Máy tính giải tam giác online

Định lý cosin (cho SAS, SSS):

a² = b² + c² − 2bc·cos(A)

Suy ra: cos(A) = (b² + c² − a²) / (2bc)

Định lý sin (cho ASA, AAS, SSA):

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

Với R = bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Diện tích (3 công thức):

• Heron: S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]
• 2 cạnh + góc: S = ½·b·c·sin(A)
• S = abc/(4R) = pr (p = nửa chu vi)

Bán kính nội tiếp r: r = S / p

Ví dụ: Tam giác SAS: a = 5, b = 7, C = 60°.

c² = 5² + 7² − 2·5·7·cos(60°) = 25 + 49 − 35 = 39 → c = √39 ≈ 6.24

Áp dụng định lý sin: sin(A)/5 = sin(60°)/6.24 → sin(A) = 5 × 0.866 / 6.24 = 0.694 → A ≈ 43.9°

B = 180° − 60° − 43.9° = 76.1°

S = ½ × 5 × 7 × sin(60°) ≈ 15.16

1. Chọn dữ kiện đã biết: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA.
2. Nhập các giá trị tương ứng (cạnh + góc).
3. Chọn đơn vị góc: độ (°) hoặc radian.
4. Nhấn “Giải”. Kết quả:
   • 3 cạnh đầy đủ (a, b, c)
   • 3 góc (A, B, C)
   • Diện tích, chu vi
   • Bán kính nội tiếp r, ngoại tiếp R
   • Phân loại: vuông / cân / đều / nhọn / tù

Lưu ý: SSA có thể vô nghiệm, 1 nghiệm hoặc 2 nghiệm (trường hợp “trường hợp mơ hồ ambiguous case”). Tổng 3 góc luôn = 180° — nếu nhập sai sẽ báo lỗi.

Tại sao cần bốn trường hợp cho bài toán giải tam giác?

Một tam giác có 6 yếu tố: 3 cạnh (a, b, c) và 3 góc (A, B, C). Muốn giải tam giác (tìm 6 yếu tố còn lại từ dữ liệu đã cho), cần biết tối thiểu 3 yếu tố — và phải có ít nhất một cạnh (không thể xác định kích thước từ 3 góc thuần túy vì vô số tam giác đồng dạng có cùng 3 góc nhưng kích thước khác nhau). Bốn trường hợp chuẩn:

• SSS (ba cạnh): Dùng định lý cosin để tính góc từ cạnh — không có trường hợp nhầm lẫn.
• SAS (hai cạnh và góc kẹp giữa): Dùng định lý cosin tính cạnh thứ ba — không có trường hợp nhầm lẫn.
• ASA / AAS (hai góc và một cạnh): Tổng ba góc = 180° → tính ngay góc thứ ba, rồi dùng định lý sin tính các cạnh — không có trường hợp nhầm lẫn.
• SSA (hai cạnh và một góc không kẹp): Đây là trường hợp nhập nhằng — có thể cho 0, 1, hoặc 2 tam giác hợp lệ. Xem chi tiết ở phần dưới.

Cách dùng máy tính giải tam giác trên VJOL

1. Chọn trường hợp: Chọn SSS, SAS, ASA, AAS hoặc SSA từ menu. Công cụ tự điều chỉnh ô nhập phù hợp — không cần nhớ dùng định lý nào.
2. Nhập dữ liệu: Điền giá trị đã biết vào các ô. Góc nhập theo độ (°) hoặc radian — có thể chọn đơn vị trước khi nhập. Chấp nhận số thập phân.
3. Đọc kết quả đầy đủ: Công cụ trả về cả 6 yếu tố (a, b, c, A, B, C), cộng thêm diện tích S, chu vi P, bán kính ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r — không cần tính thêm bước nào.
4. Trường hợp SSA: Nếu có hai nghiệm hợp lệ, công cụ hiển thị cả hai tam giác cùng lúc với đầy đủ yếu tố — và giải thích điều kiện hình học tại sao có hai nghiệm.

SSA — trường hợp nhập nhằng (Ambiguous Case) dễ mất điểm nhất

Với trường hợp SSA (biết hai cạnh a, b và góc A đối diện với cạnh a), cùng một bộ dữ liệu có thể cho ba kết quả khác nhau. Quy tắc kiểm tra nhanh:

Ví dụ hai nghiệm: Biết b = 10, a = 7, A = 30°. Kiểm tra: b·sin A = 10 × 0,5 = 5 < 7 < 10. Thỏa điều kiện 2 nghiệm — tồn tại hai tam giác có cùng a = 7, b = 10, A = 30° nhưng góc B là ~44,4° hoặc ~135,6°.

Ứng dụng thực tế — giải tam giác không chỉ là bài thi

Đo chiều cao tòa nhà từ mặt đất: Để xác định chiều cao tòa nhà, một người đứng tại điểm M dùng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa nhà với góc nâng 84°, sau đó lùi xa 49,4m thì nhìn thấy góc nâng 78°. Từ hai góc quan sát và khoảng cách dịch chuyển, lập hai phương trình theo định lý sin để tính chiều cao. Đây là bài toán ASA điển hình — biết một cạnh (khoảng cách dịch chuyển) và hai góc (hai góc ngẩng đo từ mặt đất).

Đo khoảng cách qua sông hoặc chướng ngại vật: Ứng dụng vào việc đo khoảng cách qua sông từ một bên bờ — đo một đoạn baseline trên bờ này, đo hai góc nhìn về hai cây trên bờ kia, lập tam giác và giải theo ASA.

Khảo cổ học — phục hồi đồ vật cổ: Để xác định bán kính của chiếc đĩa cổ bị vỡ, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên mảnh đĩa còn lại, đo ba cạnh của tam giác (4,3 cm, 3,7 cm, 7,5 cm), rồi tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R theo công thức R = abc/(4S). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là bán kính chiếc đĩa gốc.

Xây dựng và kiến trúc: Ứng dụng trong xây dựng và kiến trúc — giải tam giác giúp tính khoảng cách, chiều dài và các góc cần thiết khi không thể đo trực tiếp. Tính chiều dài dầm chéo mái nhà, khoảng cách giữa hai điểm không đến được trực tiếp.

Ý nghĩa thực tế của bán kính ngoại tiếp R và nội tiếp r

Hai đại lượng này không chỉ là kết quả tính toán — chúng có ứng dụng hình học và vật lý cụ thể:

• Bán kính ngoại tiếp R: Là bán kính đường tròn đi qua cả ba đỉnh tam giác. Liên hệ với định lý sin: a/sin A = 2R. Trong vật lý, ba điểm trên mặt phẳng xác định duy nhất một đường tròn — R cho biết kích thước đường tròn đó. Ứng dụng điển hình: xác định bán kính của đường cong tròn (cung đường, đường đua) từ ba điểm đo được.
• Bán kính nội tiếp r = S/p: Là bán kính đường tròn tiếp xúc cả ba cạnh từ bên trong. Với tam giác đều cạnh a: r = a/(2√3). Trong kỹ thuật cơ khí, r liên quan đến tính chất bo góc của chi tiết có mặt cắt tam giác.

Sai lầm thường gặp khi giải tam giác

• Bỏ sót trường hợp thứ hai trong SSA: Kiểm tra điều kiện b·sin A < a < b mà không kiểm tra — chỉ tìm một nghiệm rồi dừng lại. Đây là lỗi phổ biến nhất trong đề thi THPT Quốc gia dạng giải tam giác.
• Dùng định lý cosin để tính góc nhưng ra cos > 1 hoặc cos < −1: Điều này nghĩa là dữ liệu đầu vào mâu thuẫn — ba cạnh không tạo được tam giác (vi phạm bất đẳng thức tam giác). Cần kiểm tra a + b > c với mọi hoán vị trước khi tính.
• Nhầm đơn vị góc (độ và radian): Nhập cos(60°) = 0,5 đúng nhưng nếu máy tính đang ở chế độ radian thì cos(60) ≈ −0,952 — hoàn toàn sai. Luôn xác nhận chế độ đơn vị trước khi tính bất kỳ hàm lượng giác nào.
• Tính diện tích bằng S = ½ × đáy × chiều cao nhưng nhầm chiều cao: Chiều cao vuông góc với cạnh đáy — nếu tam giác tù thì chiều cao có thể rơi bên ngoài tam giác, không nhìn thấy trực tiếp trong hình vẽ. Công thức S = ½·b·c·sin A an toàn hơn vì không cần xác định chiều cao.

Câu hỏi thường gặp

Có thể giải tam giác khi chỉ biết 3 góc không?

Không — ba góc xác định hình dạng (đồng dạng) nhưng không xác định kích thước. Vô số tam giác có cùng A + B + C = 180° với cùng tỷ lệ các góc nhưng cạnh khác nhau. Phải biết ít nhất một cạnh mới giải hoàn toàn được.

Định lý Heron có ưu điểm gì so với S = ½·b·c·sin A?

Heron chỉ dùng cạnh, không dùng góc — tiện khi đã biết SSS và chưa tính góc. Công thức S = ½·b·c·sin A cần biết ít nhất một góc. Trong thực tế đo đạc, đo cạnh thường dễ hơn đo góc — Heron phù hợp hơn cho tình huống này.

Đề thi hay ra dạng bài thực tế nào nhất?

Các bài toán ứng dụng thường xuất hiện trong các tình huống đo khoảng cách, đo chiều cao, hay các bài toán về kinh tế và vật lý liên quan đến tam giác. Hai dạng phổ biến nhất trong đề thi Toán 10: đo chiều cao công trình từ hai điểm quan sát (ASA) và tính khoảng cách giữa hai điểm ngăn cách bởi chướng ngại vật (SAS hoặc SSA).

Bán kính ngoại tiếp R lớn hơn hay nhỏ hơn nội tiếp r?

Luôn R ≥ 2r, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đều. Đây là bất đẳng thức Euler trong tam giác — khoảng cách giữa tâm ngoại tiếp và tâm nội tiếp thỏa mãn OI² = R(R − 2r) ≥ 0.

Máy tính giải tam giác trên VJOL xử lý cả 5 trường hợp (SSS, SAS, ASA, AAS, SSA) kèm phát hiện tự động trường hợp nhập nhằng SSA — trả về toàn bộ 6 yếu tố, diện tích, chu vi, R và r chỉ từ 3 dữ liệu đầu vào. Nắm vững điều kiện trường hợp SSA và biết khi nào dùng định lý cosin vs định lý sin là chìa khóa để không bao giờ mất điểm ở dạng bài giải tam giác trong kỳ thi THPT.

Xem thêm các công cụ liên quan

• máy tính tổ hợp chỉnh hợp — tính số tổ hợp C(n,k), chỉnh hợp A(n,k) và hoán vị P(n).
• máy tính số phức — tính toán với số phức: cộng, trừ, nhân, chia, module và argument.
• tra cứu bảng tuần hoàn — tra 118 nguyên tố hóa học với nguyên tử khối và cấu hình electron đầy đủ.
• tính xếp loại học lực THPT — tính điểm trung bình và xếp loại học lực theo quy định hiện hành.