Nhị thức Newton: Công thức khai triển, cách tính tổng quát lớp 11

Bởi Fenwick Trần Toán học
Mục lục

Nhị thức Newton là kiến thức quan trọng trong Đại số tổ hợp, thường xuất hiện trong chương trình Toán lớp 11 và nhiều dạng bài liên quan. Công thức nhị thức Newton cho phép khai triển lũy thừa bậc n của tổng hai số hạng (a + b)ⁿ thành tổng các đơn thức, trong đó hệ số được xác định bởi các tổ hợp chập k của n. Nội dung dưới đây tổng hợp từ khái niệm, công thức đến tính chất và những dạng bài tập thường gặp về nhị thức Newton.

1. Tổng quan về nhị thức Newton

Nhị thức Newton là một định lý quen thuộc trong đại số và được đặt theo tên nhà toán học Isaac Newton.

1.1. Nhị thức được hiểu như thế nào?

Nhị thức (binomial) là biểu thức đại số gồm hai số hạng được nối với nhau bởi phép cộng hoặc phép trừ, chẳng hạn (a + b) hay (a − b).

Từ đó, nhị thức Newton cung cấp quy tắc khai triển lũy thừa của một nhị thức thành tổng nhiều đơn thức theo một cấu trúc xác định.

1.2. Nguồn gốc và quá trình hình thành công thức

  • Công thức được Isaac Newton phát triển vào năm 1665.
  • Trước đó, Blaise Pascal đã có những nghiên cứu liên quan đến tam giác hệ số.
  • Nhị thức Newton về sau trở thành nền tảng cho nhiều nội dung trong đại số, tổ hợp và xác suất.

1.3. Quan sát qua một số khai triển đơn giản

Với những số mũ nhỏ, ta dễ dàng khai triển trực tiếp:

Lũy thừaKhai triển
\( (a+b)^0 \)1
\( (a+b)^1 \)\( a + b \)
\( (a+b)^2 \)\( a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a+b)^3 \)\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( (a+b)^4 \)\( a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \)

Khi n tăng lên, cách nhân trực tiếp trở nên dài và dễ sai. Lúc này, nhị thức Newton giúp xác định nhanh từng số hạng trong khai triển.

2. Công thức nhị thức Newton cần ghi nhớ

Công thức nhị thức Newton biểu diễn \((a+b)^n\) dưới dạng tổng của n + 1 số hạng.

2.1. Dạng tổng quát của nhị thức Newton

Định lý: Với mọi số thực a, b và số nguyên dương n:

\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

Viết dưới dạng đầy đủ:

\[ (a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + … + C_n^{n-1}ab^{n-1} + C_n^n b^n \]

2.2. Những cách ký hiệu hệ số nhị thức

Hệ số \( C_n^k \) có thể được biểu diễn bằng nhiều ký hiệu khác nhau:

Ký hiệuCách đọcCông thức
\( C_n^k \)Tổ hợp chập k của n\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
\( \binom{n}{k} \)n chọn k\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
\( _nC_k \)Tổ hợp n chọn k\( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

2.3. Cách xác định số hạng thứ k + 1

Trong khai triển \( (a+b)^n \), số hạng thứ (k+1) được tính theo:

\[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

Trong đó:

\[ k = 0, 1, 2, …, n \]

Công thức này đặc biệt hữu ích khi bài toán chỉ yêu cầu tìm một số hạng hoặc hệ số cụ thể mà không cần khai triển toàn bộ biểu thức.

2.4. Quy luật xuất hiện của các số hạng

Đặc điểmNội dung
Số số hạngn + 1 số hạng
Tổng số mũ mỗi số hạngLuôn bằng n
Số mũ của aGiảm từ n xuống 0
Số mũ của bTăng từ 0 lên n
Hệ sốĐối xứng: \( C_n^k = C_n^{n-k} \)

2.5. Trường hợp khai triển (a − b)ⁿ

Khi thay b bằng (−b), ta được:

\[ (a – b)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \]

Hay:

\[ (a – b)^n = C_n^0 a^n – C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 – C_n^3 a^{n-3}b^3 + … \]

Điểm cần nhớ: Các dấu trong khai triển lần lượt xen kẽ +, −, +, −,…

3. Hệ số tổ hợp trong khai triển nhị thức

Các hệ số xuất hiện trong nhị thức Newton chính là các số tổ hợp \(C_n^k\).

3.1. Công thức tính Cₙᵏ

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n(n-1)(n-2)…(n-k+1)}{k!} \]

Trong đó:

\[ n! = 1 × 2 × 3 × … × n \]

và được gọi là giai thừa của n.

3.2. Một số giá trị tổ hợp quen thuộc

n\k0123456
01
111
2121
31331
414641
515101051
61615201561

3.3. Hai cách tính nhanh một tổ hợp

Ví dụ: Tính \( C_6^2 \)

Cách 1 – sử dụng giai thừa:

\[ C_6^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{720}{2 \times 24} = \frac{720}{48} = 15 \]

Cách 2 – rút gọn ngay từ đầu:

\[ C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \]

Cách thứ hai thường thuận tiện hơn khi n tương đối lớn vì giảm số phép tính.

3.4. Các trường hợp đặc biệt nên nhớ

Công thứcGiá trịÝ nghĩa
\( C_n^0 \)1Chọn 0 phần tử: 1 cách
\( C_n^1 \)nChọn 1 phần tử: n cách
\( C_n^n \)1Chọn tất cả: 1 cách
\( C_n^{n-1} \)nBỏ 1 phần tử: n cách
\( C_n^2 \)\( \frac{n(n-1)}{2} \)Chọn 2 phần tử

4. Tam giác Pascal và mối liên hệ với nhị thức Newton

Tam giác Pascal là công cụ trực quan giúp xác định nhanh các hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

4.1. Cách sắp xếp các hàng của tam giác Pascal

                    1                       n = 0
                  1   1                     n = 1
                1   2   1                   n = 2
              1   3   3   1                 n = 3
            1   4   6   4   1               n = 4
          1   5  10  10   5   1             n = 5
        1   6  15  20  15   6   1           n = 6
      1   7  21  35  35  21   7   1         n = 7
    1   8  28  56  70  56  28   8   1       n = 8

4.2. Quy tắc tạo ra hàng tiếp theo

Mỗi số nằm bên trong tam giác bằng tổng của hai số nằm ngay phía trên:

\[ C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \]

Ví dụ: Tại hàng n = 4, ta có 6 = 3 + 3 từ hai giá trị tương ứng ở hàng n = 3.

4.3. Những quy luật dễ nhận thấy trong tam giác Pascal

Đặc điểmMô tả
Đối xứngMỗi hàng đối xứng qua trục giữa
Viền ngoàiLuôn bằng 1
Hàng thứ nCó n + 1 số
Tổng hàng thứ nBằng \( 2^n \)

4.4. Dùng tam giác Pascal để lấy hệ số khai triển

Ví dụ: Khai triển \( (a+b)^5 \)

Hàng n = 5 của tam giác Pascal gồm:

1, 5, 10, 10, 5, 1

Do đó:

\[ (a+b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \]

5. Các tính chất nổi bật của hệ số nhị thức

Bên cạnh công thức tính trực tiếp, hệ số nhị thức còn thỏa mãn nhiều đẳng thức hữu ích khi giải toán.

5.1. Quan hệ đối xứng

\[ C_n^k = C_n^{n-k} \]

Ví dụ:

\[ C_6^2 = C_6^4 = 15 \]

5.2. Quan hệ truy hồi Pascal

\[ C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \]

Ví dụ:

\[ C_5^2 = C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10 \]

5.3. Tổng toàn bộ hệ số trong một hàng

Đặt a = b = 1 trong nhị thức Newton:

\[ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = 2^n \]

Đây là công thức thường được sử dụng để xử lý nhanh các tổng tổ hợp.

5.4. Tổng hệ số ở vị trí chẵn và vị trí lẻ

Cho a = 1 và b = −1:

\[ C_n^0 – C_n^1 + C_n^2 – C_n^3 + … = 0 \]

Suy ra:

\[ C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + … = 2^{n-1} \]

5.5. Tổng hợp nhanh các công thức quan trọng

Tính chấtCông thức
Đối xứng\( C_n^k = C_n^{n-k} \)
Truy hồi\( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
Tổng tất cả\( \sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n \)
Tổng vị trí chẵn\( C_n^0 + C_n^2 + C_n^4 + … = 2^{n-1} \)
Tổng vị trí lẻ\( C_n^1 + C_n^3 + C_n^5 + … = 2^{n-1} \)
Nhân với n\( k \cdot C_n^k = n \cdot C_{n-1}^{k-1} \)
Vandermonde\( C_{m+n}^r = \sum_{k=0}^{r} C_m^k \cdot C_n^{r-k} \)

5.6. Một số tổng có trọng số

\[ \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1} \]

\[ \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot C_n^k = n(n+1) \cdot 2^{n-2} \]

6. Các khai triển nhị thức thường dùng

Một số khai triển cơ bản có thể ghi nhớ để áp dụng nhanh trong quá trình làm bài.

6.1. Bảng khai triển từ (a + b)² đến (a + b)⁶

Lũy thừaKhai triển
\( (a+b)^2 \)\( a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a+b)^3 \)\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \)
\( (a+b)^4 \)\( a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \)
\( (a+b)^5 \)\( a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 \)
\( (a+b)^6 \)\( a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6 \)

6.2. Các khai triển cơ bản của (a − b)ⁿ

Lũy thừaKhai triển
\( (a-b)^2 \)\( a^2 – 2ab + b^2 \)
\( (a-b)^3 \)\( a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)
\( (a-b)^4 \)\( a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4 \)
\( (a-b)^5 \)\( a^5 – 5a^4b + 10a^3b^2 – 10a^2b^3 + 5ab^4 – b^5 \)

6.3. Dạng đặc biệt (1 + x)ⁿ

\[ (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + … + x^n \]

Hay:

\[ (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k \]

6.4. Dạng đặc biệt (1 − x)ⁿ

\[ (1-x)^n = 1 – nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 – \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + … + (-1)^n x^n \]

\[ (1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k x^k \]

7. Phương pháp xác định số hạng trong khai triển

Đối với những bài không yêu cầu khai triển toàn bộ, số hạng tổng quát là công cụ quan trọng nhất để tìm đáp án nhanh.

7.1. Thiết lập số hạng tổng quát

Trong khai triển \( (a+b)^n \):

\[ T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \quad (k = 0, 1, 2, …, n) \]

Từ biểu thức này, ta có thể xác định số mũ, hệ số hoặc vị trí của số hạng cần tìm.

7.2. Cách tìm số hạng có chứa xᵐ

Các bước thực hiện:

  1. Lập số hạng tổng quát \( T_{k+1} \).
  2. Thu gọn để xác định số mũ của x theo k.
  3. Cho số mũ của x bằng m.
  4. Giải k và kiểm tra điều kiện 0 ≤ k ≤ n.

Ví dụ: Tìm số hạng chứa x⁴ trong:

\[ (x^2 + \frac{1}{x})^7 \]

Số hạng tổng quát:

\[ T_{k+1} = C_7^k \cdot (x^2)^{7-k} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^k = C_7^k \cdot x^{14-3k} \]

Để xuất hiện x⁴:

\[ 14 − 3k = 4 \Rightarrow k = 10/3 \]

Do k không nguyên nên không có số hạng chứa x⁴.

7.3. Xác định số hạng độc lập với x

Muốn tìm số hạng không chứa x, ta cho số mũ của x bằng 0.

Ví dụ: Tìm số hạng không chứa x trong:

\[ (x^2 – \frac{2}{x})^6 \]

Ta có:

\[ T_{k+1} = C_6^k \cdot (-2)^k \cdot x^{12-3k} \]

Điều kiện không chứa x:

\[ 12 − 3k = 0 \Rightarrow k = 4 \]

Suy ra:

\[ T_5 = C_6^4 \cdot (-2)^4 = 15 \times 16 = 240 \]

7.4. Phương pháp tìm hệ số lớn nhất

Có thể so sánh hai số hạng liên tiếp bằng tỉ số:

\[ \frac{T_{k+1}}{T_k} \geq 1 \text{ và } \frac{T_{k+2}}{T_{k+1}} \leq 1 \]

Từ các điều kiện trên, xác định k tương ứng với số hạng có hệ số lớn nhất.

7.5. Cách nhận biết số hạng nằm giữa

Trường hợpSố số hạngSố hạng giữa
n chẵn (n = 2m)2m + 1 (lẻ)Có 1 số hạng giữa: \( T_{m+1} \)
n lẻ (n = 2m + 1)2m + 2 (chẵn)Có 2 số hạng giữa: \( T_{m+1}, T_{m+2} \)

8. Những dạng bài nhị thức Newton thường xuất hiện

Bài tập về nhị thức Newton có thể được chia thành một số nhóm cơ bản dưới đây.

8.1. Dạng 1: Viết đầy đủ khai triển

Yêu cầu: Khai triển biểu thức (a + b)ⁿ.

Cách làm: Áp dụng trực tiếp công thức nhị thức Newton và lần lượt xác định các số hạng.

8.2. Dạng 2: Xác định hệ số của xᵐ

Yêu cầu: Tìm hệ số đứng trước số hạng chứa xᵐ.

Các bước:

  1. Viết số hạng tổng quát.
  2. Cho số mũ của x bằng m.
  3. Tìm k phù hợp rồi tính hệ số tương ứng.

8.3. Dạng 3: Xác định số hạng không phụ thuộc x

Yêu cầu: Tìm số hạng có số mũ của x bằng 0.

Cách làm: Lập số hạng tổng quát rồi giải phương trình số mũ của x bằng 0.

8.4. Dạng 4: Bài toán tổng các hệ số

Có thể xử lý nhanh bằng cách:

  • Tổng tất cả hệ số: thay x = 1.
  • Tổng hệ số ở vị trí chẵn hoặc lẻ: kết hợp x = 1 và x = −1.

8.5. Dạng 5: Xử lý tổng các số tổ hợp

Cách làm: Nhận dạng cấu trúc của tổng rồi vận dụng tính chất phù hợp của hệ số nhị thức.

8.6. Dạng 6: Xác định số hạng có hệ số cực đại

Cách làm: Lập tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp và so sánh với 1 để tìm vị trí hệ số lớn nhất.

8.7. Dạng 7: Chứng minh các đẳng thức tổ hợp

Cách làm: Khai triển một biểu thức thích hợp, sau đó so sánh các hệ số hoặc thay những giá trị đặc biệt vào biến.

9. Mở rộng nhị thức Newton cho số mũ bất kỳ

Ngoài trường hợp n nguyên dương, công thức nhị thức còn có dạng tổng quát dành cho số mũ không nguyên.

9.1. Công thức nhị thức Newton mở rộng

Với α là số thực bất kỳ và |x| < 1:

\[ (1+x)^{\alpha} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{\alpha}{k} x^k \]

Trong đó:

\[ \binom{\alpha}{k} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)…(\alpha-k+1)}{k!} \]

9.2. Khai triển khi số mũ là phân số

Với:

\[ \sqrt{1+x} = (1+x)^{1/2} \]

ta có:

\[ \sqrt{1+x} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 – … \]

Tương tự:

\[ \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1} \]

suy ra:

\[ \frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – x^3 + x^4 – … \quad (|x| < 1) \]

9.3. Trường hợp số mũ âm

Ví dụ với \( (1+x)^{-2} \):

\[ (1+x)^{-2} = 1 – 2x + 3x^2 – 4x^3 + 5x^4 – … \quad (|x| < 1) \]

9.4. Một số khai triển mở rộng quen thuộc

| Hàm số | Khai triển (\(|x| < 1\)) |
| — | — |
| \( (1+x)^{-1} \) | \( 1 – x + x^2 – x^3 + … \) |
| \( (1-x)^{-1} \) | \( 1 + x + x^2 + x^3 + … \) |
| \( (1+x)^{-2} \) | \( 1 – 2x + 3x^2 – 4x^3 + … \) |
| \( (1+x)^{1/2} \) | \( 1 + \frac{x}{2} – \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} – … \) |
| \( (1+x)^{-1/2} \) | \( 1 – \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} – \frac{5x^3}{16} + … \) |

10. Nhị thức Newton được ứng dụng vào đâu?

Nhị thức Newton xuất hiện trong nhiều nội dung toán học, từ đại số cơ bản đến xác suất và giải tích.

10.1. Ứng dụng trong đại số

  • Khai triển biểu thức có lũy thừa.
  • Rút gọn các biểu thức phức tạp.
  • Hỗ trợ chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức.

10.2. Liên hệ với giải tích

  • Khai triển Taylor của hàm số.
  • Tính gần đúng các giá trị.
  • Hỗ trợ tính giới hạn.

10.3. Vai trò trong xác suất – thống kê

Công thức xuất hiện trực tiếp trong phân phối nhị thức:

\[ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} \]

Qua đó có thể tính xác suất trong các thí nghiệm Bernoulli.

10.4. Ứng dụng vào các bài toán tổ hợp

  • Đếm số cách chọn.
  • Chứng minh đẳng thức tổ hợp.
  • Xử lý nhiều bài toán đếm khác nhau.

10.5. Liên hệ với lĩnh vực tin học

  • Thuật toán tính nhanh lũy thừa.
  • Lý thuyết mã hóa.
  • Phân tích độ phức tạp của thuật toán.

10.6. Dùng nhị thức Newton để tính gần đúng

Ví dụ: Tính gần đúng \( 1.02^{10} \)

\[ 1.02^{10} = (1 + 0.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) + \frac{10 \times 9}{2}(0.02)^2 \]

\[ = 1 + 0.2 + 45 \times 0.0004 = 1.218 \]

Giá trị chính xác là khoảng 1.21899…, vì vậy kết quả gần đúng khá sát.

11. Bài tập nhị thức Newton kèm hướng dẫn giải

Sau khi nắm công thức và tính chất, có thể củng cố kiến thức thông qua các ví dụ dưới đây.

Bài 1: Khai triển một nhị thức cơ bản

Đề bài: Khai triển \( (2x + 3)^4 \)

Lời giải:

Áp dụng công thức với a = 2x, b = 3 và n = 4:

\[ (2x + 3)^4 = \sum_{k=0}^{4} C_4^k (2x)^{4-k} \cdot 3^k \]

  • k = 0: \(16x^4\)
  • k = 1: \(96x^3\)
  • k = 2: \(216x^2\)
  • k = 3: \(216x\)
  • k = 4: \(81\)

Kết quả:

\[ (2x + 3)^4 = 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81 \]

Bài 2: Xác định hệ số của x⁵

Đề bài: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển \( (x^2 – 2x)^6 \)

Lời giải:

\[ (x^2 – 2x)^6 = [x(x – 2)]^6 = x^6(x – 2)^6 \]

Ta có:

\[ (x^2 – 2x)^6 = \sum_{k=0}^{6} C_6^k (-2)^k x^{12-k} \]

Muốn xuất hiện x⁵:

\[ 12 − k = 5 \Rightarrow k = 7 \]

Nhưng k = 7 không thỏa mãn 0 ≤ k ≤ 6.

Kết quả: Hệ số của x⁵ bằng 0.

Bài 3: Tìm số hạng độc lập với x

Đề bài: Tìm số hạng không chứa x trong:

\[ \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)^9 \]

Số hạng tổng quát:

\[ T_{k+1} = C_9^k x^{18-3k} \]

Điều kiện:

\[ 18 − 3k = 0 \Rightarrow k = 6 \]

Do đó:

\[ T_7 = C_9^6 = C_9^3 = 84 \]

Kết quả: Số hạng không chứa x là 84.

Bài 4: Tìm tổng tất cả hệ số

Đề bài: Tính tổng các hệ số trong khai triển \( (3x – 2)^{10} \)

Cho x = 1:

\[ (3 – 2)^{10} = 1 \]

Kết quả: Tổng các hệ số bằng 1.

Bài 5: Tính tổng các tổ hợp cùng hàng

Đề bài:

\[ C_{10}^0 + C_{10}^1 + C_{10}^2 + … + C_{10}^{10} \]

Sử dụng:

\[ \sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n \]

Ta được:

\[ 2^{10} = 1024 \]

Kết quả: 1024.

Bài 6: Tính tổng hệ số ở vị trí chẵn

Đề bài:

\[ C_8^0 + C_8^2 + C_8^4 + C_8^6 + C_8^8 \]

Theo tính chất:

\[ C_8^0 + C_8^2 + C_8^4 + C_8^6 + C_8^8 = 2^{8-1}=128 \]

Kiểm tra:

1 + 28 + 70 + 28 + 1 = 128.

Kết quả: 128.

Bài 7: Xác định hệ số lớn nhất

Đề bài: Tìm số hạng có hệ số lớn nhất trong \( (1+x)^{10} \).

Số hạng tổng quát:

\[ T_{k+1}=C_{10}^k x^k \]

Xét:

\[ \frac{C_{10}^k}{C_{10}^{k-1}} = \frac{11-k}{k} \]

Ta có:

\[ \frac{11-k}{k} \geq 1 \Leftrightarrow k \leq 5.5 \]

Do đó hệ số lớn nhất đạt tại k = 5:

\[ C_{10}^5=252 \]

Kết quả: Số hạng có hệ số lớn nhất là \(252x^5\).

Bài 8: Khai triển nhị thức có dấu trừ

Đề bài: Khai triển \( (x – 2y)^5 \)

Dựa vào hàng n = 5 của tam giác Pascal:

1, 5, 10, 10, 5, 1

Ta có:

\[ (x – 2y)^5 = x^5 – 10x^4y + 40x^3y^2 – 80x^2y^3 + 80xy^4 – 32y^5 \]

Bài 9: Chứng minh công thức tổng hệ số

Đề bài: Chứng minh:

\[ C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + … + C_n^n = 2^n \]

Theo nhị thức Newton:

\[ (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k \]

Đặt a = b = 1:

\[ (1+1)^n = \sum_{k=0}^{n}C_n^k \]

Suy ra:

\[ 2^n=C_n^0+C_n^1+…+C_n^n \]

(đpcm)

Bài 10: Tìm hệ số của một đơn thức cụ thể

Đề bài: Tìm hệ số của \(x^3y^4\) trong khai triển \((2x+3y)^7\).

Số hạng tổng quát:

\[ T_{k+1}=C_7^k(2x)^{7-k}(3y)^k \]

Muốn có \(x^3y^4\):

\[7-k=3 \Rightarrow k=4\]

Khi đó:

\[T_5=C_7^4(2x)^3(3y)^4\]

\[=35\times8\times81x^3y^4\]

Hệ số cần tìm:

\[35\times8\times81=\mathbf{22680}\]

Bài 11: Bài toán tổng hệ số chẵn

Đề bài: Cho:

\[ (1+x)^n=a_0+a_1x+a_2x^2+…+a_nx^n \]

Tính:

\[a_0+a_2+a_4+…\]

Ta có \(a_k=C_n^k\).

Thay x = 1:

\[a_0+a_1+a_2+…+a_n=2^n\]

Thay x = −1:

\[a_0-a_1+a_2-a_3+…=0\]

Cộng hai đẳng thức:

\[2(a_0+a_2+a_4+…)=2^n\]

Do đó:

\[a_0+a_2+a_4+…=2^{n-1}\]

Kết quả: \(2^{n-1}\).

Bài 12: Áp dụng nhị thức Newton để tính gần đúng

Đề bài: Tính gần đúng \(0.99^5\) bằng nhị thức Newton, lấy đến số hạng thứ ba.

Ta có:

\[0.99^5=(1-0.01)^5\]

Khai triển gần đúng:

\[(1-0.01)^5\approx1-5(0.01)+10(0.01)^2\]

\[=1-0.05+0.001=0.951\]

Kết quả: \(0.99^5\approx0.951\).

Giá trị chính xác là 0.9509900499…, cho thấy phép tính gần đúng đạt độ chính xác khá cao.

12. Ghi nhớ nhanh kiến thức về nhị thức Newton

Qua các nội dung trên, có thể hệ thống những công thức quan trọng của nhị thức Newton như sau:

  • Công thức khai triển: \( (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \)
  • Số hạng tổng quát: \( T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \)
  • Công thức tổ hợp: \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
  • Tính đối xứng: \( C_n^k = C_n^{n-k} \)
  • Công thức Pascal: \( C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k \)
  • Tổng hệ số: \( C_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n = 2^n \)
  • Tổng hệ số chẵn và lẻ: \( C_n^0 + C_n^2 + … = C_n^1 + C_n^3 + … = 2^{n-1} \)
  • Với khai triển (a − b)ⁿ, dấu của các số hạng lần lượt xen kẽ +, −, +, −,…
  • Khai triển (a + b)ⁿ luôn có n + 1 số hạng.

13. Kết Luận

Nắm chắc công thức tổng quát, số hạng thứ k + 1 và các tính chất của hệ số tổ hợp sẽ giúp bạn xử lý phần lớn dạng toán về nhị thức Newton nhanh và chính xác hơn.

Có thể bạn quan tâm

Nguồn: www.vjol.info
Danh mục: Toán học