Định lý cosin: Công thức, chứng minh và bài tập có lời giải
Định lý cosin là một trong những định lý quan trọng nhất trong lượng giác, cho phép giải các bài toán tam giác khi biết ba cạnh hoặc hai cạnh và góc xen giữa. Bài viết này trình bày chi tiết công thức cosin, công thức tính cos trong tam giác, so sánh với định lý sin và cung cấp các ví dụ minh họa giúp bạn áp dụng thành thạo công thức cos trong tam giác.
1. Định lý cosin là gì?
Định lý cosin (hay định lí cosin) phát biểu mối quan hệ giữa độ dài các cạnh và cosin của một góc trong tam giác.
1.1. Phát biểu định lý
Định lí cos: Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin góc xen giữa.
1.2. Công thức cosin
Cho tam giác ABC với các cạnh a, b, c đối diện với các góc A, B, C tương ứng:
\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos A \)
\( b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cos B \)
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \)
Trong đó:
- \( a, b, c \): độ dài ba cạnh của tam giác
- \( A, B, C \): ba góc tương ứng đối diện với các cạnh a, b, c
2. Công thức tính cos (Công thức tính góc)
Từ định lý cosin, ta suy ra công thức tính cos của các góc khi biết ba cạnh:
\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \)
\( \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \)
\( \cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \)
Công thức cos trong tam giác này cho phép tính góc khi biết độ dài ba cạnh của tam giác.
3. Bảng tổng hợp công thức cosin
| Mục đích | Công thức | Điều kiện áp dụng |
|---|---|---|
| Tính cạnh a | \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \) | Biết b, c và góc A |
| Tính cạnh b | \( b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B \) | Biết a, c và góc B |
| Tính cạnh c | \( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C \) | Biết a, b và góc C |
| Tính góc A | \( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} \) | Biết ba cạnh a, b, c |
| Tính góc B | \( \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} \) | Biết ba cạnh a, b, c |
| Tính góc C | \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \) | Biết ba cạnh a, b, c |
4. Chứng minh định lý cosin
Ta chứng minh định lí cosin cho công thức \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \):
Trường hợp góc A nhọn:
Đặt hệ tọa độ với A là gốc, cạnh AB nằm trên trục Ox.
Khi đó:
- \( A = (0, 0) \)
- \( B = (c, 0) \)
- \( C = (b\cos A, b\sin A) \)
Áp dụng công thức khoảng cách:
\( a^2 = BC^2 = (c – b\cos A)^2 + (0 – b\sin A)^2 \)
\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2\cos^2 A + b^2\sin^2 A \)
\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2(\cos^2 A + \sin^2 A) \)
\( a^2 = c^2 – 2bc\cos A + b^2 \)
\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \) (đpcm)
5. Định lý sin
Định lý sin (hay định lí sin) là định lý quan trọng khác trong giải tam giác, thường được sử dụng kết hợp với định lý cosin.
5.1. Phát biểu định lý sin
Định lý sin: Trong một tam giác, tỉ số giữa độ dài mỗi cạnh và sin góc đối diện là không đổi và bằng đường kính đường tròn ngoại tiếp.
5.2. Công thức định lý sin
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
Trong đó:
- \( a, b, c \): độ dài ba cạnh
- \( A, B, C \): ba góc đối diện
- \( R \): bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
5.3. Các dạng biến đổi của định lý sin
| Công thức | Ứng dụng |
|---|---|
| \( a = 2R\sin A \) | Tính cạnh khi biết góc và R |
| \( \sin A = \frac{a}{2R} \) | Tính sin góc khi biết cạnh và R |
| \( \frac{a}{b} = \frac{\sin A}{\sin B} \) | So sánh tỉ số các cạnh và sin góc |
| \( R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{abc}{4S} \) | Tính bán kính ngoại tiếp |
6. So sánh định lý cosin và định lý sin
| Tiêu chí | Định lý cosin | Định lý sin |
|---|---|---|
| Công thức chính | \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \) | \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R \) |
| Áp dụng khi biết | – Ba cạnh (c-c-c) – Hai cạnh và góc xen giữa (c-g-c) |
– Hai góc và một cạnh (g-c-g, g-g-c) – Hai cạnh và góc đối diện (c-c-g) |
| Ưu điểm | Xác định duy nhất góc (cos cho biết góc nhọn hay tù) | Công thức đơn giản, dễ nhớ |
| Nhược điểm | Công thức phức tạp hơn | Có thể cho hai nghiệm góc (sin A = sin B không suy ra A = B) |
| Liên hệ với R | Không trực tiếp | Trực tiếp liên hệ với bán kính ngoại tiếp |
Khi nào dùng định lý nào?
- Dùng định lý cosin khi:
- Biết ba cạnh, cần tính góc
- Biết hai cạnh và góc xen giữa, cần tính cạnh còn lại
- Cần xác định chính xác góc nhọn hay tù
- Dùng định lý sin khi:
- Biết hai góc và một cạnh
- Biết một cạnh, góc đối diện và một yếu tố khác
- Cần tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
7. Hệ quả và công thức liên quan
Các hệ quả của công thức
7.1. Hệ quả của định lý cosin
Hệ quả 1: Định lý Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí cos
Khi \( C = 90° \), ta có \( \cos C = 0 \), suy ra: \( c^2 = a^2 + b^2 \)
Hệ quả 2: Xác định loại tam giác
- Nếu \( a^2 < b^2 + c^2 \) thì \( \cos A > 0 \) → góc A nhọn
- Nếu \( a^2 = b^2 + c^2 \) thì \( \cos A = 0 \) → góc A vuông
- Nếu \( a^2 > b^2 + c^2 \) thì \( \cos A < 0 \) → góc A tù
7.2. Công thức Stewart
Mở rộng của công thức cosin cho đường trung tuyến:
Gọi \( m_a \) là độ dài đường trung tuyến từ A:
\( m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 – a^2}{4} \)
8. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết
Các ví dụ cơ bản cho dạng bài tập tính toán với định lý cosin gồm:
Ví dụ 1: Tính cạnh bằng định lý cosin
Đề bài: Cho tam giác ABC có b = 5, c = 7 và góc A = 60°. Tính cạnh a.
Lời giải:
Áp dụng định lý cosin:
\( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \)
\( a^2 = 5^2 + 7^2 – 2 \times 5 \times 7 \times \cos 60° \)
\( a^2 = 25 + 49 – 70 \times \frac{1}{2} \)
\( a^2 = 74 – 35 = 39 \)
\( a = \sqrt{39} \approx 6,24 \)
Đáp số: \( a = \sqrt{39} \approx 6,24 \)
Ví dụ 2: Tính góc bằng công thức tính cos
Đề bài: Cho tam giác ABC có a = 7, b = 8, c = 5. Tính các góc của tam giác.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính cos:
Tính góc A:
\( \cos A = \frac{b^2 + c^2 – a^2}{2bc} = \frac{8^2 + 5^2 – 7^2}{2 \times 8 \times 5} = \frac{64 + 25 – 49}{80} = \frac{40}{80} = 0,5 \)
\( A = 60° \)
Tính góc B:
\( \cos B = \frac{a^2 + c^2 – b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 – 8^2}{2 \times 7 \times 5} = \frac{49 + 25 – 64}{70} = \frac{10}{70} \approx 0,143 \)
\( B \approx 81,79° \)
Tính góc C:
\( C = 180° – A – B = 180° – 60° – 81,79° \approx 38,21° \)
Đáp số: \( A = 60° \), \( B \approx 81,79° \), \( C \approx 38,21° \)
Ví dụ 3: Áp dụng định lý sin
Đề bài: Cho tam giác ABC có A = 45°, B = 75° và a = 10. Tính b và bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
Lời giải:
Ta có: \( C = 180° – 45° – 75° = 60° \)
Áp dụng định lý sin:
\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \)
\( b = \frac{a \times \sin B}{\sin A} = \frac{10 \times \sin 75°}{\sin 45°} = \frac{10 \times 0,966}{0,707} \approx 13,66 \)
Tính R:
\( R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{10}{2 \times \sin 45°} = \frac{10}{2 \times 0,707} \approx 7,07 \)
Đáp số: \( b \approx 13,66 \), \( R \approx 7,07 \)
Ví dụ 4: Xác định loại tam giác
Đề bài: Cho tam giác có ba cạnh a = 8, b = 6, c = 5. Xác định loại tam giác.
Lời giải:
Cạnh lớn nhất là a = 8, góc đối diện là góc A.
So sánh: \( a^2 = 64 \) và \( b^2 + c^2 = 36 + 25 = 61 \)
Vì \( a^2 = 64 > 61 = b^2 + c^2 \)
Nên \( \cos A < 0 \), suy ra góc A là góc tù.
Kết luận: Tam giác ABC là tam giác tù (tù tại A).
Ví dụ 5: Bài toán tổng hợp
Đề bài: Cho tam giác ABC có a = 6, b = 8 và góc C = 60°. Tính cạnh c, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Lời giải:
Tính cạnh c (áp dụng định lí cosin):
\( c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C = 36 + 64 – 2 \times 6 \times 8 \times \cos 60° \)
\( c^2 = 100 – 96 \times 0,5 = 100 – 48 = 52 \)
\( c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7,21 \)
Tính diện tích:
\( S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \sin 60° = 24 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \)
Tính R (áp dụng định lý sin):
\( R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{2\sqrt{13}}{2 \times \sin 60°} = \frac{2\sqrt{13}}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{39}}{3} \approx 4,16 \)
Đáp số: \( c = 2\sqrt{13} \approx 7,21 \), \( S = 12\sqrt{3} \approx 20,78 \), \( R = \frac{2\sqrt{39}}{3} \approx 4,16 \)
Ví dụ 6: Ứng dụng thực tế
Đề bài: Hai tàu xuất phát từ cảng A, đi theo hai hướng tạo với nhau góc 120°. Tàu thứ nhất đi được 50 km, tàu thứ hai đi được 70 km. Tính khoảng cách giữa hai tàu.
Lời giải:
Gọi B, C là vị trí hai tàu. Ta có tam giác ABC với:
- AB = c = 50 km
- AC = b = 70 km
- Góc A = 120°
Áp dụng công thức cosin:
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 – 2 \times AB \times AC \times \cos A \)
\( BC^2 = 50^2 + 70^2 – 2 \times 50 \times 70 \times \cos 120° \)
\( BC^2 = 2500 + 4900 – 7000 \times (-0,5) \)
\( BC^2 = 7400 + 3500 = 10900 \)
\( BC = \sqrt{10900} \approx 104,4 \) km
Đáp số: Khoảng cách giữa hai tàu khoảng 104,4 km.
9. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC có b = 4, c = 6 và góc A = 120°. Tính cạnh a.
Bài 2: Cho tam giác có ba cạnh a = 5, b = 6, c = 7. Tính cos của góc lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC có A = 30°, B = 45° và c = 10. Tính a, b.
Bài 4: Tam giác ABC có a = 3, b = 5, c = 7. Chứng minh tam giác có một góc bằng 120°.
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 8, b = 10, C = 60°. Tính diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Đáp án tham khảo
- \( a = 2\sqrt{19} \approx 8,72 \)
- \( \cos C = \frac{1}{5} = 0,2 \) (góc C đối diện cạnh lớn nhất)
- \( a \approx 4,88 \), \( b \approx 6,91 \)
- \( \cos C = \frac{9 + 25 – 49}{30} = -\frac{1}{2} \Rightarrow C = 120° \)
- \( S = 20\sqrt{3} \), \( R = \frac{7\sqrt{21}}{9} \)
10. Kết luận
Định lý cosin và định lý sin là hai công cụ không thể thiếu trong việc giải tam giác. Công thức cosin \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \) cho phép tính cạnh hoặc góc khi biết các yếu tố phù hợp, trong khi công thức tính cos giúp xác định chính xác số đo góc. Việc nắm vững cả hai định lý và biết khi nào áp dụng định lí cos, khi nào dùng định lí sin sẽ giúp bạn giải quyết hiệu quả mọi bài toán tam giác trong học tập và thi cử.
