Định lý cosin: Công thức, chứng minh và bài tập có lời giải

Định lý cosin là kiến thức quan trọng trong lượng giác, đặc biệt hữu ích khi giải tam giác nếu đã biết ba cạnh hoặc biết hai cạnh cùng góc xen giữa. Nội dung dưới đây sẽ hệ thống công thức cosin, công thức tính cos trong tam giác, mối liên hệ với định lý sin và các ví dụ cụ thể để bạn dễ dàng vận dụng công thức cos trong tam giác.

1. Định lý cosin biểu thị mối quan hệ nào trong tam giác?

Định lý cosin (hay định lí cosin) mô tả mối liên hệ giữa độ dài ba cạnh với cosin của các góc tương ứng trong một tam giác.

1.1. Nội dung phát biểu của định lý cosin

Định lí cos: Trong một tam giác, bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với cosin của góc xen giữa.

1.2. Ba công thức cosin cần ghi nhớ

Xét tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt đối diện với các góc A, B, C:

\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \)

\( b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B \)

\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \)

Các ký hiệu trong công thức gồm:

• \( a, b, c \): độ dài ba cạnh của tam giác
• \( A, B, C \): các góc lần lượt đối diện với cạnh a, b, c

2. Cách tính cos của một góc khi đã biết ba cạnh

Từ định lý cosin, có thể biến đổi để tìm cosin của từng góc khi đề bài cung cấp độ dài cả ba cạnh:

\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \)

\( \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \)

\( \cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \)

Nhờ công thức cos trong tam giác trên, ta có thể xác định cosin rồi suy ra số đo của góc tương ứng. Đây là dạng công thức thường gặp trong các bài toán cho trước ba cạnh.

3. Tổng hợp nhanh các dạng công thức cosin

4. Chứng minh công thức của định lý cosin

Có nhiều phương pháp chứng minh định lí cosin. Dưới đây là cách sử dụng hệ tọa độ để chứng minh công thức:

\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \)

Chứng minh trong trường hợp góc A là góc nhọn

Chọn hệ tọa độ sao cho A là gốc tọa độ và cạnh AB nằm trên trục Ox.

Ta xác định được:

• \( A = (0, 0) \)
• \( B = (c, 0) \)
• \( C = (b\cos A, b\sin A) \)

Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:

\( a^2 = BC^2 = (c – b\cos A)^2 + (0 – b\sin A)^2 \)

\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A \)

\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) \)

Do \(\cos^2 A + \sin^2 A = 1\), suy ra:

\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2 \)

Vậy:

\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \) (đpcm)

5. Định lý sin và công thức thường gặp

Bên cạnh định lý cosin, định lý sin (hay định lí sin) cũng được sử dụng thường xuyên khi giải các bài toán về tam giác. Tùy dữ kiện đề bài, hai định lý có thể được áp dụng riêng hoặc kết hợp với nhau.

5.1. Định lý sin được phát biểu như thế nào?

Định lý sin: Trong một tam giác, tỉ số giữa độ dài của mỗi cạnh với sin góc đối diện luôn bằng nhau và bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

5.2. Biểu thức tổng quát của định lý sin

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Trong đó:

• \( a, b, c \): độ dài ba cạnh
• \( A, B, C \): các góc lần lượt đối diện với ba cạnh
• \( R \): bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

5.3. Một số cách biến đổi công thức định lý sin

6. Phân biệt định lý cosin với định lý sin khi giải tam giác

Trường hợp nào nên chọn định lý cosin hoặc định lý sin?

• Ưu tiên định lý cosin khi:
  • Đề bài cho độ dài ba cạnh và yêu cầu tìm góc
  • Biết hai cạnh cùng góc xen giữa và cần tìm cạnh thứ ba
  • Muốn xác định một góc là nhọn, vuông hay tù
• Ưu tiên định lý sin khi:
  • Đã biết hai góc và một cạnh
  • Biết một cạnh, góc đối diện và thêm một yếu tố liên quan
  • Cần xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp

7. Những hệ quả đáng chú ý từ định lý cosin

Từ công thức cosin, ta có thể suy ra một số kết quả quen thuộc và hữu ích trong quá trình giải toán.

7.1. Liên hệ với định lý Pythagore và cách nhận dạng tam giác

Hệ quả 1: Định lý Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí cos

Nếu \( C = 90° \), khi đó \( \cos C = 0 \). Công thức cosin trở thành:

\( c^2 = a^2 + b^2 \)

Đây chính là hệ thức quen thuộc của định lý Pythagore.

Hệ quả 2: Nhận biết góc của tam giác qua độ dài các cạnh

• Nếu \( a^2 < b^2 + c^2 \) thì \( \cos A > 0 \) → góc A nhọn
• Nếu \( a^2 = b^2 + c^2 \) thì \( \cos A = 0 \) → góc A vuông
• Nếu \( a^2 > b^2 + c^2 \) thì \( \cos A < 0 \) → góc A tù

7.2. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Một hệ thức liên quan được dùng để xác định độ dài đường trung tuyến là công thức Stewart.

Gọi \( m_a \) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, ta có:

\( m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} \)

8. Ví dụ áp dụng định lý cosin từ cơ bản đến tổng hợp

Dưới đây là các dạng bài tiêu biểu giúp làm quen với cách lựa chọn và triển khai công thức.

Ví dụ 1: Tìm cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đề bài: Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và góc A = 60°. Tính cạnh a.

Lời giải:

Áp dụng định lý cosin:

\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \)

\( a^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° \)

\( a^2 = 25 + 49 – 70 \times \frac{1}{2} \)

\( a^2 = 74 – 35 = 39 \)

\( a = \sqrt{39} \approx 6,24 \)

Đáp số: \( a = \sqrt{39} \approx 6,24 \)

Ví dụ 2: Xác định các góc từ độ dài ba cạnh

Đề bài: Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính các góc của tam giác.

Lời giải:

Sử dụng công thức tính cos.

Tính góc A:

\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 5^2 – 7^2}{2 \times 8 \times 5} = \frac{40}{80} = 0,5 \)

\( A = 60° \)

Tính góc B:

\( \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 – 8^2}{2 \times 7 \times 5} = \frac{10}{70} \approx 0,143 \)

\( B \approx 81,79° \)

Tính góc C:

\( C = 180° – A – B = 180° – 60° – 81,79° \approx 38,21° \)

Đáp số: \( A = 60° \), \( B \approx 81,79° \), \( C \approx 38,21° \)

Ví dụ 3: Giải tam giác bằng định lý sin

Đề bài: Cho tam giác ABC có A = 45°, B = 75° và a = 10. Tính b và bán kính đường tròn ngoại tiếp R.

Lời giải:

Trước tiên:

\( C = 180° – 45° – 75° = 60° \)

Theo định lý sin:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)

Suy ra:

\( b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 75°}{\sin 45°} \approx 13,66 \)

Tính R:

\( R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{10}{2 \times \sin 45°} \approx 7,07 \)

Đáp số: \( b \approx 13,66 \), \( R \approx 7,07 \)

Ví dụ 4: Nhận dạng tam giác thông qua hệ quả cosin

Đề bài: Cho tam giác có ba cạnh a = 8, b = 6, c = 5. Xác định loại tam giác.

Lời giải:

Cạnh lớn nhất là a = 8 nên xét góc A đối diện với cạnh này.

Ta có:

\( a^2 = 64 \)

và:

\( b^2 + c^2 = 36 + 25 = 61 \)

Do:

\( a^2 = 64 > 61 = b^2 + c^2 \)

nên \( \cos A < 0 \), từ đó suy ra góc A là góc tù.

Kết luận: Tam giác ABC là tam giác tù tại A.

Ví dụ 5: Kết hợp nhiều công thức trong một bài toán

Đề bài: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 8 và góc C = 60°. Tính cạnh c, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải:

Bước 1: Tính cạnh c bằng định lí cosin

\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C = 36 + 64 – 2 \times 6 \times 8 \times \cos 60° \)

\( c^2 = 100 – 96 \times 0,5 = 52 \)

\( c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7,21 \)

Bước 2: Tính diện tích tam giác

\( S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 60° \)

\( S = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \)

Bước 3: Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

\( R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{2\sqrt{13}}{2 \times \sin 60°} = \frac{2\sqrt{39}}{3} \approx 4,16 \)

Đáp số: \( c = 2\sqrt{13} \approx 7,21 \), \( S = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \), \( R = \frac{2\sqrt{39}}{3} \approx 4,16 \)

Ví dụ 6: Vận dụng công thức cosin vào tình huống thực tế

Đề bài: Hai tàu xuất phát từ cảng A, di chuyển theo hai hướng tạo với nhau góc 120°. Tàu thứ nhất đi được 50 km, tàu thứ hai đi được 70 km. Hãy xác định khoảng cách giữa hai tàu.

Lời giải:

Gọi B và C lần lượt là vị trí của hai tàu. Khi đó:

• AB = c = 50 km
• AC = b = 70 km
• Góc A = 120°

Áp dụng công thức cosin:

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \times AB \times AC \times \cos A \)

\( BC^2 = 50^2 + 70^2 – 2 \times 50 \times 70 \times \cos 120° \)

\( BC^2 = 2500 + 4900 – 7000 \times (-0,5) \)

\( BC^2 = 10900 \)

\( BC = \sqrt{10900} \approx 104,4 \) km

Đáp số: Khoảng cách giữa hai tàu xấp xỉ 104,4 km.

9. Bài tập tự luyện về định lý cosin và định lý sin

Bài 1: Cho tam giác ABC có b = 4, c = 6 và góc A = 120°. Tính cạnh a.

Bài 2: Cho tam giác có ba cạnh a = 5, b = 6, c = 7. Tính cos của góc lớn nhất.

Bài 3: Cho tam giác ABC có A = 30°, B = 45° và c = 10. Tính a, b.

Bài 4: Tam giác ABC có a = 3, b = 5, c = 7. Chứng minh tam giác có một góc bằng 120°.

Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, C = 60°. Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Gợi ý đáp số để kiểm tra kết quả

1. \( a = 2\sqrt{19} \approx 8,72 \)
2. \( \cos C = \frac{1}{5} = 0,2 \) (góc C đối diện cạnh lớn nhất)
3. \( a \approx 4,88 \), \( b \approx 6,91 \)
4. \( \cos C = \frac{9 + 25 – 49}{30} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = 120° \)
5. \( S = 20\sqrt{3} \), \( R = \frac{7\sqrt{21}}{9} \)

10. Ghi nhớ định lý cosin để giải tam giác hiệu quả

Định lý cosin và định lý sin là hai kiến thức nền tảng khi xử lý các bài toán về tam giác. Với công thức cosin \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \), bạn có thể tìm cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc xác định góc từ ba cạnh đã cho. Trong khi đó, định lý sin phù hợp với những bài toán có cặp cạnh – góc đối diện hoặc liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp. Nắm rõ dữ kiện và chọn đúng công thức sẽ giúp quá trình giải toán ngắn gọn, chính xác hơn.