Đạo hàm là gì? 📐 Khái niệm

Đạo hàm là gì? Đạo hàm là phép toán trong giải tích, dùng để đo tốc độ thay đổi của một hàm số tại một điểm cụ thể. Đây là khái niệm nền tảng trong toán học cao cấp, có ứng dụng rộng rãi trong vật lý, kinh tế và kỹ thuật. Cùng tìm hiểu công thức, cách tính và ứng dụng của đạo hàm ngay bên dưới!

Đạo hàm là gì?

Đạo hàm của một hàm số là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của biến số khi số gia của biến số tiến về 0. Đây là danh từ thuộc lĩnh vực toán học, cụ thể là giải tích.

Trong toán học, “đạo hàm” có nhiều cách hiểu:

Nghĩa hình học: Đạo hàm tại một điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đó.

Nghĩa vật lý: Đạo hàm biểu thị vận tốc tức thời, tốc độ thay đổi của một đại lượng theo thời gian.

Ký hiệu: Đạo hàm của hàm y = f(x) được ký hiệu là f'(x), y’ hoặc dy/dx.

Đạo hàm có nguồn gốc từ đâu?

Khái niệm đạo hàm được phát triển độc lập bởi hai nhà toán học Isaac Newton (Anh) và Gottfried Wilhelm Leibniz (Đức) vào thế kỷ 17. Đây là nền tảng của phép tính vi phân và tích phân.

Sử dụng “đạo hàm” khi cần tính tốc độ thay đổi, tìm cực trị hàm số hoặc giải các bài toán tối ưu.

Cách sử dụng Đạo hàm

Dưới đây là hướng dẫn cách tính đạo hàm và các công thức cơ bản thường gặp trong chương trình phổ thông.

Cách tính Đạo hàm cơ bản

Công thức định nghĩa: f'(x) = lim [f(x + Δx) – f(x)] / Δx khi Δx → 0

Các công thức đạo hàm cơ bản:

• (xⁿ)’ = n.xⁿ⁻¹
• (sin x)’ = cos x
• (cos x)’ = -sin x
• (eˣ)’ = eˣ
• (ln x)’ = 1/x

Các trường hợp và ngữ cảnh sử dụng Đạo hàm

Đạo hàm được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau:

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của f(x) = x³

Phân tích: Áp dụng công thức (xⁿ)’ = n.xⁿ⁻¹, ta có f'(x) = 3x².

Ví dụ 2: Tìm vận tốc tức thời khi biết quãng đường s(t) = 5t².

Phân tích: Vận tốc v = s'(t) = 10t. Đạo hàm giúp tính vận tốc tại mọi thời điểm.

Ví dụ 3: Tìm cực trị của hàm số y = x² – 4x + 3.

Phân tích: Tính y’ = 2x – 4 = 0, suy ra x = 2. Đây là điểm cực tiểu.

Ví dụ 4: Trong kinh tế, tính chi phí biên MC = C'(q).

Phân tích: Đạo hàm của hàm chi phí cho biết chi phí tăng thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm.

Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến của y = x² tại x = 1.

Phân tích: y'(1) = 2 là hệ số góc tiếp tuyến. Phương trình tiếp tuyến: y = 2x – 1.

Lỗi thường gặp khi tính Đạo hàm

Một số lỗi phổ biến khi học và tính đạo hàm:

Trường hợp 1: Quên áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Cách làm đúng: (f(g(x)))’ = f'(g(x)).g'(x). Ví dụ: (sin 2x)’ = 2cos 2x.

Trường hợp 2: Nhầm lẫn đạo hàm của tích và thương.

Cách làm đúng: (u.v)’ = u’.v + u.v’ và (u/v)’ = (u’.v – u.v’)/v².

Trường hợp 3: Quên trừ 1 ở số mũ khi tính đạo hàm xⁿ.

Cách làm đúng: (x⁵)’ = 5x⁴, không phải 5x⁵.

Đạo hàm: Khái niệm liên quan

Dưới đây là bảng tổng hợp các khái niệm liên quan đến đạo hàm:

Kết luận

Đạo hàm là gì? Tóm lại, đạo hàm là công cụ toán học đo tốc độ thay đổi của hàm số. Nắm vững đạo hàm giúp bạn giải quyết nhiều bài toán trong học tập và thực tiễn.