Số nguyên tố là gì? Bảng các số nguyên tố, cách tìm chi tiết

Số nguyên tố là một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng nhất trong Toán học, được học từ chương trình Toán lớp 6 và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như mật mã học, khoa học máy tính. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước là 1 và chính nó. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, cách nhận biết, tính chất và các ví dụ minh họa chi tiết về số nguyên tố.

1. Số nguyên tố là gì?

Số nguyên tố là khái niệm cơ bản trong lý thuyết số, được định nghĩa như sau:

1.1. Định nghĩa số nguyên tố

Định nghĩa: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó.

Ký hiệu: Tập hợp các số nguyên tố thường được ký hiệu là ℙ (Prime).

\[ \mathbb{P} = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …\} \]

1.2. Giải thích định nghĩa

Một số n được gọi là số nguyên tố khi thỏa mãn:

• n > 1 (n là số tự nhiên lớn hơn 1)
• n chỉ chia hết cho 1 và chính nó
• Không tồn tại số tự nhiên a nào khác 1 và n sao cho n chia hết cho a

1.3. Ví dụ minh họa

Số	Các ước số	Số lượng ước	Kết luận
2	1, 2	2	✓ Số nguyên tố
3	1, 3	2	✓ Số nguyên tố
4	1, 2, 4	3	✗ Không phải
5	1, 5	2	✓ Số nguyên tố
6	1, 2, 3, 6	4	✗ Không phải
7	1, 7	2	✓ Số nguyên tố

1.4. Các số đặc biệt

Số	Phân loại	Lý do
0	Không phải số nguyên tố	0 không lớn hơn 1
1	Không phải số nguyên tố	1 chỉ có một ước là chính nó
2	Số nguyên tố	Số nguyên tố chẵn duy nhất

2. Bảng các số nguyên tố từ 1 đến 100

Dưới đây là bảng liệt kê tất cả các số nguyên tố từ 1 đến 100:

2.1. Danh sách 25 số nguyên tố đầu tiên

STT	Số nguyên tố	STT	Số nguyên tố	STT	Số nguyên tố
1	2	10	29	19	67
2	3	11	31	20	71
3	5	12	37	21	73
4	7	13	41	22	79
5	11	14	43	23	83
6	13	15	47	24	89
7	17	16	53	25	97
8	19	17	59
9	23	18	61

2.2. Bảng số nguyên tố từ 1 đến 100 (đánh dấu)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0x			2	3		5		7
1x		11		13				17		19
2x				23						29
3x		31						37
4x		41		43				47
5x				53						59
6x		61						67
7x		71		73						79
8x				83						89
9x								97

2.3. Thống kê số nguyên tố

Phạm vi	Số lượng số nguyên tố	Các số nguyên tố
1 – 10	4	2, 3, 5, 7
11 – 20	4	11, 13, 17, 19
21 – 30	2	23, 29
31 – 40	2	31, 37
41 – 50	3	41, 43, 47
51 – 60	2	53, 59
61 – 70	2	61, 67
71 – 80	3	71, 73, 79
81 – 90	2	83, 89
91 – 100	1	97
Tổng	25

3. Cách kiểm tra một số có phải số nguyên tố không

Để xác định một số có phải là số nguyên tố hay không, ta có các phương pháp sau:

3.1. Phương pháp kiểm tra cơ bản

Nguyên tắc: Kiểm tra xem số n có chia hết cho số nào từ 2 đến n-1 không.

Các bước:

1. Nếu n ≤ 1 → Không phải số nguyên tố
2. Nếu n = 2 → Là số nguyên tố
3. Nếu n chẵn (n > 2) → Không phải số nguyên tố
4. Kiểm tra n có chia hết cho các số từ 3 đến n-1 không

3.2. Phương pháp kiểm tra tối ưu

Định lý: Nếu n không phải số nguyên tố thì n có ước số nhỏ hơn hoặc bằng \( \sqrt{n} \).

Nguyên tắc: Chỉ cần kiểm tra n có chia hết cho các số nguyên tố từ 2 đến \( \sqrt{n} \).

\[ \text{Kiểm tra các số nguyên tố } p \leq \sqrt{n} \]

Các bước:

1. Tính \( \sqrt{n} \)
2. Kiểm tra n có chia hết cho các số nguyên tố ≤ \( \sqrt{n} \)
3. Nếu không chia hết cho số nào → n là số nguyên tố

3.3. Ví dụ kiểm tra

Ví dụ 1: Kiểm tra 97 có phải số nguyên tố không?

Giải:

\( \sqrt{97} \approx 9.85 \)

Các số nguyên tố ≤ 9: 2, 3, 5, 7

• 97 ÷ 2 = 48 dư 1 (không chia hết)
• 97 ÷ 3 = 32 dư 1 (không chia hết)
• 97 ÷ 5 = 19 dư 2 (không chia hết)
• 97 ÷ 7 = 13 dư 6 (không chia hết)

Kết luận: 97 là số nguyên tố.

Ví dụ 2: Kiểm tra 91 có phải số nguyên tố không?

Giải:

\( \sqrt{91} \approx 9.54 \)

Các số nguyên tố ≤ 9: 2, 3, 5, 7

• 91 ÷ 2 = 45 dư 1 (không chia hết)
• 91 ÷ 3 = 30 dư 1 (không chia hết)
• 91 ÷ 5 = 18 dư 1 (không chia hết)
• 91 ÷ 7 = 13 (chia hết!)

Kết luận: 91 = 7 × 13, không phải số nguyên tố.

3.4. Bảng các số nguyên tố cần kiểm tra

Phạm vi n	\( \sqrt{n} \)	Các số nguyên tố cần kiểm tra
n ≤ 4	≤ 2	2
n ≤ 9	≤ 3	2, 3
n ≤ 25	≤ 5	2, 3, 5
n ≤ 49	≤ 7	2, 3, 5, 7
n ≤ 121	≤ 11	2, 3, 5, 7, 11
n ≤ 169	≤ 13	2, 3, 5, 7, 11, 13

3.5. Dấu hiệu nhận biết nhanh số KHÔNG phải nguyên tố

Dấu hiệu	Kết luận	Ngoại lệ
Số chẵn (tận cùng 0, 2, 4, 6, 8)	Không phải SNT	Trừ số 2
Tận cùng là 5	Không phải SNT	Trừ số 5
Tổng các chữ số chia hết cho 3	Không phải SNT	Trừ số 3
Tận cùng là 0	Không phải SNT	Không có

4. Tính chất của số nguyên tố

Các số nguyên tố có những tính chất quan trọng sau:

4.1. Tính chất cơ bản

STT	Tính chất	Giải thích
1	Số nguyên tố nhỏ nhất là 2	2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
2	Mọi số nguyên tố > 2 đều lẻ	Số chẵn > 2 chia hết cho 2
3	Có vô số số nguyên tố	Định lý Euclid
4	Mọi số nguyên > 1 đều phân tích được thành tích các SNT	Định lý cơ bản của số học

4.2. Định lý cơ bản của số học

Định lý: Mọi số nguyên dương lớn hơn 1 đều có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố (không kể thứ tự).

\[ n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times … \times p_k^{a_k} \]

Trong đó \( p_1 < p_2 < … < p_k \) là các số nguyên tố và \( a_1, a_2, …, a_k \) là các số mũ nguyên dương.

Ví dụ:

• \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)
• \( 100 = 2^2 \times 5^2 \)

4.3. Tính chất về phép chia

Tính chất 1: Nếu p là số nguyên tố và p | ab thì p | a hoặc p | b.

Tính chất 2: Nếu p là số nguyên tố và p | a² thì p | a.

Tính chất 3: Nếu a và b nguyên tố cùng nhau, a | c và b | c thì ab | c.

4.4. Định lý Euclid về số lượng số nguyên tố

Định lý: Có vô số số nguyên tố.

Chứng minh (phản chứng):

Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố: \( p_1, p_2, …, p_n \)

Xét số: \( N = p_1 \times p_2 \times … \times p_n + 1 \)

N không chia hết cho bất kỳ \( p_i \) nào (vì chia dư 1).

Vậy N phải là số nguyên tố mới hoặc có ước nguyên tố khác \( p_1, …, p_n \).

Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy có vô số số nguyên tố.

5. Phân biệt số nguyên tố và hợp số

Để hiểu rõ hơn về số nguyên tố, cần phân biệt với hợp số:

5.1. Định nghĩa hợp số

Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước số.

5.2. Bảng so sánh

Tiêu chí	Số nguyên tố	Hợp số
Định nghĩa	Có đúng 2 ước (1 và chính nó)	Có nhiều hơn 2 ước
Điều kiện	n > 1	n > 1
Số nhỏ nhất	2	4
Ví dụ	2, 3, 5, 7, 11, 13	4, 6, 8, 9, 10, 12
Phân tích	Không phân tích được nữa	Phân tích được thành tích các SNT

5.3. Phân loại số tự nhiên

Số	Số ước	Phân loại
0	Vô số	Không phải SNT, không phải hợp số
1	1	Không phải SNT, không phải hợp số
2, 3, 5, 7, …	2	Số nguyên tố
4, 6, 8, 9, …	> 2	Hợp số

5.4. Sơ đồ phân loại

Số tự nhiên n:

• n = 0 hoặc n = 1: Không thuộc loại nào
• n > 1:
  • Có đúng 2 ước → Số nguyên tố
  • Có > 2 ước → Hợp số

6. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

Phân tích ra thừa số nguyên tố là kỹ năng quan trọng liên quan đến số nguyên tố:

6.1. Phương pháp phân tích

Các bước:

1. Chia số đó cho số nguyên tố nhỏ nhất có thể (2, 3, 5, 7, …)
2. Tiếp tục chia thương cho số nguyên tố nhỏ nhất
3. Lặp lại đến khi thương bằng 1
4. Viết kết quả dưới dạng tích các lũy thừa của số nguyên tố

6.2. Ví dụ phân tích

Ví dụ 1: Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố.

Số	Chia cho
60	2
30	2
15	3
5	5
1

Kết quả: \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

Ví dụ 2: Phân tích 360 ra thừa số nguyên tố.

Số	Chia cho
360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Kết quả: \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \)

6.3. Ứng dụng của phân tích thừa số nguyên tố

Ứng dụng	Công thức
Tìm ƯCLN	Tích các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất
Tìm BCNN	Tích các thừa số với số mũ lớn nhất
Đếm số ước	\( (a_1 + 1)(a_2 + 1)…(a_k + 1) \)
Tổng các ước	\( \frac{p_1^{a_1+1} – 1}{p_1 – 1} \times … \times \frac{p_k^{a_k+1} – 1}{p_k – 1} \)

6.4. Công thức đếm số ước

Nếu \( n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times … \times p_k^{a_k} \), thì số ước của n là:

\[ d(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)…(a_k + 1) \]

Ví dụ: \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)

Số ước của 60: \( (2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \)

7. Số nguyên tố cùng nhau

Khái niệm liên quan mật thiết đến số nguyên tố:

7.1. Định nghĩa

Định nghĩa: Hai số nguyên dương a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1.

\[ \text{ƯCLN}(a, b) = 1 \Leftrightarrow a, b \text{ nguyên tố cùng nhau} \]

7.2. Ví dụ

Cặp số	ƯCLN	Nguyên tố cùng nhau?
(8, 15)	1	✓ Có
(12, 25)	1	✓ Có
(9, 12)	3	✗ Không
(14, 35)	7	✗ Không
(7, 11)	1	✓ Có (2 SNT khác nhau)

7.3. Tính chất

• Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
• 1 nguyên tố cùng nhau với mọi số nguyên dương
• Hai số nguyên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
• a và b nguyên tố cùng nhau không có nghĩa a hoặc b là số nguyên tố

8. Các số nguyên tố đặc biệt

Trong tập hợp các số nguyên tố, có một số loại đặc biệt:

8.1. Số nguyên tố sinh đôi

Định nghĩa: Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng hơn kém nhau 2.

Ví dụ:

• (3, 5)
• (5, 7)
• (11, 13)
• (17, 19)
• (29, 31)
• (41, 43)
• (59, 61)
• (71, 73)

8.2. Số nguyên tố Mersenne

Định nghĩa: Số nguyên tố có dạng \( M_n = 2^n – 1 \) (với n là số nguyên tố).

Các số Mersenne đầu tiên:

n	\( 2^n – 1 \)	Là SNT?
2	3	✓
3	7	✓
5	31	✓
7	127	✓
11	2047 = 23 × 89	✗
13	8191	✓

8.3. Số nguyên tố Fermat

Định nghĩa: Số có dạng \( F_n = 2^{2^n} + 1 \)

Các số Fermat đầu tiên:

n	\( F_n \)	Là SNT?
0	3	✓
1	5	✓
2	17	✓
3	257	✓
4	65537	✓
5	4294967297	✗ (= 641 × 6700417)

8.4. Số nguyên tố Sophie Germain

Định nghĩa: Số nguyên tố p sao cho 2p + 1 cũng là số nguyên tố.

Ví dụ: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, …

8.5. Số nguyên tố palindrome

Định nghĩa: Số nguyên tố đọc xuôi ngược đều giống nhau.

Ví dụ: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, …

9. Ứng dụng của số nguyên tố

Số nguyên tố có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế:

9.1. Mật mã học (Cryptography)

Ứng dụng: Hệ mã hóa RSA sử dụng tích của hai số nguyên tố lớn.

Nguyên lý:

• Dễ dàng nhân hai số nguyên tố lớn
• Rất khó phân tích một số lớn thành thừa số nguyên tố
• Đây là nền tảng cho bảo mật thông tin trên Internet

9.2. Hàm băm (Hash Functions)

Số nguyên tố được dùng trong các thuật toán hàm băm để giảm xung đột.

9.3. Tìm ƯCLN và BCNN

Phân tích ra thừa số nguyên tố giúp tìm ƯCLN, BCNN một cách hệ thống.

9.4. Kiểm tra tính chia hết

Dựa vào số nguyên tố để xây dựng các quy tắc chia hết.

9.5. Bảng tổng hợp ứng dụng

Lĩnh vực	Ứng dụng cụ thể
Bảo mật	Mã hóa RSA, SSL/TLS, chữ ký số
Toán học	Lý thuyết số, đại số, giải tích
Tin học	Hàm băm, bảng băm, kiểm tra lỗi
Vật lý	Cơ học lượng tử, mật mã lượng tử
Sinh học	Chu kỳ sinh sản của ve sầu (13, 17 năm)

10. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về số nguyên tố, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Xác định số nguyên tố

Đề bài: Trong các số sau, số nào là số nguyên tố: 37, 51, 67, 91, 97?

Lời giải:

Số 37:

\( \sqrt{37} \approx 6.08 \). Kiểm tra 2, 3, 5:

• 37 không chia hết cho 2 (số lẻ)
• 37 không chia hết cho 3 (3 + 7 = 10, không chia hết cho 3)
• 37 không chia hết cho 5

→ 37 là số nguyên tố

Số 51:

5 + 1 = 6 chia hết cho 3 → 51 = 3 × 17

→ 51 không phải số nguyên tố

Số 67:

\( \sqrt{67} \approx 8.19 \). Kiểm tra 2, 3, 5, 7:

• 67 lẻ, không chia hết cho 2
• 6 + 7 = 13, không chia hết cho 3
• Không tận cùng bằng 0 hoặc 5
• 67 ÷ 7 = 9 dư 4

→ 67 là số nguyên tố

Số 91:

91 = 7 × 13

→ 91 không phải số nguyên tố

Số 97:

\( \sqrt{97} \approx 9.85 \). Kiểm tra 2, 3, 5, 7:

• 97 lẻ
• 9 + 7 = 16, không chia hết cho 3
• Không tận cùng bằng 0 hoặc 5
• 97 ÷ 7 = 13 dư 6

→ 97 là số nguyên tố

Kết quả: Các số nguyên tố là: 37, 67, 97

Bài tập 2: Phân tích ra thừa số nguyên tố

Đề bài: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố: 72, 150, 252

Lời giải:

a) 72:

72 = 2 × 36 = 2 × 2 × 18 = 2 × 2 × 2 × 9 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3

\[ 72 = 2^3 \times 3^2 \]

b) 150:

150 = 2 × 75 = 2 × 3 × 25 = 2 × 3 × 5 × 5

\[ 150 = 2 \times 3 \times 5^2 \]

c) 252:

252 = 2 × 126 = 2 × 2 × 63 = 4 × 63 = 4 × 9 × 7 = 2² × 3² × 7

\[ 252 = 2^2 \times 3^2 \times 7 \]

Bài tập 3: Tìm ƯCLN và BCNN

Đề bài: Tìm ƯCLN và BCNN của 84 và 120.

Lời giải:

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

• \( 84 = 2^2 \times 3 \times 7 \)
• \( 120 = 2^3 \times 3 \times 5 \)

ƯCLN: Lấy các thừa số chung với số mũ nhỏ nhất:

\[ \text{ƯCLN}(84, 120) = 2^2 \times 3 = 12 \]

BCNN: Lấy tất cả các thừa số với số mũ lớn nhất:

\[ \text{BCNN}(84, 120) = 2^3 \times 3 \times 5 \times 7 = 840 \]

Bài tập 4: Đếm số ước

Đề bài: Số 360 có bao nhiêu ước số dương?

Lời giải:

Phân tích: \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)

Số ước: \( (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \times 3 \times 2 = 24 \)

Kết quả: 360 có 24 ước số dương.

Bài tập 5: Tìm số nguyên tố trong khoảng

Đề bài: Tìm tất cả các số nguyên tố trong khoảng từ 50 đến 70.

Lời giải:

Các số cần kiểm tra: 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69

• 51 = 3 × 17 (loại)
• 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68: số chẵn (loại)
• 55, 65: tận cùng bằng 5 (loại)
• 57 = 3 × 19 (loại)
• 63 = 9 × 7 (loại)
• 69 = 3 × 23 (loại)
• 53: Kiểm tra → Số nguyên tố
• 59: Kiểm tra → Số nguyên tố
• 61: Kiểm tra → Số nguyên tố
• 67: Kiểm tra → Số nguyên tố

Kết quả: Các số nguyên tố từ 50 đến 70 là: 53, 59, 61, 67

Bài tập 6: Số nguyên tố cùng nhau

Đề bài: Kiểm tra các cặp số sau có nguyên tố cùng nhau không: (15, 28), (24, 35), (18, 25)

Lời giải:

(15, 28):

• 15 = 3 × 5
• 28 = 2² × 7
• Không có thừa số nguyên tố chung → ƯCLN = 1

→ Nguyên tố cùng nhau

(24, 35):

• 24 = 2³ × 3
• 35 = 5 × 7
• Không có thừa số nguyên tố chung → ƯCLN = 1

→ Nguyên tố cùng nhau

(18, 25):

• 18 = 2 × 3²
• 25 = 5²
• Không có thừa số nguyên tố chung → ƯCLN = 1

→ Nguyên tố cùng nhau

Bài tập 7: Tìm số nguyên tố thỏa điều kiện

Đề bài: Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 cũng là số nguyên tố.

Lời giải:

Xét 3 số liên tiếp: p, p + 2, p + 4 (cách nhau 2 đơn vị).

Trong 3 số bất kỳ cách nhau 2 đơn vị, có ít nhất một số chia hết cho 3.

Để cả 3 số đều là số nguyên tố, số chia hết cho 3 phải chính là 3.

Vậy p = 3:

• p = 3 (số nguyên tố ✓)
• p + 2 = 5 (số nguyên tố ✓)
• p + 4 = 7 (số nguyên tố ✓)

Kết quả: p = 3 (bộ ba số nguyên tố duy nhất: 3, 5, 7)

Bài tập 8: Biểu diễn số dưới dạng tổng/hiệu số nguyên tố

Đề bài: Viết số 30 dưới dạng tổng của hai số nguyên tố (tất cả các cách).

Lời giải:

Các cặp số nguyên tố có tổng bằng 30:

• 30 = 7 + 23 ✓
• 30 = 11 + 19 ✓
• 30 = 13 + 17 ✓

Kết quả: 30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17

Bài tập 9: Tìm số nhỏ nhất có đúng n ước

Đề bài: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có đúng 12 ước.

Lời giải:

Phân tích: 12 = (a₁ + 1)(a₂ + 1)… có các cách:

• 12 = 12 → \( n = p^{11} \), nhỏ nhất: \( 2^{11} = 2048 \)
• 12 = 6 × 2 → \( n = p^5 \times q \), nhỏ nhất: \( 2^5 \times 3 = 96 \)
• 12 = 4 × 3 → \( n = p^3 \times q^2 \), nhỏ nhất: \( 2^3 \times 3^2 = 72 \)
• 12 = 3 × 2 × 2 → \( n = p^2 \times q \times r \), nhỏ nhất: \( 2^2 \times 3 \times 5 = 60 \)

Kết quả: Số nhỏ nhất có đúng 12 ước là 60.

Bài tập 10: Chứng minh

Đề bài: Chứng minh rằng nếu n > 1 không chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ hơn hoặc bằng \( \sqrt{n} \), thì n là số nguyên tố.

Lời giải:

Giả sử n không phải số nguyên tố, tức n là hợp số.

Khi đó n = a × b với 1 < a ≤ b < n.

Vì a ≤ b và ab = n, nên \( a^2 \leq ab = n \), suy ra \( a \leq \sqrt{n} \).

Vì a > 1, nên a có ước nguyên tố p ≤ a ≤ \( \sqrt{n} \).

Do p | a và a | n, nên p | n.

Điều này mâu thuẫn với giả thiết n không chia hết cho số nguyên tố nào ≤ \( \sqrt{n} \).

Vậy n phải là số nguyên tố. (đpcm)

11. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về số nguyên tố cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Số nguyên tố là số tự nhiên > 1, chỉ có đúng 2 ước là 1 và chính nó
• Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất, mọi số nguyên tố khác đều lẻ
• Kiểm tra nhanh: Chỉ cần kiểm tra các ước nguyên tố ≤ \( \sqrt{n} \)
• Có vô số số nguyên tố (Định lý Euclid)
• Mọi số > 1 đều phân tích được thành tích các số nguyên tố (duy nhất)
• Số nguyên tố cùng nhau: ƯCLN = 1 (không cần là số nguyên tố)
• Ứng dụng: Mật mã RSA, hàm băm, tìm ƯCLN/BCNN

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về số nguyên tố và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!