Đường cao là gì? Tính chất 3 đường cao trong tam giác và bài tập

Đường cao là gì? Đây là câu hỏi cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình Toán hình học. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ khái niệm đường cao, cách xác định đường cao trong tam giác, các tính chất quan trọng và công thức tính độ dài đường cao kèm theo bài tập minh họa chi tiết.

Đường cao là gì?

Đường cao là gì? Trong hình học, đường cao của một hình là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh xuống cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện). Chân đường cao là giao điểm của đường cao với cạnh đối diện.

Đặc điểm nhận biết đường cao:

• Xuất phát từ một đỉnh của hình
• Vuông góc với cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó)
• Tạo thành góc 90° tại chân đường cao

Đường cao được sử dụng phổ biến nhất trong tam giác, vì vậy chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về đường cao trong tam giác ở phần tiếp theo.

Đường cao trong tam giác

Đường cao trong tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện của đỉnh đó.

Cách xác định đường cao trong tam giác

Cho tam giác ABC, đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC được xác định như sau:

• Kẻ đường thẳng từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC
• Giao điểm H của đường thẳng này với BC (hoặc đường thẳng chứa BC) gọi là chân đường cao
• Đoạn thẳng AH chính là đường cao của tam giác
• Ký hiệu: \( AH \perp BC \) hoặc \( h_a \) (đường cao từ đỉnh A)

Số lượng đường cao trong tam giác

Mỗi tam giác có đúng 3 đường cao, tương ứng với 3 đỉnh:

Vị trí đường cao theo loại tam giác

Vị trí chân đường cao thay đổi tùy thuộc vào loại tam giác:

Hiểu rõ vị trí đường cao giúp ta nắm bắt các tính chất quan trọng của đường cao trong tam giác.

Tính chất của đường cao trong tam giác

Để trả lời đầy đủ câu hỏi đường cao là gì, chúng ta cần nắm vững các tính chất sau:

Tính chất 1: Ba đường cao đồng quy tại một điểm

Ba đường cao của một tam giác luôn đồng quy tại một điểm, điểm đó gọi là trực tâm (ký hiệu H).

Tính chất 2: Đường cao trong tam giác cân

Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy đồng thời là:

• Đường trung tuyến
• Đường phân giác
• Đường trung trực của cạnh đáy

Tính chất 3: Đường cao trong tam giác đều

Trong tam giác đều, cả ba đường cao đều bằng nhau và mỗi đường cao đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.

Tính chất 4: Đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông:

• Hai cạnh góc vuông chính là hai đường cao
• Trực tâm trùng với đỉnh góc vuông
• Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền có nhiều tính chất đặc biệt (hệ thức lượng)

Nắm vững các tính chất trên, chúng ta sẽ đi vào phần công thức tính độ dài đường cao.

Công thức tính độ dài đường cao trong tam giác

Công thức tính đường cao theo diện tích

Từ công thức tính diện tích tam giác: \( S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{đường cao} \)

Ta suy ra công thức tính đường cao:

\( h_a = \frac{2S}{a} \)

Trong đó:

• \( h_a \): Đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh a
• S: Diện tích tam giác
• a: Độ dài cạnh đáy tương ứng

Tương tự:

• \( h_b = \frac{2S}{b} \)
• \( h_c = \frac{2S}{c} \)

Công thức tính đường cao khi biết ba cạnh (dùng công thức Heron)

Bước 1: Tính nửa chu vi: \( p = \frac{a + b + c}{2} \)

Bước 2: Tính diện tích theo công thức Heron:

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

Bước 3: Tính đường cao: \( h_a = \frac{2S}{a} \)

Công thức đường cao trong tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH hạ xuống cạnh huyền BC:

\( AH = \frac{AB \times AC}{BC} \)

Hoặc: \( AH^2 = BH \times HC \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Công thức đường cao trong tam giác đều

Cho tam giác đều cạnh a:

\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)

Với các công thức trên, hãy cùng áp dụng vào các bài tập cụ thể.

Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Tính đường cao khi biết diện tích và cạnh đáy

Đề bài: Tam giác ABC có diện tích S = 60 cm² và cạnh BC = 12 cm. Tính độ dài đường cao hạ từ A xuống BC.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính đường cao:

\( h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 60}{12} = \frac{120}{12} = 10 \) (cm)

Đáp số: Đường cao AH = 10 cm

Bài tập 2: Tính đường cao trong tam giác vuông

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài đường cao AH kẻ từ A xuống cạnh huyền BC.

Lời giải:

Tính cạnh huyền BC (định lý Pythagore):

\( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) (cm)

Tính đường cao AH:

\( AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4,8 \) (cm)

Đáp số: AH = 4,8 cm

Bài tập 3: Tính đường cao trong tam giác đều

Đề bài: Cho tam giác đều ABC có cạnh a = 10 cm. Tính độ dài đường cao của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng công thức đường cao trong tam giác đều:

\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8,66 \) (cm)

Đáp số: h = \( 5\sqrt{3} \) cm ≈ 8,66 cm

Bài tập 4: Tính đường cao khi biết ba cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có các cạnh a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. Tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.

Lời giải:

Bước 1: Tính nửa chu vi:

\( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21 \) (cm)

Bước 2: Tính diện tích theo công thức Heron:

\( S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \)

\( S = \sqrt{21 \times (21-13) \times (21-14) \times (21-15)} \)

\( S = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84 \) (cm²)

Bước 3: Tính đường cao:

\( h_a = \frac{2S}{a} = \frac{2 \times 84}{13} = \frac{168}{13} \approx 12,92 \) (cm)

Đáp số: \( h_a \approx 12,92 \) cm

Bài tập 5: Bài toán ngược – Tính cạnh đáy khi biết diện tích và đường cao

Đề bài: Tam giác ABC có diện tích 45 cm² và đường cao hạ từ A bằng 9 cm. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

Từ công thức: \( S = \frac{1}{2} \times a \times h_a \)

Suy ra: \( a = \frac{2S}{h_a} = \frac{2 \times 45}{9} = \frac{90}{9} = 10 \) (cm)

Đáp số: BC = 10 cm

Kết luận

Qua bài viết này, bạn đã hiểu rõ đường cao là gì cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Hãy ghi nhớ: Đường cao là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh vuông góc với cạnh đối diện, ba đường cao trong tam giác đồng quy tại trực tâm, và công thức tính đường cao là \( h = \frac{2S}{a} \). Việc nắm vững khái niệm và công thức về đường cao sẽ giúp bạn giải quyết tốt các bài toán hình học trong chương trình học.