Máy tính tổ hợp chỉnh hợp C(n,k) A(n,k)

Máy tính tổ hợp C(n,k), chỉnh hợp A(n,k), hoán vị P(n) online. Áp dụng quy tắc giai thừa n! và công thức chuẩn. Hỗ trợ học sinh THPT khối 11-12 ôn xác suất, đề thi tốt nghiệp THPT, đại học khối A, A1.

Máy tính

P(n) = n! · A(n,k) = n!/(n−k)! · C(n,k) = n!/(k!(n−k)!).

Công thức & ví dụ

3 công thức cốt lõi:

Loại Công thức Ý nghĩa
Hoán vị P(n) P(n) = n! Số cách xếp n phần tử thành hàng
Chỉnh hợp A(n,k) A(n,k) = n! / (n−k)! Số cách chọn k và xếp thứ tự
Tổ hợp C(n,k) C(n,k) = n! / [k!(n−k)!] Số cách chọn k (không xếp)

Tính chất:

  • C(n,0) = C(n,n) = 1 (chọn 0 hoặc tất cả: chỉ 1 cách)
  • C(n,k) = C(n, n−k) (tổ hợp đối xứng)
  • C(n,k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1) (công thức Pascal)
  • A(n,k) = k! × C(n,k)

Ví dụ:

  • P(5) = 5! = 120: 5 bạn xếp hàng có 120 cách.
  • A(10,3) = 10!/7! = 720: chọn 3 từ 10 và xếp thứ tự hạng nhất, nhì, ba.
  • C(10,3) = 10!/(3!·7!) = 120: chọn 3 từ 10 không xếp thứ tự.

Tam giác Pascal — các giá trị C(n,k):

n=0: 1
n=1: 1  1
n=2: 1  2  1
n=3: 1  3  3  1
n=4: 1  4  6  4  1
n=5: 1  5  10 10 5  1
n=6: 1  6  15 20 15 6  1

Mỗi số = tổng 2 số trên (công thức Pascal). Hệ số khai triển nhị thức (a+b)ⁿ chính là hàng n.

Hướng dẫn sử dụng

  1. Chọn loại tính: C(n,k) tổ hợp / A(n,k) chỉnh hợp / P(n) hoán vị.
  2. Nhập n và k: n ≥ k ≥ 0, n nguyên dương.
  3. Nhấn “Tính”. Kết quả:
    • Giá trị + công thức áp dụng
    • Phân tích các bước trung gian (giai thừa)
    • Ví dụ ngữ cảnh thực tế

Phân biệt tổ hợp vs chỉnh hợp: Tổ hợp KHÔNG quan tâm thứ tự (chọn 3 bạn từ lớp 30), chỉnh hợp QUAN TÂM thứ tự (chọn 3 bạn xếp hạng nhất nhì ba). Hoán vị là chỉnh hợp khi chọn hết (k = n).

Câu hỏi thường gặp

Khi nào dùng tổ hợp, khi nào chỉnh hợp?

Tổ hợp khi KHÔNG quan tâm thứ tự ("chọn 3 người", "chọn 5 bài"). Chỉnh hợp khi QUAN TÂM thứ tự ("chọn 3 người vào ghế đỏ, vàng, xanh", "sắp xếp 3 chữ thành mã"). Nếu đề có từ "thứ tự", "xếp", "sắp" → chỉnh hợp. Nếu là "chọn ngẫu nhiên" → tổ hợp.

C(10,3) và C(10,7) có khác nhau không?

Không! C(n,k) = C(n,n-k) — tính chất đối xứng. C(10,3) = C(10,7) = 120. Logic: chọn 3 người ĐI = chọn 7 người Ở LẠI. Tổ hợp đếm cách chọn 1 nhóm con từ tập, không phân biệt nhóm con là người đi hay người ở.

P(0) = bao nhiêu?

0! = 1 theo quy ước. Có 1 cách để "xếp 0 phần tử" — đó là KHÔNG LÀM GÌ. Cũng giải thích tại sao C(n,0) = C(n,n) = 1: chỉ 1 cách chọn 0 phần tử (không chọn ai), 1 cách chọn tất cả (chọn hết).

Cách tính C(100,50) khi quá lớn?

C(100,50) ≈ 10²⁹ — vượt phạm vi int. Dùng phép tính từng bước hoặc dạng logarit: log C(n,k) = log(n!) − log(k!) − log((n-k)!). Hoặc tính tuần tự để tránh overflow: C(n,k) = (n × (n-1) × ... × (n-k+1)) / k!. Hầu hết máy tính khoa học hỗ trợ đến C(170, k).