Tứ giác lồi là gì? Tính chất, dấu hiệu nhận biết tứ giác lồi

Tứ giác lồi là gì? Đây là câu hỏi cơ bản nhưng quan trọng trong chương trình Hình học. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ định nghĩa tứ giác lồi, cách phân biệt với tứ giác lõm, tính chất của tứ giác lồi, các công thức tính diện tích cùng bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Tứ giác lồi là gì?

Trước khi tìm hiểu tứ giác lồi, chúng ta cần nắm khái niệm tứ giác.

Tứ giác là gì?

Tứ giác là một đa giác có 4 đỉnh, 4 cạnh và 4 góc. Tứ giác ABCD gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó không có hai đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng.

Định nghĩa tứ giác lồi

Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác đó.

Nói cách khác: Tứ giác lồi là tứ giác có tất cả các góc trong đều nhỏ hơn 180°.

Cách nhận biết tứ giác lồi

Có nhiều cách để xác định một tứ giác có phải là tứ giác lồi hay không:

Phân biệt tứ giác lồi và tứ giác lõm

Để hiểu rõ hơn tứ giác lồi là gì, chúng ta cần so sánh với tứ giác lõm.

Tứ giác lõm là gì?

Tứ giác lõm là tứ giác có ít nhất một góc trong lớn hơn 180° (góc phản). Khi đó, hai đường chéo không cắt nhau bên trong tứ giác.

Bảng so sánh tứ giác lồi và tứ giác lõm

Tính chất của tứ giác lồi

Dưới đây là các tính chất quan trọng của tứ giác lồi mà bạn cần ghi nhớ.

Tính chất 1: Tổng các góc trong tứ giác lồi

Tổng các góc trong của tứ giác lồi bằng 360°.

\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°\]

Chứng minh:

Kẻ đường chéo AC, chia tứ giác ABCD thành hai tam giác ABC và ACD.

Tổng các góc trong mỗi tam giác bằng 180°, do đó:

\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 180° + 180° = 360°\]

Tính chất 2: Đường chéo của tứ giác lồi

Hai đường chéo của tứ giác lồi luôn cắt nhau tại một điểm nằm bên trong tứ giác.

Tính chất 3: Bất đẳng thức trong tứ giác lồi

Trong tứ giác lồi ABCD với hai đường chéo AC và BD:

\[AC + BD < AB + BC + CD + DA\]

(Tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác)

Tính chất 4: Tính lồi

Với mọi hai điểm M, N nằm trong tứ giác lồi, đoạn thẳng MN luôn nằm hoàn toàn bên trong tứ giác.

Các loại tứ giác lồi đặc biệt

Tứ giác lồi bao gồm nhiều loại hình đặc biệt với các tính chất riêng.

Sơ đồ phân loại

Mối quan hệ giữa các loại tứ giác lồi

• Hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật và hình thoi
• Hình chữ nhật và hình thoi là trường hợp đặc biệt của hình bình hành
• Hình bình hành là trường hợp đặc biệt của hình thang
• Tất cả đều là tứ giác lồi

Công thức tính diện tích tứ giác lồi

Có nhiều phương pháp để tính diện tích tứ giác lồi tùy thuộc vào dữ kiện đề bài cho.

Phương pháp 1: Chia thành hai tam giác

Kẻ một đường chéo chia tứ giác thành hai tam giác, sau đó tính tổng diện tích:

\[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}\]

Phương pháp 2: Công thức theo hai đường chéo

Nếu biết độ dài hai đường chéo \(d_1, d_2\) và góc giữa chúng là \(\alpha\):

\[S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin\alpha\]

Phương pháp 3: Công thức tọa độ

Nếu biết tọa độ 4 đỉnh \(A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3), D(x_4, y_4)\) theo thứ tự:

\[S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 – y_4) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_4 – y_2) + x_4(y_1 – y_3)|\]

Phương pháp 4: Công thức cho tứ giác nội tiếp (Công thức Brahmagupta)

Nếu tứ giác lồi nội tiếp đường tròn với các cạnh \(a, b, c, d\) và nửa chu vi \(p = \frac{a+b+c+d}{2}\):

\[S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\]

Bài tập về tứ giác lồi có lời giải chi tiết

Dưới đây là các bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về tứ giác lồi.

Bài tập 1: Nhận biết tứ giác lồi

Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} = 85°\), \(\widehat{B} = 110°\), \(\widehat{C} = 75°\). Tính \(\widehat{D}\) và cho biết ABCD có phải tứ giác lồi không?

Lời giải:

Áp dụng tính chất tổng các góc trong tứ giác lồi:

\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°\]

\[85° + 110° + 75° + \widehat{D} = 360°\]

\[\widehat{D} = 360° – 270° = 90°\]

Vì tất cả các góc \(\widehat{A} = 85°\), \(\widehat{B} = 110°\), \(\widehat{C} = 75°\), \(\widehat{D} = 90°\) đều nhỏ hơn 180°.

Vậy ABCD là tứ giác lồi với \(\widehat{D} = 90°\).

Bài tập 2: Tính diện tích tứ giác lồi

Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC = 10 cm, BD = 8 cm và góc giữa hai đường chéo bằng 60°. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Lời giải:

Áp dụng công thức diện tích theo hai đường chéo:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin 60°\]

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[S = \frac{80\sqrt{3}}{4} = 20\sqrt{3} \text{ (cm}^2\text{)}\]

Vậy diện tích tứ giác ABCD là \(20\sqrt{3}\) cm².

Bài tập 3: Chứng minh tứ giác lồi

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O nằm trong tứ giác. Chứng minh ABCD là tứ giác lồi.

Lời giải:

Vì O nằm trong tứ giác và là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Xét đường thẳng chứa cạnh AB:

• Điểm C và D nằm cùng phía với đường thẳng AB (vì O nằm giữa A và C, đồng thời nằm giữa B và D)

Tương tự với các cạnh còn lại, tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa mỗi cạnh.

Vậy ABCD là tứ giác lồi (theo định nghĩa).

Bài tập 4: Tứ giác nội tiếp

Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn có AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 5 cm, DA = 6 cm. Tính diện tích tứ giác ABCD.

Lời giải:

Áp dụng công thức Brahmagupta cho tứ giác nội tiếp:

Nửa chu vi: \(p = \frac{3 + 4 + 5 + 6}{2} = 9\) cm

\[S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\]

\[S = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)}\]

\[S = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \text{ (cm}^2\text{)}\]

Vậy diện tích tứ giác ABCD là \(6\sqrt{10}\) cm².

Bài tập 5: Bài toán tổng hợp

Cho tứ giác lồi ABCD có \(\widehat{A} = 2\widehat{C}\) và \(\widehat{B} = \widehat{D} + 40°\). Biết \(\widehat{C} = 60°\). Tính các góc còn lại của tứ giác.

Lời giải:

Ta có: \(\widehat{C} = 60°\)

\[\widehat{A} = 2\widehat{C} = 2 \cdot 60° = 120°\]

Áp dụng tính chất tổng các góc trong tứ giác lồi:

\[\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} + \widehat{D} = 360°\]

\[120° + \widehat{B} + 60° + \widehat{D} = 360°\]

\[\widehat{B} + \widehat{D} = 180°\]

Kết hợp với \(\widehat{B} = \widehat{D} + 40°\):

\[(\widehat{D} + 40°) + \widehat{D} = 180°\]

\[2\widehat{D} = 140° \Rightarrow \widehat{D} = 70°\]

\[\widehat{B} = 70° + 40° = 110°\]

Vậy \(\widehat{A} = 120°\), \(\widehat{B} = 110°\), \(\widehat{C} = 60°\), \(\widehat{D} = 70°\).

Kết luận

Qua bài viết này, VJOL đã giúp bạn trả lời câu hỏi tứ giác lồi là gì cùng những kiến thức quan trọng liên quan. Tứ giác lồi là tứ giác có tất cả các góc trong nhỏ hơn 180°, hai đường chéo cắt nhau bên trong tứ giác. Tính chất quan trọng nhất cần nhớ là tổng các góc trong tứ giác lồi bằng 360°. Các loại tứ giác đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình thang đều là tứ giác lồi. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo các dạng bài tập về tứ giác lồi.