Tập hợp các số hữu tỉ là gì? Ký hiệu, số hữu tỉ và ví dụ chi tiết

Tập hợp các số hữu tỉ là một trong những khái niệm nền tảng quan trọng nhất trong chương trình Toán học, được học từ lớp 7 và ứng dụng xuyên suốt trong mọi cấp học. Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn dưới dạng phân số p/q, trong đó p, q là các số nguyên và q ≠ 0, được ký hiệu là ℚ. Bài viết dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa, tính chất, cách biểu diễn và các ví dụ minh họa chi tiết về tập hợp các số hữu tỉ.

1. Số hữu tỉ là gì?

Số hữu tỉ là loại số cơ bản trong hệ thống các tập hợp số:

1.1. Định nghĩa số hữu tỉ

Định nghĩa: Số hữu tỉ (rational number) là số có thể viết dưới dạng phân số \( \frac{p}{q} \), trong đó p và q là các số nguyên, q ≠ 0.

\[ x \text{ là số hữu tỉ} \Leftrightarrow x = \frac{p}{q} \text{ với } p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \]

1.2. Ý nghĩa tên gọi

• “Hữu tỉ” nghĩa là “có tỉ số” (có thể biểu diễn bằng tỉ số hai số nguyên)
• Tiếng Anh: Rational number (từ “ratio” = tỉ số)
• Ký hiệu ℚ từ chữ “Quotient” (thương)

1.3. Ví dụ cơ bản

Số	Dạng phân số	Giải thích
3	\( \frac{3}{1} \)	Số nguyên dương
-5	\( \frac{-5}{1} \)	Số nguyên âm
0	\( \frac{0}{1} \)	Số không
0.5	\( \frac{1}{2} \)	Số thập phân hữu hạn
-2.75	\( \frac{-11}{4} \)	Số thập phân hữu hạn âm
0.333…	\( \frac{1}{3} \)	Số thập phân vô hạn tuần hoàn

1.4. Lưu ý quan trọng

• Mỗi số hữu tỉ có vô số cách biểu diễn dạng phân số: \( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = … \)
• Dạng tối giản là dạng mà gcd(|p|, |q|) = 1
• Số nguyên là trường hợp đặc biệt của số hữu tỉ (q = 1)

2. Tập hợp các số hữu tỉ và ký hiệu

Hiểu rõ về tập hợp các số hữu tỉ và cách ký hiệu chuẩn:

2.1. Ký hiệu tập hợp

Tập hợp các số hữu tỉ được ký hiệu là ℚ (Q viết hoa, từ “Quotient”).

\[ \mathbb{Q} = \left\{ \frac{p}{q} \mid p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right\} \]

2.2. Cách đọc

• ℚ đọc là “tập hợp Q” hoặc “tập số hữu tỉ”
• x ∈ ℚ đọc là “x thuộc tập số hữu tỉ” hay “x là số hữu tỉ”
• x ∉ ℚ đọc là “x không thuộc tập số hữu tỉ” hay “x không là số hữu tỉ”

2.3. Các ký hiệu liên quan

Ký hiệu	Ý nghĩa	Ví dụ phần tử
ℚ	Tập hợp các số hữu tỉ	\( \frac{1}{2}, -3, 0.75 \)
ℚ⁺	Tập số hữu tỉ dương	\( \frac{1}{2}, 3, 0.25 \)
ℚ⁻	Tập số hữu tỉ âm	\( -\frac{1}{2}, -3, -0.75 \)
ℚ*	Tập số hữu tỉ khác 0	\( \frac{1}{2}, -3, 0.75 \)

2.4. Tính chất cơ bản của tập ℚ

• Tập vô hạn: Có vô số số hữu tỉ
• Đếm được (countable): Có thể đánh số thứ tự 1, 2, 3, …
• Trù mật: Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn có vô số số hữu tỉ khác
• Đóng với các phép tính: Cộng, trừ, nhân, chia (trừ chia cho 0)

3. Biểu diễn số hữu tỉ

Các số trong tập hợp các số hữu tỉ có nhiều cách biểu diễn:

3.1. Dạng phân số

Dạng tổng quát: \( \frac{p}{q} \) với p, q ∈ ℤ, q ≠ 0

Số hữu tỉ	Các cách viết dạng phân số	Dạng tối giản
0.5	\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-1}{-2} \)	\( \frac{1}{2} \)
-0.75	\( \frac{-3}{4} = \frac{3}{-4} = \frac{-6}{8} \)	\( \frac{-3}{4} \)
2	\( \frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{6}{3} \)	\( \frac{2}{1} \)

3.2. Dạng số thập phân

Số hữu tỉ khi viết dưới dạng thập phân có hai loại:

Loại	Đặc điểm	Ví dụ
Thập phân hữu hạn	Kết thúc sau số chữ số hữu hạn	0.5, 0.125, -2.75
Thập phân vô hạn tuần hoàn	Có chu kỳ lặp lại mãi mãi	0.333…, 0.142857142857…

3.3. Cách viết số thập phân tuần hoàn

Ký hiệu: Dùng dấu gạch ngang hoặc dấu chấm trên chu kỳ.

Số hữu tỉ	Dạng đầy đủ	Ký hiệu gọn
\( \frac{1}{3} \)	0.333333…	\( 0.\overline{3} \) hoặc 0.(3)
\( \frac{1}{7} \)	0.142857142857…	\( 0.\overline{142857} \) hoặc 0.(142857)
\( \frac{1}{6} \)	0.1666666…	\( 0.1\overline{6} \) hoặc 0.1(6)
\( \frac{5}{11} \)	0.454545…	\( 0.\overline{45} \) hoặc 0.(45)

3.4. Điều kiện để phân số có biểu diễn thập phân hữu hạn

Định lý: Phân số tối giản \( \frac{p}{q} \) có biểu diễn thập phân hữu hạn khi và chỉ khi q chỉ chứa các thừa số nguyên tố 2 và 5.

\[ q = 2^m \times 5^n \text{ (m, n ≥ 0)} \]

Phân số	Mẫu số	Phân tích mẫu	Thập phân
\( \frac{3}{8} \)	8	\( 2^3 \)	0.375 (hữu hạn)
\( \frac{7}{20} \)	20	\( 2^2 \times 5 \)	0.35 (hữu hạn)
\( \frac{1}{3} \)	3	\( 3 \)	0.333… (tuần hoàn)
\( \frac{5}{6} \)	6	\( 2 \times 3 \)	0.8333… (tuần hoàn)

4. Phân loại số hữu tỉ

Các số trong tập hợp các số hữu tỉ được phân loại theo nhiều tiêu chí:

4.1. Theo dấu

Loại	Điều kiện	Ký hiệu	Ví dụ
Số hữu tỉ dương	\( \frac{p}{q} > 0 \)	ℚ⁺	\( \frac{1}{2}, 3, 0.75 \)
Số 0	\( \frac{p}{q} = 0 \)	{0}	0
Số hữu tỉ âm	\( \frac{p}{q} < 0 \)	ℚ⁻	\( -\frac{1}{2}, -3, -0.75 \)

4.2. Theo dạng biểu diễn

Loại	Đặc điểm	Ví dụ
Số nguyên	q = 1 (hoặc p chia hết cho q)	-3, 0, 5
Phân số thực sự	|p| < |q|	\( \frac{1}{2}, \frac{3}{5} \)
Phân số không thực sự	|p| ≥ |q|	\( \frac{5}{3}, \frac{7}{2} \)
Hỗn số	Phần nguyên + phân số thực sự	\( 2\frac{1}{3}, 5\frac{3}{4} \)

4.3. Theo biểu diễn thập phân

Loại	Đặc điểm	Ví dụ
Thập phân hữu hạn	Mẫu tối giản chỉ chứa 2, 5	0.5, 0.125, 0.8
Thập phân tuần hoàn đơn	Chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy	\( 0.\overline{3}, 0.\overline{142857} \)
Thập phân tuần hoàn tạp	Có phần không tuần hoàn trước chu kỳ	\( 0.1\overline{6}, 0.08\overline{3} \)

4.4. Sơ đồ phân loại

              Số hữu tỉ ℚ
                  │
    ┌─────────────┼─────────────┐
    │             │             │
   ℚ⁻           {0}           ℚ⁺
(Số âm)       (Số 0)      (Số dương)
    │                           │
    └───────────┬───────────────┘
                │
      ┌─────────┴─────────┐
      │                   │
  Số nguyên ℤ        Phân số
                    (không nguyên)

5. So sánh số hữu tỉ

Cách so sánh các số trong tập hợp các số hữu tỉ:

5.1. Quy tắc so sánh cơ bản

Trường hợp	Quy tắc	Ví dụ
Hai số cùng dương	Số nào lớn hơn thì lớn hơn	\( \frac{3}{4} > \frac{1}{2} \)
Hai số cùng âm	Số nào có GTTĐ nhỏ hơn thì lớn hơn	\( -\frac{1}{2} > -\frac{3}{4} \)
Một âm, một dương	Số dương luôn lớn hơn	\( \frac{1}{100} > -1000 \)
So với 0	Dương > 0 > Âm	\( \frac{1}{2} > 0 > -\frac{1}{2} \)

5.2. So sánh hai phân số cùng mẫu

Quy tắc: Hai phân số cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

\[ \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \Leftrightarrow a < b \text{ (với c > 0)} \]

Ví dụ: \( \frac{3}{7} < \frac{5}{7} \) vì 3 < 5

5.3. So sánh hai phân số khác mẫu

Phương pháp 1: Quy đồng mẫu số

\[ \frac{a}{b} \text{ và } \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{ad}{bd} \text{ và } \frac{bc}{bd} \]

Phương pháp 2: So sánh chéo (với mẫu dương)

\[ \frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad < bc \text{ (với b, d > 0)} \]

Ví dụ: So sánh \( \frac{3}{5} \) và \( \frac{5}{8} \)

So sánh chéo: 3 × 8 = 24 và 5 × 5 = 25

Vì 24 < 25 nên \( \frac{3}{5} < \frac{5}{8} \)

5.4. So sánh bằng đổi ra số thập phân

Ví dụ: So sánh \( \frac{2}{7} \) và \( \frac{3}{11} \)

\( \frac{2}{7} \approx 0.286 \) và \( \frac{3}{11} \approx 0.273 \)

Vậy \( \frac{2}{7} > \frac{3}{11} \)

6. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Mọi số trong tập hợp các số hữu tỉ đều biểu diễn được trên trục số:

6.1. Quy tắc biểu diễn

1. Vẽ trục số với gốc O và đơn vị độ dài
2. Số dương nằm bên phải gốc O
3. Số âm nằm bên trái gốc O
4. Chia đoạn thẳng đơn vị thành các phần bằng nhau theo mẫu số

6.2. Ví dụ biểu diễn

Biểu diễn \( \frac{3}{4} \) trên trục số:

1. Chia đoạn từ 0 đến 1 thành 4 phần bằng nhau
2. Lấy 3 phần kể từ 0 về phía dương
3. Điểm đó biểu diễn \( \frac{3}{4} \)

Biểu diễn \( -\frac{2}{3} \) trên trục số:

1. Chia đoạn từ 0 đến -1 thành 3 phần bằng nhau
2. Lấy 2 phần kể từ 0 về phía âm
3. Điểm đó biểu diễn \( -\frac{2}{3} \)

6.3. Hình minh họa

     -2/3         0     1/4  1/2  3/4    1
←─────●──────────●──────●────●────●─────●────→
      │          │                      │
   Số âm       Gốc O               Số dương

6.4. Tính trù mật trên trục số

Định lý: Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn tồn tại vô số số hữu tỉ khác.

Công thức tìm số hữu tỉ giữa a và b:

\[ c = \frac{a + b}{2} \]

Ví dụ: Tìm số hữu tỉ giữa \( \frac{1}{3} \) và \( \frac{1}{2} \)

\[ c = \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} \]

7. Tính chất của tập hợp số hữu tỉ

Tập hợp các số hữu tỉ ℚ có những tính chất quan trọng:

7.1. Tính chất đại số

Tính chất	Nội dung	Ví dụ
Đóng với phép cộng	a, b ∈ ℚ ⟹ a + b ∈ ℚ	\( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \in \mathbb{Q} \)
Đóng với phép trừ	a, b ∈ ℚ ⟹ a – b ∈ ℚ	\( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q} \)
Đóng với phép nhân	a, b ∈ ℚ ⟹ a × b ∈ ℚ	\( \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \in \mathbb{Q} \)
Đóng với phép chia	a, b ∈ ℚ, b ≠ 0 ⟹ a ÷ b ∈ ℚ	\( \frac{1}{2} \div \frac{1}{3} = \frac{3}{2} \in \mathbb{Q} \)

7.2. Tính chất về phần tử đặc biệt

Phần tử	Tính chất	Ví dụ
Phần tử trung hòa cộng	a + 0 = a	\( \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2} \)
Phần tử trung hòa nhân	a × 1 = a	\( \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \)
Phần tử đối	a + (-a) = 0	\( \frac{1}{2} + (-\frac{1}{2}) = 0 \)
Phần tử nghịch đảo	a × a⁻¹ = 1 (a ≠ 0)	\( \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1 \)

7.3. Tính chất về thứ tự

• Tính phản xạ: a ≤ a
• Tính phản đối xứng: Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b
• Tính bắc cầu: Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c
• Tính toàn phần: Với mọi a, b: hoặc a ≤ b hoặc b ≤ a

7.4. Tính trù mật

Định lý: Tập ℚ trù mật trong ℝ, nghĩa là:

• Giữa hai số thực bất kỳ luôn có ít nhất một số hữu tỉ
• Giữa hai số hữu tỉ bất kỳ luôn có vô số số hữu tỉ

7.5. Tính đếm được

Định lý Cantor: Tập ℚ là tập đếm được (countable), tức là có thể thiết lập song ánh với tập ℕ.

8. Các phép tính trên tập hợp số hữu tỉ

Các phép tính cơ bản trong tập hợp các số hữu tỉ:

8.1. Phép cộng

Cùng mẫu:

\[ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c} \]

Khác mẫu:

\[ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \]

Ví dụ: \( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12} \)

8.2. Phép trừ

\[ \frac{a}{b} – \frac{c}{d} = \frac{ad – bc}{bd} \]

Ví dụ: \( \frac{5}{6} – \frac{1}{4} = \frac{20 – 6}{24} = \frac{14}{24} = \frac{7}{12} \)

8.3. Phép nhân

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

Ví dụ: \( \frac{2}{3} \times \frac{5}{7} = \frac{10}{21} \)

8.4. Phép chia

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \text{ (c ≠ 0)} \]

Ví dụ: \( \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} \)

8.5. Phép lũy thừa

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Ví dụ: \( \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27} \)

8.6. Bảng tổng hợp tính chất phép tính

Tính chất	Phép cộng	Phép nhân
Giao hoán	a + b = b + a	a × b = b × a
Kết hợp	(a + b) + c = a + (b + c)	(a × b) × c = a × (b × c)
Phần tử trung hòa	a + 0 = a	a × 1 = a
Phần tử đối/nghịch đảo	a + (-a) = 0	a × (1/a) = 1 (a ≠ 0)
Phân phối	a × (b + c) = a × b + a × c

9. Mối quan hệ với các tập hợp số khác

Tập hợp các số hữu tỉ nằm trong hệ thống các tập số:

9.1. Sơ đồ bao hàm

\[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \]

9.2. Bảng các tập hợp số

Tập hợp	Ký hiệu	Mô tả	Ví dụ
Số tự nhiên	ℕ	0, 1, 2, 3, …	0, 5, 100
Số nguyên	ℤ	…, -2, -1, 0, 1, 2, …	-3, 0, 7
Số hữu tỉ	ℚ	Dạng p/q (p, q ∈ ℤ, q ≠ 0)	\( \frac{1}{2}, -3, 0.75 \)
Số vô tỉ	I	Số thực không hữu tỉ	\( \sqrt{2}, \pi, e \)
Số thực	ℝ	ℚ ∪ I	Mọi số trên trục số

9.3. Biểu đồ Venn

┌─────────────────────────────────────────┐
│                Số thực ℝ                │
│  ┌────────────────────┐  ┌────────────┐ │
│  │    Số hữu tỉ ℚ     │  │ Số vô tỉ I │ │
│  │  ┌──────────────┐  │  │            │ │
│  │  │  Số nguyên ℤ │  │  │  √2, √3    │ │
│  │  │ ┌──────────┐ │  │  │   π, e    │ │
│  │  │ │Số tự nhiên│ │  │  │            │ │
│  │  │ │    ℕ     │ │  │  │            │ │
│  │  │ └──────────┘ │  │  │            │ │
│  │  └──────────────┘  │  │            │ │
│  └────────────────────┘  └────────────┘ │
└─────────────────────────────────────────┘

9.4. Mối quan hệ ℚ và I

Quan hệ	Ký hiệu	Ý nghĩa
Hợp	\( \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R} \)	Hữu tỉ + Vô tỉ = Thực
Giao	\( \mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \varnothing \)	Không số nào vừa hữu tỉ vừa vô tỉ
Bù nhau	\( \mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \)	Vô tỉ = Thực – Hữu tỉ

10. Số hữu tỉ và số thập phân

Mối quan hệ giữa tập hợp các số hữu tỉ và biểu diễn thập phân:

10.1. Đổi phân số sang số thập phân

Phương pháp: Thực hiện phép chia tử cho mẫu.

Phân số	Phép chia	Kết quả	Loại
\( \frac{3}{4} \)	3 ÷ 4	0.75	Hữu hạn
\( \frac{5}{8} \)	5 ÷ 8	0.625	Hữu hạn
\( \frac{1}{3} \)	1 ÷ 3	\( 0.\overline{3} \)	Tuần hoàn đơn
\( \frac{1}{6} \)	1 ÷ 6	\( 0.1\overline{6} \)	Tuần hoàn tạp

10.2. Đổi số thập phân hữu hạn sang phân số

Công thức:

\[ 0.a_1a_2…a_n = \frac{a_1a_2…a_n}{10^n} \]

Ví dụ:

• \( 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} \)
• \( 0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} \)
• \( 2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} \)

10.3. Đổi số thập phân tuần hoàn đơn sang phân số

Công thức:

\[ 0.\overline{a_1a_2…a_k} = \frac{a_1a_2…a_k}{\underbrace{99…9}_{k \text{ chữ số 9}}} \]

Ví dụ:

• \( 0.\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
• \( 0.\overline{12} = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} \)
• \( 0.\overline{142857} = \frac{142857}{999999} = \frac{1}{7} \)

10.4. Đổi số thập phân tuần hoàn tạp sang phân số

Công thức:

\[ 0.b_1b_2…b_m\overline{a_1a_2…a_k} = \frac{b_1b_2…b_ma_1a_2…a_k – b_1b_2…b_m}{\underbrace{99…9}_{k}\underbrace{00…0}_{m}} \]

Ví dụ: Đổi \( 0.1\overline{6} \) sang phân số

Đặt x = 0.1666…

10x = 1.666…

100x = 16.666…

100x – 10x = 15

90x = 15

\[ x = \frac{15}{90} = \frac{1}{6} \]

10.5. Bảng phân số thường gặp

Phân số	Thập phân	Phân số	Thập phân
\( \frac{1}{2} \)	0.5	\( \frac{1}{6} \)	\( 0.1\overline{6} \)
\( \frac{1}{3} \)	\( 0.\overline{3} \)	\( \frac{1}{7} \)	\( 0.\overline{142857} \)
\( \frac{1}{4} \)	0.25	\( \frac{1}{8} \)	0.125
\( \frac{1}{5} \)	0.2	\( \frac{1}{9} \)	\( 0.\overline{1} \)

11. Ví dụ và bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Để nắm vững kiến thức về tập hợp các số hữu tỉ, hãy cùng làm các bài tập sau:

Bài tập 1: Nhận biết số hữu tỉ

Đề bài: Trong các số sau, số nào là số hữu tỉ: \( \sqrt{9}, \sqrt{10}, \frac{22}{7}, \pi, 0.\overline{123}, -5 \)?

Lời giải:

• \( \sqrt{9} = 3 = \frac{3}{1} \) → Số hữu tỉ
• \( \sqrt{10} \) → Số vô tỉ (10 không phải số chính phương)
• \( \frac{22}{7} \) → Số hữu tỉ (dạng phân số)
• \( \pi \) → Số vô tỉ
• \( 0.\overline{123} = \frac{123}{999} = \frac{41}{333} \) → Số hữu tỉ
• \( -5 = \frac{-5}{1} \) → Số hữu tỉ

Kết quả: Các số hữu tỉ là: \( \sqrt{9}, \frac{22}{7}, 0.\overline{123}, -5 \)

Bài tập 2: So sánh số hữu tỉ

Đề bài: So sánh các cặp số hữu tỉ sau:

a) \( \frac{-3}{5} \) và \( \frac{-5}{8} \)    b) \( \frac{7}{11} \) và \( \frac{8}{13} \)

Lời giải:

a) So sánh \( \frac{-3}{5} \) và \( \frac{-5}{8} \)

So sánh chéo: (-3) × 8 = -24 và (-5) × 5 = -25

Vì -24 > -25 nên \( \frac{-3}{5} > \frac{-5}{8} \)

b) So sánh \( \frac{7}{11} \) và \( \frac{8}{13} \)

So sánh chéo: 7 × 13 = 91 và 8 × 11 = 88

Vì 91 > 88 nên \( \frac{7}{11} > \frac{8}{13} \)

Bài tập 3: Thực hiện phép tính

Đề bài: Tính:

a) \( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} – \frac{1}{6} \)    b) \( \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} \div \frac{2}{3} \)

Lời giải:

a) \( \frac{2}{3} + \frac{3}{4} – \frac{1}{6} \)

BCNN(3, 4, 6) = 12

\[ = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} – \frac{2}{12} = \frac{8 + 9 – 2}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} \]

b) \( \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} \div \frac{2}{3} \)

\[ = \frac{5}{7} \times \frac{14}{15} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 14 \times 3}{7 \times 15 \times 2} = \frac{210}{210} = 1 \]

Bài tập 4: Đổi số thập phân tuần hoàn sang phân số

Đề bài: Đổi các số sau sang phân số tối giản:

a) \( 0.\overline{45} \)    b) \( 0.8\overline{3} \)    c) \( 2.\overline{27} \)

Lời giải:

a) \( 0.\overline{45} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} \)

b) \( 0.8\overline{3} \)

Đặt x = 0.8333…

10x = 8.333…

100x = 83.333…

100x – 10x = 75

\[ x = \frac{75}{90} = \frac{5}{6} \]

c) \( 2.\overline{27} = 2 + 0.\overline{27} = 2 + \frac{27}{99} = 2 + \frac{3}{11} = \frac{22 + 3}{11} = \frac{25}{11} \)

Bài tập 5: Tìm số hữu tỉ giữa hai số

Đề bài: Tìm 3 số hữu tỉ nằm giữa \( \frac{1}{3} \) và \( \frac{1}{2} \).

Lời giải:

Quy đồng: \( \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \) và \( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \)

Nhân cả tử và mẫu với 10: \( \frac{40}{120} \) và \( \frac{60}{120} \)

Các số hữu tỉ nằm giữa:

• \( \frac{41}{120} \)
• \( \frac{45}{120} = \frac{3}{8} \)
• \( \frac{50}{120} = \frac{5}{12} \)

(Hoặc dùng công thức trung bình: \( \frac{5}{12}, \frac{3}{8}, \frac{11}{24} \)…)

Bài tập 6: Chứng minh

Đề bài: Chứng minh rằng tổng của hai số hữu tỉ là số hữu tỉ.

Lời giải:

Cho hai số hữu tỉ: \( a = \frac{p_1}{q_1} \) và \( b = \frac{p_2}{q_2} \) (với \( p_1, p_2, q_1, q_2 \in \mathbb{Z}, q_1, q_2 \neq 0 \))

Tổng:

\[ a + b = \frac{p_1}{q_1} + \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2} \]

Vì:

• \( p_1 q_2 + p_2 q_1 \in \mathbb{Z} \) (tổng các tích số nguyên)
• \( q_1 q_2 \in \mathbb{Z} \) và \( q_1 q_2 \neq 0 \) (tích hai số nguyên khác 0)

Nên a + b có dạng phân số \( \frac{m}{n} \) với m, n ∈ ℤ, n ≠ 0.

Kết luận: a + b là số hữu tỉ. (đpcm)

Bài tập 7: Tìm x

Đề bài: Tìm số hữu tỉ x biết: \( \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{7}{12} \)

Lời giải:

\[ \frac{x}{3} + \frac{x}{4} = \frac{7}{12} \]

Quy đồng vế trái (BCNN = 12):

\[ \frac{4x}{12} + \frac{3x}{12} = \frac{7}{12} \]

\[ \frac{7x}{12} = \frac{7}{12} \]

\[ 7x = 7 \]

\[ x = 1 \]

Kết quả: x = 1

Bài tập 8: Biểu diễn trên trục số

Đề bài: Sắp xếp các số hữu tỉ sau theo thứ tự tăng dần và biểu diễn trên trục số:

\( \frac{-2}{3}, \frac{1}{2}, 0, \frac{-1}{4}, \frac{3}{4} \)

Lời giải:

Đổi về cùng mẫu (BCNN = 12):

• \( \frac{-2}{3} = \frac{-8}{12} \)
• \( \frac{1}{2} = \frac{6}{12} \)
• \( 0 = \frac{0}{12} \)
• \( \frac{-1}{4} = \frac{-3}{12} \)
• \( \frac{3}{4} = \frac{9}{12} \)

Thứ tự tăng dần: \( \frac{-2}{3} < \frac{-1}{4} < 0 < \frac{1}{2} < \frac{3}{4} \)

    -2/3   -1/4    0     1/2   3/4
←────●──────●──────●──────●─────●────→

Bài tập 9: Bài toán tổng hợp

Đề bài: Tính tổng: \( S = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + … + \frac{1}{99 \times 100} \)

Lời giải:

Sử dụng phương pháp tách phân số:

\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \]

Áp dụng:

\[ S = \left(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} – \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} – \frac{1}{4}\right) + … + \left(\frac{1}{99} – \frac{1}{100}\right) \]

Các số hạng triệt tiêu (dãy lồng nhau):

\[ S = 1 – \frac{1}{100} = \frac{99}{100} \]

Kết quả: \( S = \frac{99}{100} \)

Bài tập 10: Xác định loại số

Đề bài: Cho a, b là hai số hữu tỉ khác 0. Xác định các biểu thức sau là hữu tỉ hay có thể vô tỉ:

a) a + b    b) a × b    c) \( \sqrt{a^2} \)    d) \( \sqrt{a} \)

Lời giải:

a) a + b → Luôn hữu tỉ (tổng hai số hữu tỉ là số hữu tỉ)

b) a × b → Luôn hữu tỉ (tích hai số hữu tỉ là số hữu tỉ)

c) \( \sqrt{a^2} = |a| \) → Luôn hữu tỉ (giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ là số hữu tỉ)

d) \( \sqrt{a} \) (với a > 0) → Có thể hữu tỉ hoặc vô tỉ

• \( \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \) (hữu tỉ)
• \( \sqrt{2} \) (vô tỉ, dù 2 là số hữu tỉ)

12. Kết luận

Qua bài viết trên, VJOL đã giúp bạn hiểu rõ về tập hợp các số hữu tỉ cùng các kiến thức quan trọng liên quan. Tóm tắt những điểm cần nhớ:

• Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng \( \frac{p}{q} \) với p, q ∈ ℤ, q ≠ 0
• Ký hiệu: Tập hợp các số hữu tỉ ký hiệu là ℚ
• Biểu diễn thập phân: Hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn
• Mối quan hệ: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
• Tính đóng: ℚ đóng với các phép +, −, ×, ÷ (trừ chia 0)
• Tính trù mật: Giữa hai số hữu tỉ luôn có vô số số hữu tỉ khác
• So sánh: Quy đồng mẫu hoặc so sánh chéo
• Đổi thập phân tuần hoàn: \( 0.\overline{a} = \frac{a}{99…9} \)

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững kiến thức về tập hợp các số hữu tỉ và có thể áp dụng vào giải toán hiệu quả!