Cơ năng của một vật dao động điều hòa — công thức vật lý 12

Cơ năng của một vật dao động điều hòa là tổng động năng và thế năng của vật tại mọi thời điểm trong quá trình dao động. Đây là đại lượng bảo toàn — không đổi theo thời gian — trong khi động năng và thế năng liên tục chuyển hóa qua lại với nhau. Cơ năng tỉ lệ thuận với bình phương biên độ dao động, là kiến thức trọng tâm trong chương Dao động cơ của Vật lí lớp 11 và lớp 12.

Cơ năng của một vật dao động điều hòa là gì?

Cơ năng của một vật dao động điều hòa là tổng của động năng và thế năng của vật tại bất kỳ thời điểm nào trong quá trình dao động, ký hiệu là W (đơn vị: Jun — J).

Trong chuyển động cơ, năng lượng tồn tại dưới hai dạng: động năng (năng lượng do vật chuyển động) và thế năng (năng lượng do vị trí của vật so với vị trí cân bằng). Điểm đặc biệt của dao động điều hòa là hai dạng năng lượng này liên tục chuyển hóa qua lại, nhưng tổng của chúng — tức cơ năng W — luôn không đổi trong suốt quá trình dao động (giả thiết không có lực cản). Theo SGK Vật lí 11 (Chân trời sáng tạo), cơ năng được xác định bởi công thức: W = Wt + Wđ = ½mω²A², trong đó m là khối lượng vật, ω là tần số góc và A là biên độ dao động.

Công thức tính cơ năng, động năng và thế năng trong dao động điều hòa

Xét một vật dao động điều hòa theo phương trình li độ x = Acos(ωt + φ). Ba đại lượng năng lượng cơ bản được xác định như sau:

• Thế năng (Wt): Wt = ½kx² = ½mω²A²cos²(ωt + φ). Thế năng đạt cực đại khi vật ở vị trí biên (x = ±A) và bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng (x = 0). Đối với con lắc lò xo, thế năng là thế năng đàn hồi; đối với con lắc đơn dao động nhỏ, thế năng là thế năng trọng trường.
• Động năng (Wđ): Wđ = ½mv² = ½mω²A²sin²(ωt + φ). Động năng đạt cực đại tại vị trí cân bằng (v = vmax = ωA) và bằng 0 tại vị trí biên (v = 0). Tại li độ x bất kỳ, động năng được tính nhanh bởi công thức: Wđ = ½k(A² − x²).
• Cơ năng (W): W = Wt + Wđ = ½mω²A² = ½kA². Cơ năng không phụ thuộc thời gian, chỉ phụ thuộc vào khối lượng m, tần số góc ω và biên độ A.

Lưu ý quan trọng: k = mω² là độ cứng hiệu dụng của hệ. Với con lắc lò xo, k chính là độ cứng lò xo; với con lắc đơn dao động nhỏ, k tương đương mg/l (m: khối lượng vật, g: gia tốc trọng trường, l: chiều dài dây).

Sự biến đổi của động năng và thế năng trong quá trình dao động

Trong mỗi chu kỳ dao động, động năng và thế năng biến đổi tuần hoàn ngược pha nhau — khi thế năng tăng thì động năng giảm và ngược lại. Cả hai đều biến thiên tuần hoàn với tần số góc bằng 2ω (tức chu kỳ bằng T/2, tần số bằng 2f so với dao động chính).

Quá trình chuyển hóa năng lượng diễn ra theo hai chiều trong một chu kỳ. Khi vật đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng, thế năng giảm dần về 0, động năng tăng dần đến cực đại. Khi vật đi từ vị trí cân bằng ra biên, chiều ngược lại xảy ra: động năng giảm dần về 0, thế năng tăng đến cực đại. Tại vị trí mà động năng bằng thế năng (Wđ = Wt), vật có li độ x = ±A/√2, và trong mỗi chu kỳ, điều này xảy ra 4 lần.

Bảo toàn cơ năng trong dao động điều hòa — đặc điểm và ý nghĩa vật lý

Định luật bảo toàn cơ năng áp dụng cho dao động điều hòa khi không có lực cản (dao động lý tưởng). Trong thực tế, mọi dao động đều có lực ma sát và lực cản môi trường, khiến cơ năng giảm dần — gọi là dao động tắt dần. Chỉ khi có cơ chế bù năng lượng (dao động duy trì) thì cơ năng mới thực sự bảo toàn.

“Cơ năng dao động của một chất điểm dao động điều hòa bảo toàn (không đổi) và tỉ lệ với bình phương biên độ dao động của vật.” — SGK Vật lí 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.

Ý nghĩa vật lý của tính bảo toàn cơ năng rất quan trọng: nếu biên độ dao động tăng gấp 2 lần, cơ năng tăng gấp 4 lần (tỉ lệ với A²). Đây là nền tảng lý giải nhiều ứng dụng kỹ thuật như hệ thống treo ô tô, đồng hồ lắc, thiết bị giảm chấn và cả mạch dao động điện từ trong điện tử.

Bảng tổng hợp cơ năng tại các vị trí đặc biệt trong dao động điều hòa

Bảng dưới đây tóm tắt trạng thái năng lượng của vật tại các vị trí đặc biệt trên quỹ đạo dao động — giúp học sinh ghi nhớ nhanh để áp dụng vào bài tập:

Ví dụ minh họa tính cơ năng của vật dao động điều hòa

Dưới đây là bài toán mẫu thường gặp trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi Đại học:

Bài toán: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 80 N/m, vật nặng khối lượng m = 200 g dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm. Tính: (a) Cơ năng của vật; (b) Động năng khi li độ x = 6 cm; (c) Li độ khi động năng bằng 3 lần thế năng.

Lời giải:

• (a) Cơ năng: W = ½kA² = ½ × 80 × (0,1)² = 0,4 J
• (b) Động năng tại x = 6 cm: Wđ = ½k(A² − x²) = ½ × 80 × [(0,1)² − (0,06)²] = ½ × 80 × (0,01 − 0,0036) = 0,256 J
• (c) Li độ khi Wđ = 3Wt: Từ W = Wđ + Wt và Wđ = 3Wt → W = 4Wt → Wt = W/4 = 0,1 J. Suy ra: ½kx² = 0,1 → x² = 0,2/80 = 0,0025 → x = ±0,05 m = ±5 cm

Phương pháp tổng quát khi giải bài toán cơ năng: xác định các đại lượng đã cho (k, m, A, x, v, ω), sau đó lập hệ thức nối đại lượng cho với đại lượng cần tìm thông qua W = Wđ + Wt = ½mω²A².

Câu hỏi thường gặp về cơ năng của một vật dao động điều hòa

Cơ năng dao động điều hòa có biến thiên theo thời gian không?

Không — cơ năng bảo toàn (không đổi), chỉ động năng và thế năng mới biến thiên tuần hoàn.

Tần số biến thiên của động năng và thế năng là bao nhiêu?

Động năng và thế năng biến thiên với tần số bằng 2f (gấp đôi tần số dao động), chu kỳ bằng T/2.

Khi biên độ tăng gấp đôi, cơ năng thay đổi thế nào?

Cơ năng tăng gấp 4 lần, vì W tỉ lệ với A² theo công thức W = ½mω²A².

Nắm vững công thức W = ½mω²A² = ½kA² và quy luật chuyển hóa giữa động năng — thế năng là chìa khóa để giải nhanh toàn bộ dạng bài tập năng lượng trong dao động điều hòa. Đây cũng là nền tảng để tiếp cận các chủ đề nâng cao hơn như dao động tắt dần, cộng hưởng và mạch dao động điện từ trong chương trình Vật lí 11–12.