 5: Diện tích tam giác \(MF_1F_2\):
\[S = \frac{1}{2} r_1 \cdot r_2 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]
Kết luận: Diện tích tam giác \(MF_1F_2\) bằng \(3\sqrt{3}\).
Ví dụ 6: Giao điểm của đường thẳng và Elip
Đề bài: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1\) và đường thẳng \(d: x + y – 2 = 0\). Tìm tọa độ giao điểm của \(d\) và \((E)\).
Lời giải:
Bước 1: Từ phương trình đường thẳng: \(y = 2 – x\)
Bước 2: Thay vào phương trình Elip:
\[\frac{x^2}{9} + \frac{(2-x)^2}{4} = 1\]
\[\frac{4x^2 + 9(2-x)^2}{36} = 1\]
\[4x^2 + 9(4 – 4x + x^2) = 36\]
\[4x^2 + 36 – 36x + 9x^2 = 36\]
\[13x^2 – 36x = 0\]
\[x(13x – 36) = 0\]
Bước 3: Giải phương trình:
- \(x = 0 \Rightarrow y = 2\)
- \(x = \frac{36}{13} \Rightarrow y = 2 – \frac{36}{13} = -\frac{10}{13}\)
Kết luận: Giao điểm là \(A(0; 2)\) và \(B\left(\frac{36}{13}; -\frac{10}{13}\right)\)
Bài tập tự luyện
Vận dụng kiến thức về phương trình đường elip để giải các bài tập sau:
Bài 1: Xác định tiêu điểm, đỉnh, tiêu cự và tâm sai của Elip \(\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{20} = 1\).
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của Elip có tiêu cự bằng 8 và độ dài trục lớn bằng 10, biết trục lớn nằm trên Ox.
Bài 3: Viết phương trình chính tắc của Elip đi qua hai điểm \(A(2; 0)\) và \(B(0; 1)\).
Bài 4: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\). Tìm điểm \(M\) trên \((E)\) sao cho \(MF_1 \perp MF_2\).
Bài 5: Cho Elip \((E): \frac{x^2}{13} + \frac{y^2}{4} = 1\). Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua tiêu điểm \(F_2\), biết \(d\) cắt \((E)\) tại hai điểm \(A, B\) sao cho \(AB = 4\).
Bài 6: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = x + m\) cắt Elip \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\) tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho Elip có phương trình \(4x^2 + 9y^2 = 36\). Tính diện tích hình Elip.
Kết luận
Bài viết đã trình bày đầy đủ kiến thức về phương trình đường elip bao gồm định nghĩa, phương trình chính tắc, các công thức tính tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, bán kính qua tiêu và đường chuẩn. Công thức quan trọng nhất cần nhớ là hệ thức \(a^2 = b^2 + c^2\) và quy tắc xác định trục lớn dựa vào mẫu số lớn hơn trong phương trình chính tắc. Để làm tốt các bài tập về phương trình đường elip, các bạn cần nắm chắc các công thức, hiểu rõ ý nghĩa hình học của từng đại lượng và luyện tập thường xuyên qua nhiều dạng bài khác nhau. Chúc các bạn học tốt!
Có thể bạn quan tâm
