Máy tính vector 3D (dot, cross, góc)

Máy tính vector 3D online — dot product, cross product, magnitude |v|, angle giữa 2 vector, unit vector, projection. Áp dụng cho học sinh THPT lớp 12 (hình học giải tích) và sinh viên cơ học, vật lý, đồ hoạ 3D.

Máy tính

Phép tính với 2 vector 3D: cộng, trừ, tích vô hướng, tích có hướng, độ lớn, góc giữa.

Công thức & ví dụ

Vector trong R³: u = (u₁, u₂, u₃), v = (v₁, v₂, v₃).

Phép Công thức Kết quả
Cộng/trừ u ± v = (u₁±v₁, u₂±v₂, u₃±v₃) Vector
Tích vô hướng (dot) u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ Số
Tích có hướng (cross) u × v = (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁) Vector
Độ dài (magnitude) |u| = √(u₁² + u₂² + u₃²) Số ≥ 0
Góc giữa cos θ = (u·v) / (|u|·|v|) Số trong [-1, 1]
Unit vector û = u / |u| Vector |û| = 1
Projection u lên v proj_v u = (u·v / |v|²) · v Vector

Ý nghĩa hình học:

  • Dot u·v = 0: u và v vuông góc
  • Cross u×v: vector vuông góc với cả u và v, hướng theo quy tắc bàn tay phải. |u×v| = diện tích hình bình hành tạo bởi u, v
  • Cross = 0: u và v song song

Ví dụ: u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6).

  • u + v = (5, 7, 9)
  • u · v = 1·4 + 2·5 + 3·6 = 32
  • u × v = (2·6−3·5, 3·4−1·6, 1·5−2·4) = (−3, 6, −3)
  • |u| = √14 ≈ 3.74, |v| = √77 ≈ 8.77
  • cos θ = 32/(3.74·8.77) ≈ 0.974 → θ ≈ 13.0°

Hướng dẫn sử dụng

  1. Nhập vector u và v dưới dạng (x, y, z).
  2. Chọn phép tính: dot / cross / angle / magnitude / projection / unit.
  3. Nhấn “Tính”. Kết quả + giải thích hình học.

Lưu ý: Dot product trả SỐ THỰC (scalar). Cross product trả VECTOR (3D, vuông góc với u và v). Magnitude là độ dài vector. Góc giữa 2 vector trong khoảng [0°, 180°].

Câu hỏi thường gặp

Dot và cross product khác gì?

Dot (u·v): trả SỐ, dùng để tính góc, kiểm tra vuông góc, projection. Cross (u×v): trả VECTOR vuông góc với u và v, dùng tính diện tích hình bình hành, vector pháp tuyến mặt phẳng. Cross CHỈ TỒN TẠI ở R³ (3 chiều), dot có ở mọi chiều.

Quy tắc bàn tay phải cho cross?

Ngón trỏ chỉ hướng u, ngón giữa chỉ hướng v → ngón cái chỉ hướng u×v. Hoặc: cuộn 4 ngón từ u đến v (theo góc nhỏ hơn 180°), ngón cái chỉ hướng kết quả. Cross KHÔNG giao hoán: u×v = −(v×u) (đối hướng).

Tại sao |u×v| = diện tích?

|u×v| = |u|·|v|·sin(θ). Đây là CÔNG THỨC DIỆN TÍCH hình bình hành: cạnh u, cạnh v, góc giữa θ. Suy ra diện tích tam giác = ½·|u×v|. Đó là cách tính diện tích tam giác trong không gian 3D khi có toạ độ 3 đỉnh.

Vector dùng trong vật lý thế nào?

Vận tốc, gia tốc, lực, mô-men — tất cả là vector. Dot product: công W = F·s (lực · quãng đường). Cross product: mô-men M = r×F (cánh tay × lực), từ trường tạo lực Lorentz F = qv×B. Cơ học 3D không thể thiếu vector.