Máy tính giải hệ phương trình bậc 1

Máy tính giải hệ phương trình bậc 1 hai ẩn online theo phương pháp Cramer (định thức) hoặc thế. Cho hệ ax + by = c, dx + ey = f, trả về x, y chính xác đến phân số hoặc thập phân. Hỗ trợ học sinh THCS lớp 9, THPT.

Máy tính

Hệ phương trình bậc 1 hai ẩn (Cramer):
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Công thức & ví dụ

Hệ phương trình bậc 1 hai ẩn:

ax + by = c
dx + ey = f

Phương pháp Cramer:

D = | a b | = ae − bd
| d e |

D_x = | c b | = ce − bf
| f e |

D_y = | a c | = af − cd
| d f |

Nghiệm:

  • D ≠ 0: x = D_x/D, y = D_y/D
  • D = 0, D_x = D_y = 0: vô số nghiệm (2 PT tương đương)
  • D = 0, D_x hoặc D_y ≠ 0: vô nghiệm (2 PT mâu thuẫn)

Ví dụ: Giải hệ

2x + 3y = 8
4x − y = 3
  • D = 2·(−1) − 3·4 = −14
  • D_x = 8·(−1) − 3·3 = −17
  • D_y = 2·3 − 8·4 = −26
  • x = −17/−14 = 17/14 ≈ 1.214
  • y = −26/−14 = 13/7 ≈ 1.857

Kiểm tra: 2·1.214 + 3·1.857 = 2.428 + 5.571 = 7.999 ≈ 8 ✓

Phương pháp khác:

  • Cộng/trừ: nhân để hệ số 1 ẩn bằng nhau → trừ khử ẩn đó.
  • Thế: biểu diễn 1 ẩn theo ẩn kia, thay vào PT còn lại.
  • Đồ thị: vẽ 2 đường thẳng, tìm giao điểm.

Hướng dẫn sử dụng

  1. Nhập 6 hệ số a, b, c, d, e, f trong hệ:
    ax + by = c
    dx + ey = f
  2. Nhấn “Giải”. Công cụ áp dụng quy tắc Cramer:
    • D = ae − bd (định thức chính)
    • D_x = ce − bf
    • D_y = af − cd
    • x = D_x / D, y = D_y / D
  3. Kết quả: nghiệm (x, y) + phân loại:
    • D ≠ 0: hệ có nghiệm duy nhất
    • D = 0, D_x = D_y = 0: vô số nghiệm
    • D = 0, D_x ≠ 0 hoặc D_y ≠ 0: vô nghiệm

Lưu ý: Hệ 2 phương trình 2 ẩn có nghiệm = giao điểm 2 đường thẳng trong mặt phẳng. Nghiệm duy nhất = 2 đường cắt. Vô nghiệm = 2 đường song song. Vô số nghiệm = 2 đường trùng nhau.

Câu hỏi thường gặp

Cramer và phương pháp thế cái nào tốt hơn?

Cramer nhanh cho hệ 2×2 hoặc 3×3 nhỏ, formula hoá tự động. Thế tốt khi 1 PT đơn giản (vd y = 2x + 1) — dễ thay vào. Trong THCS thường dạy thế trước, Cramer dạy ở THPT. Hệ >3 ẩn: dùng Gauss elimination thay vì Cramer (tránh tính nhiều định thức).

Hệ vô nghiệm và vô số nghiệm khác gì?

Vô nghiệm: 2 PT MÂU THUẪN, không tồn tại (x, y) thoả cả 2 (vd x + y = 1 và x + y = 2 — không thể cùng đúng). Vô số nghiệm: 2 PT TƯƠNG ĐƯƠNG, một là bội của cái kia (vd x + y = 1 và 2x + 2y = 2 — cùng một đường). Hình học: vô nghiệm = song song, vô số = trùng.

Đề bài cho hệ 3 ẩn 3 PT giải thế nào?

Dùng Gauss elimination (khử tuần tự): chọn PT 1 trừ bội PT 2 để khử x → hệ 2 ẩn. Hoặc Cramer 3×3 với định thức 3 dòng 3 cột. Hoặc đặt ma trận và dùng Gauss-Jordan. Hệ > 4 ẩn nên dùng phần mềm (MATLAB, Mathematica, Excel solver).

Khi nào hệ chắc chắn có nghiệm duy nhất?

Khi định thức D ≠ 0 (Cramer). Hình học: 2 đường thẳng có HỆ SỐ GÓC KHÁC NHAU. Nếu PT viết dạng y = mx + n: hệ có nghiệm duy nhất khi m₁ ≠ m₂. Đại số: tỉ lệ a/d ≠ b/e.